LÓGICA

1. LÓGICA • LÓGICA BÁSICA Por: Thais Lima Machado.

2. Lógica • Cálculo Proposicional • Cálculo de Predicados • Prova de Teoremas

3. Lógica • Cálculo Proposicional

4. Lógica - Cálculo Proposicional • Cálculo interessado pelas sentenças declarativas (proposições). • Proposições podem ser verdadeiras ou falsas.

5. Lógica - Cálculo Proposicional • Vocabulário: • Operadores lógicos: • Negação: ~(Não é o caso que) • Conjunção: &(e) • Disjunção: v (ou) • Condicional: -> (se..então) • Bicondicional:  (se e somente se)

6. Lógica - Cálculo Proposicional • Vocabulário: • Letras Sentenciais: • Letras maiúsculas seguidas ou não de números. • Parênteses: • ( , )

7. Lógica - Cálculo Proposicional • Regras de Formação: • Qualquer letra sentencial é uma fbf. • Se x é uma fbf, então ~x também o é. • Se x e y são fbfs, então (x & y), (x v y), (x y) e (x y) também são. fbf: Fórmula bem formada.

8. Lógica - Cálculo Proposicional • Definições: • Fórmula Válida: Se e somente se for verdadeira para todas as interpretações possíveis. • Fórmula Inválida: Caso existir alguma interpretação em que for falsa. • Fórmula Inconsistente (Insatisfatível): Se e somente se for falsa para todas as suas interpretações. • Fórmula Consistente: Se existir alguma interpretação onde ela for verdadeira. • Tautologia: Proposição que é sempre verdade, independente dos valores de seus componentes.

9. Lógica - Cálculo Proposicional • Regras de Inferências: • São regras hipotéticas ou não que geram as formas de argumentos numa série de etapas simples e precisas de raciocínio, chamadas de derivação ou prova.

10. Lógica - Cálculo Proposicional • Regras de Inferências: • Regras Básicas: • Modus Poneuns (MP): De um condicional e seu antecedente podemos inferir o seu conseqüente. • Eliminação de Negação (~E): De um fbf da forma ~~x, podemos inferir x. • Introdução de Conjunção (&I): De quaisquer fbfs x e y, podemos inferir a conjunção x & y.

11. Lógica - Cálculo Proposicional • Regras de Inferências: • Regras Básicas: • Eliminação de Conjunção (&E): De um conjunção podemos inferir qualquer um dos seus conjuntos (são cada uma das sentenças ligadas pela conjunção). • Introdução de Disjunção (vI): De uma fbf x, podemos inferir a disjunção de x com qualquer fbf. • Eliminação de Disjunção (vE): De fbfs da forma xvy, xz e yz, podemos inferir a fbf z.

12. Lógica - Cálculo Proposicional • Regras de Inferências: • Regras Básicas: • Introdução do Bicondicional ( I): De quaisquer fbfs de formas (xy) e (yx) podemos inferir xy. • Eliminação do Bicondicional ( E): De quaisquer fbfs de formas (xy), podemos inferir (xy) ou (yx).

13. Lógica - Cálculo Proposicional • Regras de Inferências: • Regras Básicas: • Prova do Condicional (PC): Dada uma derivação de uma fbf x a partir de uma hipótese y, podemos descartar a hipótese e inferir yx. • Redução ao Absurdo (RAA): Dada uma derivação de uma contradição a partir de uma hipótese x, podemos descartar a hipótese e inferir ~x.

14. Lógica - Cálculo Proposicional • Tabela Verdade • Negação • x ~x • V F • F V

15. Lógica - Cálculo Proposicional • Tabela Verdade • Conjunção • x y x & y • V V V • V F F • F V F • F F F

16. Lógica - Cálculo Proposicional • Tabela Verdade • Disjunção • x y x v y • V V V • V F V • F V V • F F F

17. Lógica - Cálculo Proposicional • Tabela Verdade • Condicional ‘P  Q = ~(P & Q)’ • x y xy • V V V • V F F • F V V • F F V

18. Lógica - Cálculo Proposicional • Tabela Verdade • Bicondicional P  Q = (PQ) & (QP) • x y xy • V V V • V F F • F V F • F F V

19. Lógica • Cálculo dos Predicados

20. Lógica- Cálculo dos Predicados • Introduz noções lógicas para expressar qualquer conjunto. • Expressa através de três tipos de expressões: termos, predicados, quantificadores.

21. Lógica- Cálculo dos Predicados • Definições: • Classe de Atributo: São representadas pelos substantivos comuns, locuções nominais, adjetivos, locuções adjetivas, verbos, e locuções verbais. • Quantificadores: São operadores lógicosque expressam relações entre os conjuntos designados pelas classes de atributos lógicos. Eles são classificados de universais e existenciais.

22. Lógica- Cálculo dos Predicados • Definições: • Quantificador Universal (): Esse tipo de quantificador é formado pelas expressões “todo” e “nenhum”. • Quantificador Existencial (): Esse tipo de quantificador é formado pela expressão “algum”. • Predicados: Serão denotados por letras maiúsculas.

23. Lógica- Cálculo dos Predicados • Vocabulário • Símbolos lógicos: • Operadores lógicos: ~, &, v, , . • Quantificadores: , . • Parênteses: ( , ).

24. Lógica- Cálculo dos Predicados • Vocabulário • Símbolos não-lógicos: • Letras Normais: letras minúsculas de “a” a “t”. • Variaveis: letras minúsculas de “u” a “z”. • Letras Predicativas: letras minúsculas.

25. Lógica- Cálculo dos Predicados • Regras de Formação: • Toda fórmula atômica é uma fbf. • Se x é uma fbf, então ~x também o é. • Se x e y são fbfs, então (x & y), (x v y), (x y) e (x y) também o são.

26. Lógica- Cálculo dos Predicados • Regras de Inferência: • Todas as regras definidas na lógica proposicional são utilizadas para o cálculo de predicados, apenas referenciando-se para os quantificadores.

27. Lógica- Cálculo dos Predicados • Regras de Inferência: • Regras Básicas: • Eliminação Universal (EU): De uma fbf quantificadora universalmente, x, infere-se qualquer fbf da forma x/, a qual resulta de se substituir cada ocorrência da variável  em x por uma letra nominal .

28. Lógica- Cálculo dos Predicados • Regras de Inferência: • Regras Básicas: • Introdução Universal (IU): De uma fbf x contendo uma letra nominal , que não corre em qualquer premissa ou em qualquer hipótese vigente na linha em que x ocorre, infere-se uma fbf da forma x/, onde x/ é resultado de se substituir todas as ocorrências de  em x por uma variável  que não ocorra em x.

29. Lógica- Cálculo dos Predicados • Regras de Inferência: • Regras Básicas: • Introdução Existencial (IE): Dada um fbf x contendo uma letra nominal , infere-se uma fbf da forma x/, onde x/ é resultado de se substituir uma ou mais ocorrências de  em x por uma variável  que não ocorra em x.

30. Lógica- Cálculo dos Predicados • Regras de Inferência: • Regras Básicas: • Eliminação Existencial (EE): Dada uma fbf quantificada existencialmente, x e uma derivação de uma conclusão y a partir da hipótese do tipo x/ (o resultado de se substituir cada ocorrência da variável  em x por uma letra nominal  que não ocorra em x), descarta-se x/ e afirma-se y.

31. Lógica • Prova de Teoremas

32. Lógica- Prova de Teoremas • Provar teoremas faz parte da inteligência humana. • Técnica levada para a IA. • Na IA, a área que mais utiliza é SE’s • Objetivo: provar que uma forma é conseqüência lógica de outras formulas.

33. Lógica- Prova de Teoremas • Definições: • Prova: É a demonstração que um teorema (ou formula) é verdadeiro. • Forma Normal Conjuntiva: É quando uma formula F for composta de umas conjunções de outras formulas.

34. Lógica- Prova de Teoremas • Definições: • Forma Normal Disjuntivas: É quando uma formula F for composta de umas disjunções de outras formulas. • Forma Normal Prenex: É quando uma formula F, na lógica da primeira ordem, são retirados todos os quantificadores existentes que prefixem a fórmula.

35. Lógica- Prova de Teoremas • Universo de Herbrand • Serve para demostrar que um conjunto de cláusulas S é insatisfatível. • Conjunto de cláusulas é dito insatisfatível quando for falsa para todas as interpretações em todos os domínios.

36. Lógica- Prova de Teoremas • Principio da Resolução: • Nesse princípio usamos um mecanismo de substituição que permite a verificação da validade de um fórmula, além de empregar uma única regra de inferência e não necessitar de axiomas lógicos. • Definição:É um método algorítmico que permite verificar a insatisfatibilidade de qualquer conjunto de cláusulas.

37. Lógica- Prova de Teoremas • Termos importantes para o uso do Princípio da Resolução: • Profundidade: Se a cláusulas vazia sempre é produzida, o conjunto original deve Ter sido insatisfatível. • Completude: Se o conjunto original é insatisfatível, a cláusulas vazia eventualmente será produzida.