Curso de: Matemáticas de Apoyo Geometría Analítica

1. Curso de: Matemáticas de ApoyoGeometría Analítica Instructor: Dra. María Esther Treviño Martínez

2. Coordenadas Rectangulares

3. Distancia entre dos puntos

4. Punto medio

5. Pendiente de una recta • Si 2 rectas son paralelas sus pendientes son iguales • Si 2 rectas son perpendiculares la pendiente de una será el recíproco de la otra con el signo contrario

6. Línea Recta • Representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables. Formas de la ecuación de una recta a) PUNTO-PENDIENTE Recta que pasa por el punto P1(x1, y1) y cuya pendiente sea m b) PENDIENTE-ORDENADA EN EL ORIGEN Recta de pendiente m que corta al eje en y en el punto P1(0, b) y cuya

7. Línea Recta Formas de la ecuación de una recta c) CARTESIANA Recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) d) REDUCIDA O ABSCISA Y ORDENADA EN EL ORIGEN Recta que corta a los ejes x y y en los puntos (a, 0) y (0, b)

8. Línea Recta Formas de la ecuación de una recta e) GENERAL Ecuación lineal o de primer grado

9. Línea Recta Formas de la ecuación de una recta f) NORMAL Recta que queda determinada si se conoce la longitud de la perpendicular a ella trazada desde el origen (0, 0) y el ángulo que forma dicha perpendicular con el eje x. La distancia p positiva a cualquier valor del ángulo w .

10. Línea Recta Reducción de la forma general a la normal

11. Distancia de un punto a una recta Ecuación para L: Ecuación para L1:

12. Secciones Cónicas • El lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un punto y una recta fijos es constante se define como cónica o sección cónica. • El punto fijo se llama foco. • La recta fija se llama directriz. • La relación constante se llama excentricidad.

13. Secciones Cónicas Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono: parábola (A), elipse y círculo (B) e hipérbola (C).

14. Secciones Cónicas

15. Secciones Cónicas Excentricidad: en matemáticas, geometría, astronomía y otras ciencias exactas, es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia. Valores de la excentricidad en secciones cónicas:

16. Circunferencia Es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. La ecuación queda completamente determinada si se conoce el centro y el radio Ecuación una circunferencia con centro en el origen y radio r Ecuación una circunferencia de centro (h,k) y radio r

17. Circunferencia Ecuación general de una circunferencia Reordenando Completando cuadrados Se tiene la ecuación Con centro en el punto y radio igual a

18. Dados tres puntos cualesquiera no alineados, existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos (esta circunferencia estará circunscrita al triángulo definido por estos puntos). Dados tres puntos no alineados en el plano cartesiano                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         , la ecuación de la circunferencia está dada de forma simple por la determinante matricial: Circunferencia La circunferencia es real si: La circunferencia es imaginaria si: La circunferencia representa un punto si:

19. Circunferencia diámetro Diámetro: es el segmento de mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia; la longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia; la cuerda de longitud máxima es el diámetro. Secante: es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos. Tangente: es recta que toca a la circunferencia en un sólo punto.

20. Parábola Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo (foco).

21. Parábola Elevando al cuadrado Simplificando Si el foco está a la izquierda de la directriz Si el foco pertenece al eje y

22. Parábola Si el vértice de la parábola tiene coordenadas (h,k), de eje paralelo al eje de las x y foco a la derecha del vértice a una distancia a

23. Parábola Excentricidad Latus rectum

24. Elipse Una elipsees un lugar geométrico de los puntos (x, y) de un plano, que tienen la propiedad de que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F1yF2), es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor AB de la elipse.

25. Elipse Eje mayor = 2a Eje menor = 2b Distancia focal = 2c

26. Elipse Elevando al cuadrado y reduciendo términos Elevando al cuadrado y simplificando Dividiendo por Haciendo que

27. Elipse Ecuación de la elipse con centro en el origen y focos en el eje de las x Ecuación de la elipse con centro en el origen y focos en el eje de las y

28. Elipse Excentricidad Latus rectum Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje y

29. Elipse Si el centro de la elipse tiene coordenadas (h,k) y eje transversal paralelo al eje x Si el centro de la elipse tiene coordenadas (h,k) y eje transversal paralelo al eje y Ecuación general de una elipse siempre que A y B del mismo signo

30. Hipérbola Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos (x , y) de un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F1yF2), es constante e igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

31. Hipérbola C: punto central de la hipérbola donde se cruzan las asíntotas. Eje transversal: línea que une los puntos focales (F1 y F2). a : distancia del vértice al centro sobre el eje transversal. Eje conjugado: línea perpendicular al eje transversal de distancia 2b. b: punto de corte del eje conjugado con la circunferencia de centro ay radioc. Directrices, D1y D2: líneas paralelas al eje conjugado. Latus rectum: cuerda que pasa por el foco en forma paralela a la directriz.

32. Hipérbola Por definición

33. Hipérbola Elevando al cuadrado y reduciendo términos Elevando al cuadrado y simplificando Haciendo que Dividiendo por

34. Hipérbola Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las x Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las y Ecuación general de una hipérbola con centro en el origen y focos sobre los ejes de coordenadas

35. Hipérbola Excentricidad Latus rectum Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x y cuando están sobre el eje y Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x y cuando el eje transversal es el eje y

36. Hipérbola Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversal paralelo al eje x Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversal paralelo al eje y Ecuación general de una hipérbola con centro en las coordenadas (h,k) y ejes paralelos a los de las coordenadas x y y,siendo A y B del mismo signo

37. Hipérbola Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x y cuando el eje transversal es el eje y Ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola con centro en las coordenadas (h,k) para cuando el eje transversal es el eje x y cuando el eje transversal es el eje y