Zbieżność szeregu Fouriera

1. Zbieżność szeregu Fouriera • Warunki zbieżności Dirichleta • Zachowanie szeregu Fouriera w punktach nieciągłości • Peter G. L. Dirichlet • Zbieżność średniokwadratowa • Twierdzenie Parsevala • Moc ułamkowa • Efekt Gibbsa • Okna Fejera, Lanczosa... • Podsumowanie „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

2. Szereg Fouriera sygnału x(t) „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

3. Warunek zbieżnościDirichleta (I) Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]: klasa sygnałów A A1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, A2) posiada skończoną liczbę ekstremów, A3) jest ograniczony klasa sygnałów B B1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II rodzaju, B2) poza punktami nieciągłości B1) spełnia warunki A1A3, B3) jest bezwzględnie całkowalny to wykładniczy szereg Fouriera jest zbieżny (jednostajnie) do sygnału x(t) we wszystkich punktach jego ciągłości. Warunki Dirichleta są warunkami wystarczającymi. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

4. I I x(t) sygnał klasy A czas 0 T „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir Warunek Dirichleta (I)

5. sygnał klasy B x(t) czas 0 T „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir Warunek Dirichleta (I) II I

6. Warunek Dirichleta (I) W punktach nieciągłości I rodzaju szereg Fourieraprzyjmuje wartość: sugerujący, że w punktach nieciągłości sygnałux(t) jego wartość powinna być równa średniejarytmetycznej granicy lewo- i prawostronnej. Umowa ta gwarantuje zbieżność szeregu Fouriera dosygnału we wszystkichchwilach czasu (ale jednostajnąwyłącznie w punktach ciągłości). „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

7. Zachowanie szeregu Fouriera w punkcie nieciągłości x(t-) x(t) x(t+) czas 0 t T „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

8. Punkt nieciągłości Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości 12 10 8 6 4 2 (10 harmonicznych) 0 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 czas „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

9. Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości 12 10 8 6 4 2 0 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 czas Punkt nieciągłości (20 harmonicznych) „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

10. Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]: klasa sygnałów A A1) ma wahanie ograniczone klasa sygnałów B B1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II rodzaju, B2) poza punktami nieciągłości B1) spełnia warunek A1, B3) jest bezwzględnie całkowalny to wykładniczy szereg Fouriera jest zbieżny (jednostajnie) do sygnału x(t) we wszystkich punktach jego ciągłości. warunek I warunek II Warunek zbieżnościDirichleta - II „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

11. Warunek zbieżności Dirichleta - II Sygnał bezwzględnie całkowalny wg. G. M. Fichtenholz„Rachunek różniczkowy i całkowy”, tom II, str. 507 „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

12. Warunek zbieżności Dirichleta - II „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

13. Peter Gustav Lejeune Dirichlet • Matematyk niemiecki, I poł. XIX wieku • Najważniejsze osiągnięcia: • teoria liczb - funkcje dzeta • teoria mnogości - zasada szufladkowa • teoria szeregów - zasada zbieżności „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

14. Peter Gustav Lejeune Dirichlet Funkcje dzeta Riemanna:(przypadek funkcji Dirichleta) Tożsamość Eulera: „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

15. Peter Gustav Lejeune Dirichlet Hipoteza Riemanna:(nieudowodniona do dzisiaj) Wszystkie miejsca zerowe (a jest ich nieskończenie wiele) funkcji dzeta Riemanna mają postać: Dowód hipotezy Riemanna zmieniłby oblicze teorii liczb; obliczenia numeryczne wskazują, że przeszło 1,5 x 109 liczb spełnia hipotezę Riemanna. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

16. Peter Gustav Lejeune Dirichlet Twierdzenie o liczbach pierwszych:(korzysta z funkcji dzeta Dirichleta) Błąd oszacowania: x = 1010 4,5% x = 1014 3,0% x = 1018 2,5% „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

17. Peter Gustav Lejeune Dirichlet Zasada pudełkowa Dirichleta: Jeżeli N przedmiotów umieścimy w K < N pudełkach, to w którymś z pudełek znajdą się co najmniej 2 przedmioty. N = 4 K = 3 Zastosowanie: W Krakowie mieszkają 2 osoby mające tę samą liczbę włosów na głowie (N 800.000) Największa liczba włosów na głowie - K = 500 000 „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

18. Zbieżność średniokwadratowa szereg Fouriera aproksymacjaszeregiem Fouriera Średniokwadratowy błąd aproksymacji „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

19. Zbieżność średniokwadratowa Szereg Fouriera stanowi aproksymację średniokwadratowąsygnału. Warunkiem jej istnienia jest skończona wartość całki: a więc skończona energia (moc) sygnału. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

20. Twierdzenie Parsevala Twierdzenie Parsevala pozwala wyznaczyć moc sygnału: w dziedzinie częstotliwości: „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

21. 1 t T = 1 Moc ułamkowa 0.2 0.15 |Xk| 0.1 Moc ułamkowa 0.05 0 0 5 10 15 20 25 30 35 kfo „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

22. 100 95 1 t 90 P(kfo) [%] 85 T = 1 Sygnał piłokształtny 80 75 0 5 10 15 20 25 30 35 kf0 Moc ułamkowa „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

23. Aproksymacja sygnału piłokształtnego 1 2 harmoniczne 0.8 90% mocy sygnału 0.6 1 t 0.4 T = 1 0.2 0 0 0.5 1 1.5 Moc ułamkowa(sygnał piłokształtny - 90%) „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

24. Aproksymacja sygnału piłokształtnego 1 0.8 4 harmoniczne 95% mocy sygnału 1 0.6 t 0.4 T = 1 0.2 0 0 0.5 1 1.5 Moc ułamkowa(sygnał piłokształtny - 95%) „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

25. Aproksymacja sygnału piłokształtnego 1.2 1 16 harmonicznych 99% mocy sygnału 0.8 1 0.6 t 0.4 0.2 T = 1 0 -0.2 0 0.5 1 1.5 Moc ułamkowa(sygnał piłokształtny - 99%) „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

26. 1.4 efekt Gibbsa 1.2 1 0.8 Impuls prostokątny 0.6 11 harmonicznych 0.4 0.2 0 -0.5 0 0.5 Efekt Gibbsa „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

27. 1.4 efekt Gibbsa 1.2 1 0.8 Impuls prostokątny 0.6 39 harmonicznych 0.4 0.2 0 -0.5 0 0.5 Efekt Gibbsa „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

28. 1.4 efekt Gibbsa 1.2 1 0.8 Impuls prostokątny 0.6 79 harmonicznych 0.4 0.2 0 -0.5 0 0.5 Efekt Gibbsa „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

29. Efekt Gibbsa Efekt Gibbsa występuje w punktach nieciągłości sygnału, a objawia się jako nadmierne oscylacje aproksymacji skończonym szeregiem Fouriera; poziom oscylacji jest niezależny od długości aproksymacji. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

30. Okna Fejera, Lanczosa... Funkcja okna (ang. window) jest dobierana w celu minimalizacji efektu Gibbsa. W klasycznej aproksymacji jest stosowane okno prostokątne o wagach „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

31. Okna Fejera, Lanczosa... Okno Fejera Okno prostokątne Okno Lanczosa Okno von Hanna, Hamminga, Kaisera... „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

32. Okna aproksymacji szeregiem Fouriera 1 0.8 0.6 okno prostokątne waga wn okno Fejera okno Lanczosa 0.4 okno von Hanna podwójna szerokość okna 2*k + 1 0.2 0 -15 -10 -5 0 5 10 15 numery wyrazów szeregu Fouriera n Okna Fejera, Lanczosa... „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

33. 1.4 Impuls prostokątny 1.2 11 harmonicznych 1 0.8 0.6 okno prostokatne impuls prostokątny 0.4 okno Fejera okno Lanczosa 0.2 0 -0.5 0 0.5 Okna Fejera, Lanczosa... Impuls prostokątny 7 harmonicznych „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

34. 1.4 Impuls prostokątny 1.2 15 harmonicznych 1 0.8 0.6 okno prostokatne impuls prostokątny okno Fejera 0.4 okno Lanczosa 0.2 0 -0.5 0 0.5 Okna Fejera, Lanczosa... „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

35. Okna, efekt Gibbsa, błąd aproksymacji... Okna Fejera, Lanczosa pozwalają w dużym stopniu zmniejszyć efekt Gibbsa (oscylacje w pobliżu punktu nieciągłości sygnału), ale kosztem wzrostu błędu średniokwadratowego. Pamiętajmy, że przecież szereg Fouriera (z oknem prostokątnym) stanowi najlepszą aproksymację sygnału, zapewniającą minimum błędu średniokwadratowego. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

36. Podsumowanie • Warunki Dirichleta zapewniają zbieżność szeregu Fouriera do wartości sygnału; w punktach nieciągłości szereg Fouriera generuje „średnią arytmetyczną” nieciągłości. • Praktycznym warunkiem zbieżności jest skończona wartość mocy sygnału (zbieżność średniokwadratowa). • Ze zbieżności średniokwadratowej wynika twierdzenie Parsevala pozwalające wyznaczyć moc sygnału poprzez moc poszczególnych składowych harmonicznych. • Moc ułamkowa (konsekwencja tw. Parsevala) pozwala szacować w praktyce użyteczną szerokość pasma sygnału. • W pobliżu punktów nieciągłości aproksymacja szeregiem Fouriera wykazuje nadmierne i utrzymujące się fluktuacje (efekt Gibbsa). • Okna Fejera, Lanczosa i inne pozwalają redukować efekt Gibbsa, ale kosztem dokładności aproksymacji. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir