5. SINIF KÜMELER

1. 5. SINIF KÜMELER

2. GİRİŞ ❁Konu Anlatımı❁Değerlendirme❁Kaynaklar ❁Çıkış

3. KÜMELER ✰Alt Küme Kümelerde Birleşim Kümelerde Kesişim Kümelerle İlgili Problemler

4. ALT KÜME B A • kalem • silgi • kalem • silgi • defter D C • silgi • defter • kalem • defter

5. F E • silgi • kalem H G • defter

6. Yukarıda venn şeması ile verilen kümeleri inceleyiniz. Bir öğrencinin çantasında kalem, silgi ve defter vardır. Bunlar küme oluşturur. Kalem ile silgiyi, kalem ile defteri veya silgi ile defteri birlikte ayrı ayrı başka yerlere koysak, ya da bunların her birini tek tek ayırsak yine bir küme oluşturur. Boş kümeyi de bunlara katınca, kaç küme olur? A, B, C, D, E, F, G kümelerinin her elemanı A kümesinin de elemanıdır. Bu kümeler A kümesinin birer parçasıdır. Bu kümelerin her birine A kümesinin (A kümesine dahil)alt kümesi (küme parçası) denir. www.sorubak.com A kümesinin dışında kalan; B, C, D, E, F, G ve H (boş küme) A kümesinin öz alt kümeleridir. Örnekler

7. Örnek 1 A= {1, 2, 3, 4, 5} ve B= {1, 2, 3} veriliyor. Buna göre, B kümesinin elemanları olan 1, 2, 3 doğal sayıları A kümesinin de elemanı olduğu içinB kümesi, A kümesinin alt kümesidir. A B Aşeklinde yazılır,“B, A nın alt kümesidir.” diye okuruz. ∩ B • 1 • 2 • 3 4 • 5 Alt küme işareti A Bşeklinde yazılır, “A, B yi kapsar.” diye okuruz. ∩ Kapsama İşareti

8. Örnek 2 A A= {a, b, c, d} kümesi ile B= {c, d} kümesinin şema ile gösterimini inceleyiniz. B kümesinin elemanları A kümesinde var mıdır? B • c • d • a • b Çözüm B kümesinin elemanlarının tümü A kümesinde vardır. B kümesinin elemanları A kümesinin de elemanı ise, B kümesi A kümesi A kümesinin alt kümesidir.B Aşeklinde yazılır, “B kümesi, A kümesinin alt kümesidir.”diye okunur. ∩

9. Her küme kendisinin alt kümesidir. Bir Küme ile Kendisi Arasındaki İlişki D F • c • a • ☻ • m • a • c • ☻ • m F= {m,☻, c, a} D= {☻, a, c, m} D kümesinin bütün elemanları F kümesinin elemanı mıdır? D kümesinin bütün elemanlarının F kümesinin elemanı olduğu görülmektedir. O halde; D F veya F D yazabiliriz. ∩ ∩

10. Boş küme her kümenin alt kümesidir. VERİLEN BİR KÜME İLE BOŞ KÜME ARASINDAKİ İLİŞKİ K M • a • e • 5 • d M= {} K= {5, d, a, e} M kümesi nasıl bir kümedir? M K diyebilir miyiz? ∩

11. ∩ ∩ BİR KÜMENİN, VERİLEN BİR KÜMENİN ALT KÜMESİ OLUP OLMADIĞINI SEMBOL KULLANARAK YAZMA A B • a • d • b • e • b • d • a • c Yukarıda verilen B kümesinin her elemanı A kümesinde var mıdır? B kümesinin her elemanı A kümesinde yoktur. Öyleyse, B A yazabilir miyiz? B A yazarız, “B kümesi A kümesinin alt kümesi değildir.” diye okuruz. Örnek

12. a • d ∩ ∩ ∩ ∩ Örnek D = “a, b, d, e” ; E = “a, d, g” E kümesinin elemanı olan g, D kümesinin elemanı değildir. D ve Ekümeleri arasında kapsamayoktur. E D • b • e • g D E şeklinde yazar, “D, E yi kapsamaz.” diye okuruz. E D şeklinde yazar, “E, D nin alt kümesi değildir.” diye okuruz. Hangi biçimde söylenirse söylensinD E ya da E D aynı anlama gelir.

13. Eleman sayısını “n” ile gösterirsek, alt küme sayısı 2 dir. BİR KÜMENİN ALT KÜMELERİNİN SAYISI NASIL BULUNUR Soru A= {6, 7, 8} kümesinin kaç tane alt kümesi olduğunu bulalım. Çözüm A kümesinin eleman sayısını 2 nin üssü biçiminde yazarsak pratik olarak buluruz. 2 = 2*2*2= 8 3 n

14. S M = N şeklinde yazar, “S kümesi birleşim M kümesi, eşittir N kümesi.” diye okuruz. ∩ KÜMELERDE BİRLEŞİM İŞLEMİ Sınıfımızda spor kolunda görevli öğrencilerin kümesi, S= {Gürcan, Serdal, Tolga} Sınıfımızda müzik kolunda görevli öğrencilerin kümesi, M= {Gamze, Seda, Aslı}olsun. İki kola seçilen öğrenciler, yürüyüşlerde söylenecek marşları tesbit etmek için toplanıyorlar. Toplantıya katılan öğrencilerin kümesi: N= {Gürcan, Serdal, Tolga, Gamze, Seda, Aslı}olur. N kümesine, S ve M kümesinin birleşimi denir.

15. s(S) = 3 s(M) = 3 s(S M) = 6 S M = N ∩ ∩ M S • Aslı • Tolga • Gamze • Gürcan • Seda • Serdar İki ya da daha fazla kümenin elemanları bir araya getirilerek oluşturulan yeni kümeyebirleşim kümesidenir. Örnek

16. Gamze • Gürcan Örnek A= {Evren, Gamze, Gürcan} B= {Gamze, Gürcan, Ebru, Emre} kümelerinin birleşim kümesini, liste biçiminde ve venn şeması ile gösterelim. Çözüm Liste yöntemi ile; A B = {Evren, Gamze, Gürcan}{Gamze, Gürcan, Ebru, Emre} A B = {Evren, Gamze, Gürcan, Ebru, Emre} ∩ ∩ ∩ Venn şeması ile; B A • Emre • Evren • Emre • Gürcan • Evren • Ebru • Gamze • Ebru A B ∩

17. KÜMELERDE KESİŞİM İŞLEMİ Okulumuzda basketbol oynayan öğrencilerin kümesi, B= {Sencer, Alper, Çetin, Efe, Hüseyin}olsun. Voleybol takımında oynayan öğrencilerin kümesi, V= {Alper, Çetin, Burak, Hüseyin, Fahri}olsun. Hem basketbol hem de voleybol takımında oynayanların kümesine de “ H ” diyelim: H= {Alper, Çetin, Hüseyin}olur.

18. Alper • Hüseyin • Çetin B V • Burak • Sencer • Fatih • Efe • Emre H Alper, Hüseyin ve Çetin her iki takımında elemanlarıdır. B ∩ V = {Alper, Hüseyin, Çetin} B ∩ V = H dir. İki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye bu kümelerin kesişim kümesidenir. B ve V kümelerinin kesişim kümesi, B ∩ V biçimde yazılır. “B kümesi kesişim V kümesi” diye okunur. Örnek

19. Dursun єA ∩ B Ahmet є A ∩ B Mustafa є A ∩ B dir. • Ahmet • Dursun Örnek A= {Dursun, Ahmet, Mustafa} B= {Dursun, Ahmet} kümelerini ve A ∩ B kümesini şema ile gösterelim; Çözüm B A • Mustafa B A olduğundan, A ∩ B = B dir. ∩ A ∩ B

20. Çözüm KÜMELERLE İLGİLİ PROBLEMLER Soru Bir köydeki ailelerden 37 si yalnız çiftçilik, 13 ü yalnız besicilik, 5 ise hem çiftçilik hem de besicilikle geçinmektedirler. Köyde başka iş yapan aile olmadığına göre, kaç aile yaşamaktadır?

21. Çözüm Çiftçilere: Ç Besicilere: B diyelim. Köydeki aile sayısı: s(Ç B)= 37+5+13 s(Ç B)= 55 tir. ∩ ∩ Ç B 5 13 37

22. KONU BİTTİ Konu testi için tıklayın!

23. ∩ ∩ KONU TESTİ 1)Aşağıdaki venn şemasına göre, hangisi yanlıştır? • B A • A B • A B • A B ∩ A B ∩ • v • g • 8 • b

24. ∩ ∩ 1. SORUNUN ÇÖZÜMÜ Verilen venn şemasına göre; A = {8, g, v, b} ; B = {g, v, b} olur. B kümesinin tüm elemanları A kümesinde vardır. B kümesinin elemanları A kümesinin de elemanı olduğundan; B A, A B, A B doğrudur. Fakat A B yanlıştır. ∩ ∩ Cevap : d şıkkı Diğer soruya geçmek için yandaki oka tıklayın!

25. 2)1 ile 15 arasında (15 dahil) 3 ile bölünebilen doğal sayıların oluşturduğu kümenin kaç tane alt kümesi vardır? • 8 b) 16 c) 32 d) 64

26. 2. SORUNUN ÇÖZÜMÜ 1 ile 15 arasında 3 ile bölünebilen doğal sayılar: A = {3, 6, 9, 15} Kümesini oluşturur. Eleman sayısı 5 tir. Buna göre; 2 = 2 = 2*2*2*2*2 = 32 tane alt kümesi vardır. n 5 Cevap : c şıkkı Diğer soruya geçmek için yandaki oka tıklayın!

27. 3)A, B, C kümelerinden hiçbiri boş küme olmadığına göre ve A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; A C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} olduğuna göre A kümesinin en fazla kaç elemanı vardır? ∩ ∩ • 9 b) 8 c) 7 d) 5

28. 3. SORUNUN ÇÖZÜMÜ A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A B ve A C kümelerinin ikisinde de A kümesi vardır. Bu yüzden ikisinde de bulunan ortak elemanlar aynı zamanda A kümesinin elemanlarını oluşturur. A = {2, 3, 4, 5, 6} buna göre s(A) = 5 tir. ∩ ∩ ∩ ∩ Cevap : d şıkkı Diğer soruya geçmek için yandaki oka tıklayın!

29. 4)K = {Haftanın günleri} ve L = {Cumartesi, pazar} kümeleri veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır ? • K ∩ L = {Cumartesi, pazar} • L K = {cumartesi, pazar} • s(L K) = 7 • K L ∩ ∩ ∩

30. 4. SORUNUN ÇÖZÜMÜ K={pazartesi, salı, çarşamba, perşembe, cuma, cumartesi, pazar} L={cumartesi, pazar} Buna göre; K L ={cumartesi, pazar} yanlıştır. K L = {pazartesi, salı, çarşamba, perşembe, cuma, cumartesi, pazar} olmalıdır. ∩ ∩ Cevap : b şıkkı Diğer soruya geçmek için yandaki oka tıklayın!

31. 5)Okulumuzda açılan matematik ve İngilizce kursuna 90 öğrenci katılmıştır. Matematik kursuna 54, İngilizce kursuna 50 öğrenci katıldığına göre her iki kursa kaç öğrenci katılmıştır? • 14 b) 16 c) 10 d) 12

32. 5. SORUNUN ÇÖZÜMÜ M Matematik kursuna katılanlar İ İngilizce kursuna katılanlar M∩İ Her iki kursa katılanlar M İ } M=54 İ=50 50 + 54 = 104 104 – 90 = 14 kişi her iki kursa katılmıştır. 40 14 36 Cevap : a şıkkı

33. KONU TESTİ BİTTİ