Eletricidade A - ENG04474

Eletricidade A - ENG04474 AULA IX

Senóides • Período : T • Tempo necessário para se percorrer um ciclo • Freqüência:f = 1/T • Ciclos por segundo • Freqüência Angular:w = 2pf • Amplitude: VM Exemplo: Qual é a amplitude, a freqüência, o período e a freqüência angular da senóide abaixo

Fase • Se quisermos expressar as senóides abaixo na forma v=VMsen(t+ ) quais são os valores de  para as três senóides, tomando uma senóide v=VPsen(t) como referência.

Fase em Atraso ou em Adianto x1(t) está adiantado em relação a x2(t) de q- x2(t) está atrasado em relação a x1(t) de q- Se fossemos desenhar estas curvas, qual das senóides passaria de negativo para positivo antes?

Circuitos RLC com Excitação Senoidal • Resposta Transitória e de Regime Permanente • Exemplo (RL - fonte senoidal) i(t) Vpcos(wt) Reposta Transitória ou Natural Resposta Permanente A Amplitude da corrente depende da amplitude da fonte, deR, de L e da freqüência w da fonte A corrente está defasada em atraso qradianosem relação a cossenóide da fonte

5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 0 50 100 150 200 250 300 Circuitos RLC com Excitação Senoidal • Exemplo - Forma de onda da Resposta Regime Permanente Regime Transitório V1(t) i(t) Forma de onda da Fonte V1(t) Forma de onda da Corrente i(t) q t

Sabendo disso, seria possível obter a Resposta em Regime Permanente para Excitação Senoidalsem precisar resolver uma equação diferencial ??? Circuitos RLC com Excitação Senoidal • Em REGIME PERMANENTE todo Circuito RLC excitado com fontes senoidais de freqüência “w” terá todas as correntes e tensões em seus dispositivos • possuindoforma de onda senoidal de freqüência “w”iguala das fontes • defasadas q radianosem atraso ou adianto com relação as fontes • q depende da estrutura e dos elementos do circuito • amplitudesdependentes da freqüênciaw, daamplitude das fontese dos valores dos dispositivosR, L e C

Tensão ou Corrente do circuito em RP Fonte CIRCUITO RLC Vpsen(wt) APsen(wt+) Fase ? Amplitude ? Circuitos RLC - RP com Excitação Senoidal • Para determinar uma tensão ou corrente em regime permanente, tudo o que precisamos saber é sua amplitude e sua faseem relação a senóide da fonte. A freqüência e a forma de onda já se sabe qual será. • Usualmente, tensões ou correntes em regime permanente são obtidas de uma solução particular da equação diferencial do circuito. Preciso escrever e resolver uma Equação diferencial!!??

Circuitos RLC - RP com Excitação Senoidal • Não épreciso escrever a equação diferencialdocircuito nem ao menos resolve-lapara se obter a amplitude e fasede uma tensão ou corrente em RP em um circuito com excitação senoidal. • Ao invés disso usaremos o conceito de FASORES e IMPEDÂNCIAS COMPLEXAS • Fasores e Impedâncias Complexas convertem um problema envolvendo equações diferenciais em um problema envolvendo equações algébricas Boas Novas!!!

FASORES • FASOR é um NÚMERO COMPLEXO que representa aamplitudee afasede uma tensão ou corrente senoidal Domínio Tempo Domínio Freqüência

Impedância Complexa • A Impedância Complexa descreve a relação entre a tensão sobre um elemento R, L ou C (expressa como Fasor) e a corrente no elemento (expressa como Fasor) • A impedância é um número complexo • O valor da impedância normalmente depende da freqüência • Fasores e Impedâncias Complexas nos permitem utilizar a Lei de Ohm com números complexos para determinar tensões a partir de correntes e correntes a partir de tensões Como? Melhor ver esses Números Complexos...

Números Complexos eixo imaginário • xé a parte real • yé a parte imaginária • zé a amplitude ou magnitude • qé a fase y z q eixo real x • Coordenadas Polares:A = z q • Coordenadas Retangulares:A = x + jy PR RP

Representando Formas de Onda Senoidais como Fasores • Fasor (domínio freqüencia) é um número complexo X = zq = x + jy • Um sinal senoidal é uma função do tempo x(t) = z cos(wt + q) Exemplo: Encontre a representação no domínio tempo para os seguinte fasores: X =-1 + j2 V = 104V - j60V A = -1mA - j3mA

Aritmética com Números Complexos • Para se determinarFASORES de Tensão ou Corrente é necessário que saibamos proceder operações aritméticas básicas com números complexos: • Soma • Subtração • Multiplicação • Divisão Será que lembro disso? É melhor dar uma olhada!

Soma A = x + jy B = z + jw A + B = (x + z) + j(y + w) Subtração Subtração é mais facilmente feita em coordenadas retangulares A = x + jy B = z + jw A - B = (x - z) + j(y - w) Soma e Subtração (melhor na forma retangular) eixo imag. eixo imag. A + B B A B A eixo real. A - B eixo real

Multiplicação Multiplicação é mais facilmente feita em coordenadas polares A = AMq B = BMf A B = (AM  BM)  (q + f) Divisão Divisão é mais faclmente feita em em coordenadas polares A = AMq B = BMf A / B = (AM / BM)  (q - f) Multiplicação e Divisão (melhor na forma polar) eixo imag. eixo imag. A B B B A A eixo real eixo real A /B

Exponencial Complexa • Uma senoide, função do tempo, pode ser representada como a parte real de uma exponencial complexa • Exponenciais Complexas nos propiciam a ligação entre as funções senoidais do tempo e os fasores. • Exponenciais Complexas tornam a análise de um circuito RLC em regime permanente para excitação senoidal um problema algébrico Exponenciais Complexas Funções Senoidais FASORES

Exponenciais Complexas • Um número complexo (FASOR) A = z qpode ser representado como: A = z q = z ejq = z cos q + j z sen q • A exponencial complexa básica é: ejwt= cos wt + j sen wt • O que você obtêm ao multiplicar Aporejwte tomar a parte real deste produto?

Exponenciais Complexas Aejwt= z ejqejwt = z ej(wt+q) z ej(wt+q) = z cos (wt+q) + j z sen (wt+q) Re[Aejwt] = z cos (wt+q)

Senóides, Exponenciais Complexas e Fasores • Senóide: z cos (wt+q) • Exponencial Complexa: Aejwt = z ej(wt+q) • Fasor: A = z q O que se ganha com tudo isso??? z cos (wt+q) = Re{z ej(wt+q)}= Re{Aejwt}

Relações entre os Fasores associados aos Bipolos de um Circuito • Os Fasores nos pertimem expressar a relação entre tensão e corrente em Indutores e Capacitores de forma bastante semelhante a que usamos para expressar a relação entre tensão e corrente em Resistores. • A exponencial complexa é a ferramenta matemática utilizada para obter tais relações. COMO???

+ i(t) v(t) C - Relação V-I Fasorial para o Capacitor Suponha que v(t) seja uma senóide: v(t) = VM cos(wt+q ) = Re[VM ej(wt+q)]= Re[Vejwt] Determine i(t):

Calculando a Corrente • Representando na forma FASORIAL I i(t) + V - + v(t) - A derivada na relação entre i(t) e v(t) (capacitor)torna-se uma multiplicação por jC na relação entre I e V

Exemplo Sendo: v(t) = 120V cos(377t + 30) C = 2mF Qual é a representação Fasorial de v(t) e i(t) e a expressão de i(t)? V=? I=? i(t)=? Quantos graus v(t) está defasado de i(t)? Quem está adiantado em relação a quem?

Relação V-I no Indutor + • Representando na forma FASORIAL i(t) v(t) L - I i(t) + V - + v(t) - A derivada na relação entre v(t) e i(t) (indutor)torna-se uma multiplicação por jL na relação entre V e I

Exemplo Sendo: i(t) = 1mA cos(2p 9.15 107t + 30) L = 1mH Qual é a representação Fasorial de i(t) e v(t) e a expressão de v(t)? I=? V=? v(t)= ____cos(2p 9.15 107t+ ____) Quantos graus v(t) está defasado de i(t)? Quem está adiantado em relação a quem?

Relação V-I no Resistor + • Representando na forma FASORIAL i(t) v(t) R - I i(t) + V - + v(t) - A multiplicaçãopor R na relação entre v(t) e i(t)torna-se uma multiplicaçãopor R na relação entre V e I

Impedância • A análise de umcircuito com excitação senoidal, em regime permanente, usando FASORES,nos permite expressar as relações entre corrente e tensão nos elementos R, L e C com umafórmula similar a utilizada na lei de Ohm. V = Z I • Zé chamada de IMPEDÂNCIA Resistor Indutor Capacitor 1 V=RI V=jLI V= I jC 1 Z= Z=R Z= jL jC

Reflexões sobre IMPEDÂNCIA • Impedância (geralmente) depende da freqüência • Impedância (geralmente) é um número complexo • Impedância NÃO É um FASOR (Porque?) • O conceito de Impedância e Fasor nos permiteanalisar circuitos RLClineares com excitação senoidal, em regime permanente, com as mesmas técnicas empregadas para analisar circuitos puramente resistivos. SERÁ mesmo que se pode? Para isso as leis de Kirchhoff deveriam ser respeitadas na operação com FASORES. Será que são?

Leis de Kirchhoff e Fasores • Leis das Tensões nos Laços. - vn(t) + - v2(t) + + v1(t) - É equivalente!!

Leis de Kirchhoff e Fasores • Lei das Correntes nos Nós i1(t) in(t) i2(t) É equivalente!!

Exemplo i1(t) i3(t) Sendo as correntes no Nó A i1(t), i2(t) e i3(t), onde i1(t) = 1A cos(2p60t + 30) i2(t) = 3A cos(2p60t + 60) Qual é a representação Fasorial de i1(t), i2(t) e i3(t)? I1=? I2=? I3= I1 + I2 = ? Qual é a expressão de i3(t)? i3(t)=____cos(2p60t + ____) i2(t)

I=2mA  40 + + VC 1mF - Freqüência = 60Hz + 1kW VR - - Diagrama Fasorial • Um diagrama fasorial é apenas um gráfico de vários fasores representados no plano complexo (usando os eixos real e imaginário) • Um diagrama fasorial nos ajuda a visualizar as relações entre tensões e correntes em um circuito (suas amplitudes e defasagens) • Exemplo: Eixo Imaginário Eixo Real VR I I = 2mA  40 VR= 2V  40 VC = 5.31V  -50 V = 5.67V  -29.37 V V VC VR Diagrama Fasorial

Análise de Circuitos RLC usando os conceitos de Fasor e Impedância • Obs.: Este método de análise somente é válido para excitações senoidais, estando o circuito em regime permanente • Exemplo - Determine vc(t) : FASORES + vR(t) - V1= 100º + vC(t) - IMPEDÂNCIAS  V1(t)=10cos(377t) ZR= 20k ZC = 1/(j377.1.10-6)=-j2,65k  Divisor de Tensão + VC - 100º -j2,65k

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