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Cónicas: rotación

Cónicas: rotación. Rotación de los ejes coordenados. Motivación. Dado que en una cónica cuyo eje está rotado, no podemos obtener su ecuación canónica (tampoco sus foco/s, vértice/s, etc ), debemos utilizar el siguiente método.

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Cónicas: rotación

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  1. Cónicas: rotación Rotación de los ejes coordenados

  2. Motivación • Dado que en una cónica cuyo eje está rotado, no podemos obtener su ecuación canónica (tampoco sus foco/s, vértice/s, etc), debemos utilizar el siguiente método. • La ecuación general de segundo grado en donde B≠0 puede transformarse siempre en otra de la forma :

  3. ¿Cómo? • Rotando los ejes coordenados un ángulo θ agudo positivo para que los nuevos ejes coincidan con los ejes principales de la cónica. • Observemos la figura siguiente y veamos cómo podemos relacionar las coordenadas de un punto P en el sistema OXY con las coordenadas del mismo punto en el sistema rotado O’X’Y’

  4. Rotación de los ejes coordenados

  5. Relación: OXY <–> O’X’Y’ • Viendo el gráfico anterior se deduce que: • (1) (2) • Utilizando el seno y el coseno de la suma en (1) • Reemplazo desde (2) en la anterior:

  6. Forma matricial • El sistema puede expresarse en forma matricial: • Donde la matriz de los coeficientes, A, es la matriz de rotación. A es una matriz ortogonal, ya que At=A-1 • Por lo tanto, si quisiéramos ver cuál es el valor de X’ e Y’ sería muy fácil hallar la inversa.

  7. Transformación de la ecuación • Reemplazando las ecuaciones de X e Y en la ecuación general de segundo grado queda:

  8. Agrupando se obtiene una ecuación en términos de X’ Y’ donde el término cruzado es • Y utilizando las identidades trigonométricas: • El término cruzado queda:

  9. Elección del ángulo θ • Podemos elegir el ángulo θ para que B’=0, es decir para que desaparezca el término cruzado que es a donde queríamos llegar. • Por lo tanto B’=(C-A).sen(2 θ) +B.cos(2 θ )=0 •  • Con 2θ en el primero o en el segundo cuadrante

  10. Para ver en que cuadrante está 2 θ me fijo si es positivo está en el primero y si es negativo es porque el cos(2 θ ) es negativo, por lo tanto está en el segundo cuadrante. • Luego calculo el • Y tenemos que

  11. Determinación del tipo de cónica • Interesa determinar qué tipo de cónica es sin hacer la rotación de ejes. • Puede demostrarse que la siguiente igualdad: 4AC-B2 = 4A‘C’-(B’)2 • Donde A’ B’ y C’ son los coeficientes de la ecuación luego de la rotación de ejes. • En conclusión, el término 4AC-B2 permanece invariante ante la rotación.

  12. Determinación del tipo de cónica • Por lo tanto: si 4AC-B2 • es > 0 la cónica es tipo elipse • es <0 la cónica es tipo hipérbola • es =0 la cónica es tipo parábola

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