Cônicas

1. Cônicas

2. Porque Cônicas?

6. Parábola • Considere uma reta d e um ponto f não pertencente a d • Parábola é o conjunto dos pontos cuja distância ao ponto f é igual a distância deste ponto à reta d

7. Graficamente P F v d A P’

8. Seja P’ o pé da reta perpendicular a d que passa por P • Assim P pertence à parábola se e somente se • d(F,P)=d(P,P’) -> |FP|=|P’P|

9. Notações • F-> foco • d-> reta diretriz • Eixo -> reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz • Vértice (v) -> Ponto de interseção entre a parábola e o eixo • A-> interseção do eixo com a diretriz

10. Por definição de parábola, se P = v então • d(v,f)=d(v,a)=p/2, p-> parâmetro da parábola

11. Encontrar a equação da parábola • Eixo da parábola = eixo y • V(0,0) • |FP|=|PP’| • PP’ = (x-x,y+p/2)=(0,y+p/2) • FP = (x-0,y-p/2) =(x,y-p/2)

12. |(x,y-p/2) |=|(0,y+p/2)| • X2=2py ou y = X2/2p

13. Estudo da Parábola • Se 2py=x2 -> 2py >=0 -> p e y tem sinais iguais • Caso 1: p>=0 -> y>=0 -> concavidade para cima • Caso 2: p<=0 -> y<=0 -> concavidade para baixo

14. Eixo da parábola = eixo x • V(0,0) • |FP|=|P’P| • P’P = (x+p/2,y-y)=(x+p/2,0) • FP = (x-p/2,y-0) =(x-p/2,y) • y2=2px

15. Estudo da Parábola • Como y2 >=0 então 2px>=0. Logo p e x tem sinais iguais • Caso 1: p >= 0 -> x >= 0 -> concavidade para direita • Caso 2: p <= 0 -> x <= 0 -> concavidade para esquerda

16. Exercício • Determinar a equação da parábola v(0,0) e diretriz d:y=-2

17. Exercicio • Determinar a equação da parábola com foco F(2,0), diretriz d:x+2=0

18. Determinar a equação da parábola com foco F(0,-3), e v(0,0)

19. Determinar a equação da parábola com foco V(0,0), simétrica em relação ao eixo dos y e passando pelo ponto P(2,-3)

20. Determinar Vértice, foco, equações da reta diretriz e eixo • X2=-12y

21. Determinar Vértice, foco, equações da reta diretriz e eixo • y2-x=0

22. Vértices fora da origem • V(a,b) • Eixo paralelo ao eixo y • (x-a)2=2p(y-b) • Eixo paralelo ao eixo x • (y-b)2=2p(x-a)

23. Exercício • Determine a equação da parábola V(-2,3), F(-2,1)

24. Determine a equação da parábola F(2,3) e diretriz y=-1

25. Determine a equação da parábola V(1,3), eixo paralelo ao eixo x passando pelo ponto P(-1,-1)

26. Equação explícita da parábola • A equação da parábola de vértice V(a,b) e eixo paralelo ao eixo y tem a forma (x-a)2=2p(y-b) • x2-2ax+a2=2py-2pb • y=(x2-2ax+a2+2pb)/2p • Esta última é a forma explícita da parábola

27. Exercício • Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola x2+4x+8y+12

28. Exercício • Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola y2+4y+16x-44

29. Exemplo • Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola y2-12x-12=0

30. Exemplo • Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola 8x=y2-6y+10

31. Elipse • Uma elipse de focos F e F’ é o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a F e F’ é igual a uma constante que indica-se por 2a • Portanto, P є Elipse se, e somente se, d(P,F)+d(P,F’)=2a

32. Equação • Caso 1: F(-c,0) e F’(c,0), c>=0 • Olhando para o triângulo PFF’ vemos que o lado F’F mede 2c e é menor que a soma dos outros dois lados, medindo 2a P a a c F F’ c

33. Logo, c<a • Nota: quanto mais a se aproxima de c, mais achatada fica a elipse, logo a excentricidade (e) cresce • e=c/a, 0<e<1

34. Elementos • Focos: são os pontos F e F’ • Distância Focal = 2c • Centro = ponto médio do segmento FF’ • Eixo Maior: segmento A1A2 medindo 2a • Eixo Menor é o segmento B1B2 de comprimento 2b onde b2=a2-c2

35. De acordo com a definição, P(x,y) є elipse se, e somente se, |PF’|+|PF|=2a

36. Equação • Desenvolvendo a equação anterior obtem-se x2/a2+y2/b2=1 • Eixo maior sobre o eixo x focos sobre o eixo x

37. Equação • Caso 2: Focos F(0,c) e F’(0,-c) • Analogamente x2/b2+y2/a2=1

38. Equação • Caso 3: centro fora da origem C(x0,y0) • Eixo maior//eixo x: (x-x0)2/a2 +(y-y0)2/b2=1 • Eixo maior//eixo y: (x-x0)2/b2 +(y-y0)2/a2=1

39. Exercício • Determinar os vértices A1 e A2, focos e excentricidade • X2/100+y2/36=1 • x2+25y2=25 • 4x2+25y2=1

40. Exercício • Determinar a equação da elipse • Eixo maior mede 10, focos (4,0) e (-4,0)

41. Exercício • Determinar a equação da elipse • Centro C(0,0) um foco F(3/4,0) e um vértice A(1,0)

42. Exercício • Determinar a equação da elipse • Centro C(0,0), F(c,0), F’(-c,0), P(-2(5)1/2,2)

43. Exercício • Determinar a equação da elipse • Centro C(0,0), focos no eixo x, e=2/3 e P(2,-5/3)

44. Exercício • Determinar a equação da elipse • Centro C(2,4), um foco F(5,4) e=3/4

45. Exercício • Determinar a equação da elipse • Centro C(-3,0), um foco F(-1,0), a elipse é tangente ao eixo y

46. Exercício • Determinar a equação da elipse • Centro C(-3,4), semi-eixos de comprimento 4 e 3, eixo maior // ao eixo y

47. Exercício • Determinar a equação da elipse • Centro C(2,-1), tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria (eixo maior e eixo menor) paralelos aos eixos coordenados

48. Exercício • Determinar centro, vértices A1 e A2 e excentricidade • 4x2+9y2-8x-36y+4=0

49. Hipérbole • Sejam dois pontos fixo F1 e F2 com d(F1,F2)=2c • A hipérbole é o conjunto dos pontos P(x,y) do plano tais |d(F1,P)-d(F2,p)|=2ª • Com 2ª<2c

50. P F1 F2