Calcolo delle probabilità

1. Calcolo delle probabilità • Il calcolo delle probabilità studia in modo matematico i fenomeni in cui è presente l’incertezza. • Sono dati degli eventi che possono verificarsi o non verificarsi, e ci si chiede: qual è la probabilità che l’evento E si verifichi? • Importante: anche se gli eventi sono incerti, i metodi di indagine sono suffragati dalle certezze fornite dallo strumento matematico: la matematica non è un’opinione, o almeno così credono i matematici.

2. Gli eventi • Vengono fatti degli esperimenti dall’esito incerto, e se ne considerano gli esiti. Un esito racchiude tutte le informazioni rilevanti sull’andamento dell’esperimento. • Si assume che in ogni esperimento si verifichi un esito ed uno solo. • Gli eventi sono affermazioni riguardanti gli esiti. Un evento può essere identificato con l’insieme degli esiti che lo soddisfano. Quindi gli eventi possono essere pensati come insiemi di esiti. • Nel nostro corso assumeremo che l’insieme degli esiti sia finito

3. Esempi • Viene lanciato un dado. Gli esiti sono allora: esce 1, esce 2, esce 3, esce 4, esce 5, esce 6. • L’evento esce un numero pari può essere identificato con l’insieme costituito da 2,4,6. • L’evento che corrisponde all’insieme vuoto di esiti, (nel nostro caso, l’evento non esce nulla) viene detto evento impossibile. • L’evento che corrisponde a tutti i possibili esiti (nel nostro caso, l’evento esce qualcosa) viene detto evento certo.

4. Esempi • Nel gioco del totocalcio, gli esiti sono le possibili colonne vincenti. Il numero di tali esiti è, come noto, 313 (numero di sequenze lunghe 13 dei tre oggetti 1, X, 2). • L’evento nella prima partita vince la squadra di casa, può essere identificato con l’insieme di tutte le colonne che iniziano con un 1 (312 colonne). • L’evento non ci sono vittorie in trasferta può essere identificato con l’insieme di tutte le colonne prive di 2 (213 colonne) • L’evento certo è vi è almeno una colonna vincente (soddisfatto da tutte le colonne) e l’evento impossibile è non esiste alcuna colonna vincente (nessuna colonna lo soddisfa).

5. Probabilità • Ci sono vari tentativi di definire la probabilità di un evento: • Impostazione frequentista. Ammettendo di poter ripetere l’esperimento ad libitum, la probabilità è la frequenza dell’evento (numero di casi in cui l’evento si verifica diviso per il numero degli esperimenti) su un numero molto grande (potenzialmente infinito) di esperimenti.

6. Altra impostazione • Supponiamo che non ci siano ragioni per ritenere che un esito possa verificarsi più facilmente di un altro. Allora la probabilità di un evento è il rapportofra il numero degli esiti che lo soddisfano (casi favorevoli) e il numero totale degli esisti (casi possibili). • Nota. Se gli esiti hanno tutti la stessa probabilità, diciamo che ci troviamo in uno spazio equiprobabile.

7. Impostazione soggettiva • La probabilità di un evento è la quota che un individuo razionale ritiene equoscommettere contro la posta unitaria (fissata in modo convenzionale, e.g., 1 Euro) sul verificarsi dell’evento. • Nota. Il fatto che l’individuo razionale consideri la quota equa lo impegna ad accettare la scommessa sia come scommettitore che come banco.

8. Principi generali Con ciascuna delle tre impostazioni, i seguenti principi generali sembrano ragionevoli: • La probabilità di un evento è la somma delle probabilità degli esiti che lo soddisfano, e quindi l’evento impossibile ha probabilità 0. • La probabilità di un esito è un numero compreso fra 0 e 1. • La somma delle probabilità di tutti gli esiti (probabilità dell’evento certo) è 1.

9. Principi generali • Questi principi consentono di definire la probabilità di un evento in base alle probabilità dei singoli esiti. • Siano e1,…,en gli esiti. Si ha allora: • Per i=1,…,n, Pr(ei) è compreso fra 0 e 1 (di solito nel caso finito si assume 0< Pr(ei) <1). • Pr(e1)+Pr(e2)+…+Pr(en)=1. • Inoltre, detti a1,…,ah gli esiti che soddisfano l’evento E, le probabilità di E è data da Pr(E)=Pr(a1)+…+Pr(ah).

10. Spazi equiprobabili • In uno spazio equiprobabile tutti gli esiti hanno la stessa probabilità. • Se gli esiti sono n, la probabilità di un esito è 1/n. • Quindi se gli esiti che soddisfano un evento E sono k, la probabilità di E è k/n. • In altre parole in uno spazio equiprobabile la probabilità di un evento è il rapporto fra il numero degli esiti che lo soddisfano (casi favorevoli) e il numero totale degli esiti (casi possibili).

11. Esempi • Qual è la probabilità che lanciando un dado bilanciato esca un numero dispari? • Risposta: vi sono 6 esiti possibili e 3 favorevoli (1, 3 e 5). La probabilità è quindi 3/6=1/2. • Un’urna contiene 22 palline bianche, 18 palline rosse e 14 palline nere. Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa? • Risposta: vi sono 18 casi favorevoli e 22+18+14=54 casi possibili. La probabilità è quindi 18/54=1/3.

12. Esempi • Qual è la probabilità di fare 13 al totocalcio giocando una schedina a caso? • Risposta: i casi possibili sono tanti quante le colonne, ossia 313. • Vi è un solo caso favorevole, la colonna vincente. • La probabilità cercata è 1/(313)=6,2723 . 10-7.

13. Esempi • Qual è la probabilità di fare 13 giocando 13 doppie a caso? • Risposta: Casi possibili: 313. • Casi favorevoli: tanti quante le sequenze di 13 elementi (colonne) in cui ciascun risultato può variare indipendentemente in 2 modi (i 2 risultati corrispondenti alla doppia giocata). • Per il principio moltiplicativo i casi favorevoli sono 213. • La probabilità cercata è 213/313=5,1382 . 10-3.

14. Esempi • Qual è la probabilità di fare cinquina al gioco del lotto giocando 5 numeri a caso su una data ruota? • Risposta: tutte le cinquine sono equiprobabili. • Vi è solo un caso favorevole, la cinquina che ho giocato io. • I casi possibili sono tanti quante le cinquine prese fra i 90 numeri del lotto, quindi C(90,5). • La probabilità richiesta è quindi 1/C(90,5)=2,2754. 10-8

15. Operazioni su eventi Siano A e B due eventi di uno stesso spazio campione. L’unione di A e B è l’evento che si verifica se si verifica almeno uno dei due. Tale evento è denotato con L’intersezione di A e B è l’evento che si verifica se A e B si verificano entrambi. Tale evento si denota con Il complemento di A è l’evento che si verifica se e solo se A non si verifica. Tale evento si denota con Ac. Due eventi si dicono incompatibili se la loro intersezione è l’evento impossibile.

16. Proprietà della probabilità • Sembra ragionevole assumere che se A e B sono incompatibili, la probabilità della loro unione sia la somma delle probabilità dei due eventi. • Infatti gli esiti che soddisfano l’unione sono quelli che soddisfano A più quelli che soddisfano B, e nessuno di essi è contato due volte. Vale pertanto la seguente: • Legge additiva della probabilità: se A e B sono incompatibili, allora:

17. Altre proprietà della probabilità Attenzione: se A e B non sono incompatibili, la legge additiva non si può più esprimere nella forma: Infatti, nell’espressione Pr(A)+Pr(B) gli esiti che soddisfano sia A che B sono contati due volte. Per avere un esatto computo della probabilità dell’unione di A e B, devo sottrarre a Pr(A)+Pr(B) la probabilità dell’intersezione, che è stata sommata due volte invece di una. In altri termini la legge additiva si modifica nella seguente:

18. Esempio • Qual è la probabilità di fare 12 al totocalcio giocando una colonna a caso? • Risposta: si può fare 12 sbagliando il primo risultato, il secondo,…, il tredicesimo. Per i=1,…,13, gli eventi faccio 12 sbagliando l’i-esimo risultato sono a due a due incompatibili. • Per ciascuno i casi favorevoli sono 2 (le possibilità sono 1, X, 2 quindi si può sbagliare in 2 modi), e i casi possibili sono 313. Quindi la probabilità di ciascuno di tali eventi è 2/ 313 . • Per la legge additiva la probabilità di fare 12 è 13.(2/ 313 )=26/ 313=1,6308.10-5

19. Proprietà della probabilità • Poiché l’unione di un evento A e del suo complemento Ac è l’evento certo di probabilità 1, per la legge additiva si ha: • 1=Pr(A)+Pr(Ac), da cui segue Pr(Ac)=1-Pr(A). • Questa legge è utile in alcuni casi in cui il calcolo di Pr(Ac) è più rapido del calcolo diretto di Pr(A).

20. Esempio: il paradosso del compleanno • Qual è la probabilità che su 30 persone scelte a caso almeno 2 di essi festeggino il compleanno lo stesso giorno? • Risposta: è meglio calcolare prima la probabilità del complemento, cioè la probabilità che tutti siano nati in giorni diversi. • Casi possibili: il giorno di nascita di ciascuno può variare indipendentemente in 365 modi diversi. Quindi i casi possibili sono 36530.

21. Esempio: il paradosso del compleanno • Casi favorevoli: la data di nascita del primo può variare in 365 modi, quella del secondo, dovendo essere diversa, può variare in 364 modi, quella del terzo in 363 modi,, etc. • Totale: D(365,30)=365.364. … .336 casi favorevoli. • La probabilità di 30 compleanni in giorni diversi è quindi D(365,30)/36530=0,29368. • La probabilità di due persone con lo stesso compleanno è quindi 1-0,29368=0,70632, più del 70%.

22. Un altro esempio • Il paradosso del compleanno ci insegna che su un grande numero di esperimenti le stranezze diventano probabili, e ciò che deve davvero sorprendere è l’assenza completa di sorprese. • Questo è messo in luce anche dal seguente esempio. • Viene scelta a caso una stringa binaria di 100 bit (zeri e uni). • Qual è la probabilità che vi siano almeno 2 bit consecutivi uguali?

23. Risposta • Calcoliamo la probabilità del complemento, cioè che due bit consecutivi siano sempre diversi. • Vi sono 2100stringhe binarie, quindi 2100 casi possibili. • I casi favorevoli sono due: 01010101…. e 10101010…. • Quindi la probabilità del complemento è 2/ 2100 =1,5777. 10-30. • La probabilità dell’evento è 1-(1,5777. 10-30), che è vicinissima a 1.

24. Altri esercizi • Un’urna contiene 10 palline bianche e 15 palline nere. Ne vengono estratte due con reimbussolamento. Qual è la probabilità che almeno una pallina sia bianca? • Risposta: Valutiamo prima la probabilità dell’evento complementare, cioè la probabilità di 2 palline entrambe nere. • Casi possibili: tanti quante le sequenze di 2 palline prese dalle 25 dell’urna, ossia 252=625. • Casi favorevoli: tanti quante le sequenze di 2 palline prese fra le 15 nere, ossia 152=225.

25. Altri esercizi • La probabilità dell’evento complementare è quindi 225/625=9/25. • La probabilità di estrarre almeno una pallina bianca è 1-9/25=16/25.

26. Altri esercizi • Qual è la probabilità di estrarre almeno una pallina bianca se le estrazioni sono senza reimbussolamento? • Per l’evento complementare, i casi possibili sono C(25,2)=300, e i casi favorevoli sono C(15,2)=105. • La probabilità del complemento è dunque 105/300=7/20. • Quindi la probabilità di estrarre almeno una pallina bianca è 1-7/20=13/20.

27. Problemi di riepilogo • Qual è la probabilità di fare 6 al superenalotto giocando una sestina di numeri? Risposta: 1/C(90,6)=1,6061 .10-9. • Qual è la probabilità di avere una scala reale all’asso servita giocando a Poker con 32 carte? • Risposta. I casi possibili sono tanti quante le cinquine di carte prese fra le 32 del mazzo. • I casi favorevoli sono 4, poiché vi è una scala reale all’asso per ogni seme. • La probabilità è quindi 4/C(32,5)=1,9863.10-5.

28. Problemi di riepilogo • Da un mazzo di 40 carte ne estraiamo 5 a caso. Qual è la probabilità che siano tutte dello stesso seme? • Risposta: I casi possibili sono C(40,5). • Possiamo suddividere i casi favorevoli in: 5 cuori, 5 picche, 5 quadri e 5 fiori. Vi sono 10 carte per ogni seme, quindi i casi favorevoli per ogni seme sono C(10,5). • In totale vi sono 4.C(10,5) casi favorevoli. • La probabilità cercata è 4.C(10,5)/C(40,5)=1,5319.10-3.

29. Problemi di riepilogo • Due stringhe binarie (di zeri e uni) di lunghezza 1000 differiscono per 30 bit. Scegliamo 50 posizioni a caso fra le 1000 e confrontiamo i corrispondenti bit. Qual è la probabilità che in almeno una delle posizioni controllate le due sequenze differiscano? • Risposta: Calcoliamo la probabilità del complemento, cioè che tutti i bit controllati coincidano. • I casi possibili sono C(1000,50). • I casi favorevoli sono C(930,50). • La probabilità del complemento è C(970,50)/C(1000,50)=0,20968. La probabilità cercata è quindi 1-0,20968=0,79032, quasi l’80%.

30. Problemi di riepilogo • Qual è la probabilità di fare terno giocando 3 numeri al lotto su una data ruota? • Risposta. Presentiamo due soluzioni. • Nella prima consideriamo come casi possibili tutte le cinquine prese fra i 90 numeri e come casi favorevoli quelle che contengono i 3 numeri da me giocati. • Nella seconda consideriamo come casi possibili tutte le terne giocabili e come casi favorevoli quelle contenute nei 5 numeri estratti.

31. Prima soluzione • Casi possibili: C(90,5). • Casi favorevoli: 3 numeri su 5 devono coincidere con i numeri da me giocati, mentre gli altri 2 possono variare fra i rimanenti 87 numeri. • I casi possibili sono tanti quante sono le coppie non ordinate di numeri presi fra i rimanenti 87, vale a dire C(87,2). • La probabilità di fare terno è quindi C(87,2)/C(90,5)=8,5121. 10-5.

32. Seconda soluzione • Casi possibili: C(90,3). • Casi favorevoli: Devo indovinare un insieme di 3 numeri presi fra i 5 estratti. • Le possibilità sono tante quanti i sottoinsiemi di 3 elementi dell’insieme dei 5 numeri estratti, cioè C(5,3). • La probabilità di fare terno è quindi C(5,3)/C(90,3)=8,5121. 10-5.

33. Probabilità condizionata • Sapendo che la probabilità di avere due bombe su un aereo è pressoché nulla, mentre la probabilità di averne una, pur essendo bassa, non è del tutto trascurabile, un matematico che deve fare un viaggio in aereo decide di portare con se una bomba che ovviamente non farà esplodere. • Egli in questo modo si sente tranquillo rispetto alla possibilità di un’altra bomba, dato che la presenza di due bombe è pressoché impossibile. • Dove sbaglia il nostro matematico?

34. Probabilità condizionata • L’errore consiste nel fatto che ora possediamo una nuova informazione, la presenza sull’aereo della bomba portata dal matematico. Pertanto il modello probabilistico è cambiato. • La probabilità che interessa non è più quella di avere 2 bombe a bordo, ma quella di avere 2 bombe a bordo dato che ce n’è già una. • Quello illustrato sopra è un esempio di probabilità di un evento (una seconda bomba a bordo) condizionatamente al verificarsi di un altro evento (la prima bomba a bordo).

35. Probabilità condizionata • La probabilità condizionata di un evento A dato un evento B (in simboli: Pr(A | B)) è la probabilità che si verifichi A nell’ipotesi che si verifichi B. • La probabilità di A dato B è strettamente collegata alla probabilità dell’intersezione di A e B. Si ha infatti:

36. Probabilità condizionata Teorema della Probabilità Condizionata: Quindi assumendo si deduce:

37. Teorema della probabilità condizionata • Verifichiamo il teorema nell’ipotesi di uno spazio equiprobabile (il teorema vale però in generale!). • Se si verifica B, gli esiti che non soddisfano B sono esclusi, e i casi possibili sono quelli che soddisfanoB. • I casi favorevoli ad A (considerando solo quelli possibili, cioè quelli che soddisfano B) sono quelli che soddisfano sia A che B. • Quindi il rapporto fra numero di casi favorevoli e numero di casi possibili è

38. Esempi • Un’urna contiene 10 biglie rosse e 15 biglie blu. Ne estraiamo 2 senza reimbussolamento. Vogliamo calcolare la probabilità che escano una biglia rossa ed una blu, in qualunque ordine. • Indichiamo con 1R l’evento la prima estratta è rossa, con 1B l’evento la prima estratta è blu. Similmente 2R e 2B denotano gli eventi la seconda estratta è rossa e la seconda estratta è blu. • L’evento escono una biglia rossa ed una blu può essere scritto come

39. Esempi Per la legge additiva, la probabilità di estrarre una biglia rossa ed una blu è data da Per il Teorema della probabilità composta, si ha: Si ha subito: Pr(1R)=10/25=2/5Pr(1B)=15/25=3/5.

40. Esempi Valutiamo ora Pr(2B|1R). Se la prima biglia estratta è rossa restano nell’urna 24 biglie di cui 15 blu. Pertanto Pr(2B|1R)=15/24=5/8 Valutiamo Pr(2R|1B). Se la prima biglia estratta è blu, restano nell’urna 24 biglie di cui 10 rosse. Quindi Pr(2R|1B)=10/24=5/12. In conclusione, la probabilità di estrarre una biglia rossa e una blu è data dalla formula: La probabilità richiesta è quindi 1/2

41. Altri esempi • Sono date due urne. La prima contiene 3 palline rosse e 5 blu, la seconda contiene 7 palline rosse e 4 blu. Si sceglie un’urna a caso (lanciando una moneta), e poi si sceglie una pallina a caso nell’urna estratta. Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa? • Risposta: Siano U1 e U2 gli eventi l’urna estratta è la prima e l’urna estratta è la seconda. Sia R l’evento la pallina estratta è rossa. Si ha

42. Altri esempi • Ora, Pr(U1)=Pr(U2)=1/2 (se la moneta è bilanciata). • Inoltre se l’urna estratta è la prima la probabilità di estrarre una pallina rossa è 3/8, e se l’urna estratta è la seconda, la probabilità di estrarre una pallina rossa è 7/11. • Quindi Pr(R|U1)=3/8, e Pr(R|U2)=7/11. • Pertanto, Pr(R)=(1/2).(3/8)+(1/2).(7/11)=89/176 (poco più di ½).

43. Legge di Bayes Dal Teorema della Probabilità composta segue subito che Se ne deduce Pr(A) . Pr(B|A)= Pr(B) . Pr(A|B). Questa legge, detta Legge di Bayes, consente di ricavare uno qualsiasi dei valori Pr(A), Pr(B), Pr(A|B) e Pr(B|A) una volta noti gli altri tre.

44. Esempi • In un certo periodo dell’anno, in Italia, la percentuale dei malati di influenza è del 7%. • La percentuale degli Italiani che frequenta abitualmente locali pubblici è del 75%. • Il 90% degli Italiani con l’influenza frequenta locali pubblici. • Il Signor Rossi frequenta abitualmente locali pubblici. • Qual è la probabilità che si prenda l’influenza?

45. Esempi • Risposta: siano I e P gli eventi avere l’influenza e frequentare locali pubblici. Per ipotesi, Pr(I)=7%, Pr(P)=75%. Inoltre Pr(P | I)=90%. • Quella che vogliamo calcolare è la probabilità per un generico individuo di prendersi l’influenza dato che frequenta locali pubblici, cioè Pr(I | P). • Per la legge di Bayes, si ha • Pr(I | P)=(Pr(P | I) . Pr(I)):Pr(P)=(7% 90%):(75%) = 63/750=21/250 che corrisponde all’8,4%.

46. Esempi • Nell’esempio precedente la legge di Bayes ha consentito di calcolare la probabilità di avere una malattia date le possibili cause (diagnosi probabilistica) • Nel prossimo esempio mostreremo come viceversa in presenza della malattia si possa calcolare la probabilità che sia intervenuta una certa causa (anamnesi probabilistica)

47. Esempi • Il 18% di una certa popolazione soffre di disturbi gastrici. • Il 28% di tale popolazione mangia troppe sostanze grasse. • Il 30% delle persone che mangiano troppi grassi soffre di disturbi gastrici. • Un medico viene interpellato da un paziente che lamenta disturbi gastrici. • Qual è la probabilità che il paziente abusi di sostanze grasse?

48. Esempi • Risposta. Sia Gr l’evento: il paziente abusa di sostanze grasse, e sia Ga l’evento: il paziente soffre di disturbi gastrici. Si ha: • Pr(Ga)=18%, Pr(Gr)=28%, Pr(Ga | Gr)=30%. • Pertanto, Pr(Gr | Ga)=(30% . 28%):18%=7/15, poco meno di ½.

49. Altri esempi • In una certa nazione il 40% delle persone coinvolte in incidenti stradali guidavano in stato di ubriachezza, mentre il rimanente 60% (quindi una percentuale maggiore) erano complessivamente sobri. Possiamo quindi dedurre che è meno rischioso guidare ubriachi? • La risposta sarebbe SI se la percentuale dei guidatori ubriachi fosse uguale a quella dei guidatori sobri.

50. Altri esempi • Supponiamo che la percentuale dei guidatori ubriachi in quella nazione sia del 10% e che il 20% dei guidatori sia coinvolto in qualche incidente. Qual è la probabilità di essere coinvolto in un incidente per un guidatore ubriaco e per un guidatore sobrio? • Risposta: indichiamo con U, con S e con I rispettivamente gli eventi guidare in stato di ubriachezza, guidare dasobri, e avere unincidente. I dati del problema si riassumono come segue: