Download
1 / 24
300 likes | 502 Vues
Dane INFORMACYJNE. Nazwa szkoły: Zespół Szkół nr 2 w Wałczu ID grupy: 97/25_mf_g1 Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Równania diofantyczne Semestr/rok szkolny: III / 2010/2011. SPIS TREŚCI. Spis treści. 1 Wstep 2 Najpierw troche o NWD 3 Równanie
E N D
Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Zespół Szkół nr 2 w Wałczu • ID grupy: 97/25_mf_g1 • Kompetencja: matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: Równania diofantyczne • Semestr/rok szkolny: III / 2010/2011
SPIS TREŚCI Spis treści • 1 Wstep • 2 Najpierw troche o NWD • 3 Równanie • 4 Równanie • 5 Równanie Pitagorasa • 6 Równanie Fermata • 7 Literatura
1. Wstęp • Równaniem diofantycznym nazywamy równanie, na ogół o kilku niewiadomych, którego rozwiązań szukamy w liczbach całkowitych. • Nazwa tego typu równań pochodzi od imienia greckiego matematyka • Diofantosa (III w. n. e.). Znany jest epigram o długości jego życia: • Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant - a dzięki przedziwnej sztuce • zmarłego i wiek Jego zdradzi ci ten głaz: • Chłopcem przez szósta część życia pozostać bóg mu pozwolił, • Lica pokwitły mu zaś, kiedy dwunasta znów część życia minęła, • A znowu żywota gdy przebył część siódmą, • Młoda małżonke w dom dobry wprowadził mu bóg.
Która, gdy pięć lat minęło, małego powiła mu synka. • Ale okrutny chciał los, że kiedy syn ledwie wiek ojca • w połowie osiągnął, ponury zabrał go Hades. • Kojąc ogromny swój ból, szukał Diofant wśród liczb • Jeszcze przez cztery lata pociechy, aż rozstał sie z życiem. • Streszczając: 1/6 życia zajęła mu młodość, potem po 1/12 życia wyrosła mu broda, następnie po 1/7 życia ożenił się, po 5 latach urodził mu sie syn, syn żył połowę krócej od ojca, ojciec zmarł 4 lata po synu. • Czy wiesz ile lat żył Diofantos? • Może trzeba rozwiązać odpowiednie równanie diofantyczne? • Spróbuj!
2. Najpierw trochę o NWD • Twierdzenie: Jeśli a i b są liczbami całkowitymi nie równocześnie równymi zero, to istnieją liczby całkowite x oraz y spełniające równanie diofantyczne: • NWD(a,b)=ax+by. • Jak znaleźć przynajmniej jedną parę takich liczb x, y ?
Pokażemy to na przykładzie liczb a = 309 oraz b = 186. Zastosujemy algorytm Euklidesa do obliczenia NWD(a,b). 309 = 1 · 186 + 123 • 186 = 1 · 123 + 63 • 123 = 1 · 63 + 60 • 63 = 1 · 60 + 3 • 60 = 20 · 3 + 0 • Wtedy mamy NWD(309, 186) = 3 oraz 3 = 63 − 1 · 60 = 63 − 1 · (123 − 1 · 63) = 2 · 63 − 1 · 123 • = 2 · (186 − 1 · 123) − 1 · 123 = 2 · 186 − 3 · 123 = • = 2 · 186 − 3 · (309 − 1 · 186) =−3 · 309 + 5 · 186
Zatem 3 = −3 · 309 + 5 · 186 i rozwiązanie naszego równania diofantycznego jest postaci x = −3, y = 5. • Czy jest to jedyne rozwiązanie?
