Rovnice a nerovnice

1. Rovnice a nerovnice Základní poznatky o rovnicích VY_32_INOVACE_M1r0101 Mgr. Jakub Němec

2. Rovnice • Z předchozích let byste měli znát několik základních poznatků o rovnicích. Pro jistotu si ji na následujících snímcích zopakujeme. • Mezi základní pojmy, které se využívají při řešení rovnic, zcela jistě patří rovnost, resp. rovnost výrazů. • Rovnost výrazů v matematice znamená, že dva výrazy jsou (po úpravě) totožné.

3. Rovnice s jednou neznámou • Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterých se vyskytuje jedna neznámá (písmeno). • Neznámá může mít různé hodnoty. Ne pro všechny je však rovnost platná. Takové neznámé, pro které platí daná rovnost, nazýváme řešení, resp. kořen rovnice.

4. Do zadané rovnice můžeme dosadit libovolnou neznámou. Vpravo jsme zvolili x = 1. sami jsme však zjistili, že levá a pravá strana rovnice si neodpovídají. Číslo 1 tedy není kořenem této rovnice. Vlevo jsme zvolili neznámou x = 0. Po dosazení do obou stran rovnic jsme zjistili, že si hodnoty výrazů pravé a levé strany odpovídají. Číslo 0 je tedy kořenem rovnice.

5. Řešení rovnice • Jak jste sami mohli vidět, tento způsob hledání kořenů rovnice by byl poněkud zdlouhavý a nikdy bychom neměli jistotu, že jsme je našli všechny. • Postup, který odhaluje všechny kořeny rovnice, se nazývá řešení rovnice. • Pro usnadnění hledání kořenů používáme algoritmy, které nazýváme ekvivalentní úpravy rovnic, které si představíme na následujícím snímku. • Je zřejmé, že lze kdykoliv prohodit obě strany rovnice, proto v následujícím výčtu ekvivalentních není tento úkon uveden. • Pamatujte, že ekvivalentní úpravy rovnic jsou „vratné“ (vzpomeňte na ekvivalentní výroky).

6. Ekvivalentní úpravy rovnic 1) Přičtení stejného čísla k oběma stranám rovnice 2) Přičtení stejného násobku neznámé k oběma stranám rovnice Tyto úpravy někdy nazýváme také převádění z jedné strany na druhou a patří k základním úkonům při řešení rovnic.

7. Ekvivalentní úpravy rovnic 3) Vynásobení obou stran rovnice NENULOVÝM číslem 4) Úprava výrazů na obou stranách rovnice (zjednodušení výrazů) Kombinací těchto čtyř ekvivalentních úprav je možné vyřešit velkou část rovnic. Některé rovnice ovšem obsahují výrazy v takových tvarech, které nelze řešit pomocí ekvivalentních úprav. Seznámíme se s nimi na dalším snímku.

8. Důsledkové úpravy rovnic • Důsledkové úpravy uplatňujeme v případech, kdy nám nepomohou ekvivalentní úpravy. • Jako příklad si můžeme vzít odstranění odmocniny z některého výrazu v rovnici: • V tomto případě nám často nezbude nic jiného, než umocnit obě strany rovnice. Tento úkon však nelze „vrátit“ zpět, protože odmocněním vzniklého výrazu nezískáme pouze výchozí výraz, ale také výraz opačný (bude se lišit znaménkem) – vzpomeňte na výroky implikace. • Při využití důsledkových úprav JE NUTNÉ provést zkoušku.

9. Zkouška • Zkouška je jedním z možných ověření, zda jsme rovnici správně vyřešili, resp. jestli jsme našli správné kořeny. • V případě, že jsme při řešení použili pouze ekvivalentní úpravy, není nutné zkoušku provádět, jde pouze o potvrzení našeho postupu. • V případě, že jsme při řešení využili i důsledkových úprav, je zkouška nutnou součástí řešení, protože eliminuje výsledky, které vznikly díky důsledkové úpravě. • Principiálně se zkouška provádí tak, že získaný kořen dosadíme zvlášť do výrazu levé strany rovnice a do výrazu pravé strany rovnice. Jestliže se jejich hodnoty rovnají, je výsledek správný (Za předpokladu, že jsme neudělali chybu ve výpočtu zkoušky ;)).

10. Vypočteme zadanou rovnici. Zjistili jsme, že kořenem rovnice je číslo 8. Nyní ověříme, zda je naše řešení správné. Dosadíme kořen do pravé části rovnice a určíme její hodnotu. Dosadíme kořen do levé části rovnice a určíme její hodnotu. Hodnota levé a pravé části se rovnají a zkouška je hotova.

11. Úkol závěrem • 1) Vypočti dané rovnice, zaznač všechny ekvivalentní úpravy, které je nutné provést, a proveď zkoušku: • a) • b) • 2) Vytvoř rovnici s kořenem y = 7 takovou, aby na obou stranách rovnice byl alespoň jeden lomený výraz s neznámou v čitateli.

12. Zdroje • Literatura: • CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2.