Rovnice a nerovnice

1. Rovnice a nerovnice Rovnice v podílovém tvaru VY_32_INOVACE_M1r0105 Mgr. Jakub Němec

2. Rovnice v podílovém tvaru • V minulé lekci jsme se naučili, jak vyřešit rovnice, které nejsou lineární, pomocí úpravy rovnice na součin lineárních členů. • Obdobně existují také postupy, které lze aplikovat na rovnici, která je v podílovém tvaru, tzn. v rovnici se vyskytuje lomený výraz, v němž je neznámá ve jmenovateli. • Abychom se s tímto druhem rovnic vypořádali, je nutné si uvědomit dvě pravidla: • 1) Celý lomený výraz se rovná nule v případě, že se jeho čitatel rovná nule. • 2) Ekvivalentní úpravou je vynásobení obou stran rovnice výrazem obsahujícím neznámou. Výraz musí být pro všechny kořeny různý od nuly (je nutné určit podmínky řešení).

3. Řešte rovnici a získané kořeny ověřte zkouškou. Nejdříve určíme podmínky tak, aby mělo řešení rovnice smysl. Poté si stačí uvědomit, že lomený výraz se rovná nule v případě, že čitatel je roven nule. Získáme tak jednoduchou lineární rovnici. Zkontrolujeme, zda nalezený kořen odpovídá i podmínce a můžeme určit množinu kořenů rovnice. Tento způsob řešení se často využívá i při řešení nerovnic. Provedeme zkoušku.

4. Řešte rovnici a ověřte správnost řešení zkouškou. Určíme podmínky, kdy má lomený výraz smysl. První způsob řešení spočívá v tom, že si převedeme všechny výrazy na jednu stranu rovnice. Poté upravíme v našem případě levou stranu tak, abychom získali pouze jeden lomený výraz. Díky tomu můžeme položit čitatel roven nule, čímž jsme získali jednoduchou lineární rovnici. Následuje diskuze nad získaným kořenem a podmínkou. Poté můžeme napsat množinu kořenů dané rovnice. Provedeme zkoušku.

5. Druhý způsob, jak řešit danou rovnici spočívá v tom, že vynásobíme obě strany rovnice stejným výrazem. Je zřejmé, že tento výraz zvolíme tak, abychom se zbavili zlomku v rovnici. Je ovšem nutné určit podmínky řešení! Získáme jednoduchou lineární rovnici, kterou upravíme, čímž získáme kořen rovnice. Provedeme diskuzi nad kořenem rovnice a podmínkami řešení, po níž můžeme zapsat množinu kořenů rovnice. Zkouška je stejná, jako na předchozím snímku.

6. Řešte rovnici a ověřte správnost řešení zkouškou. Vždy, když máme v rovnici neznámou ve jmenovateli alespoň jednoho lomeného výrazu, je nutné určit podmínky řešení. První způsob spočívá v převedení všech výrazů na jednu stranu rovnice, kde se výrazy upraví tak, abychom získali pouze jeden lomený výraz. Čitatel tohoto lomeného výrazu položíme roven nule a máme jednoduchou lineární rovnici, z níž určíme kořen. Porovnáme podmínky řešení se získaným kořenem a určíme množinu kořenů rovnice. Zkouška je na dalším snímku.

7. Druhé řešení spočívá ve vynásobení obou stran vhodnými výrazy tak, abychom se zbavili zlomků. Předtím je však nutné určit podmínky řešení. Úpravou získáme rovnici, u níž již není problém určit kořen rovnice. Provedeme diskuzi nad podmínkami řešení a získaným kořenem a určíme množinu kořenů rovnice. Provedeme zkoušku.

8. Určete kořeny rovnice a ověřte jejich správnost zkouškou. Na tomto snímku je předvedeno řešení pomocí prvního způsobu, který byl již několikrát popsán. Nezapomeňte na porovnání podmínek s kořenem rovnicepřed určením množiny kořenů. Zkouška je na dalším snímku.

9. Druhý způsob řešení byl také popsán dříve, takže nechám na řešiteli, ať si postup zopakuje. Nakonec nezapomeňte na zkoušku.

10. Určete kořen rovnice a svůj výpočet ověřte zkouškou. Rovnice se v tomto případě dá řešit třemi způsoby, z nichž první dva známe (podmínky pro řešení jsou u všech samozřejmě stejné): 1) Převedení na jednu stranu rovnice 2) Vynásobení vhodným výrazem 3) V tomto případě lze využít vytknutí a následné zkrácení celého výrazu. Na závěr je nutné přihlédnout k podmínce při určování množiny kořenů rovnice. Zkouška je banální cvičení.

11. Určete kořen rovnice a svůj výpočet ověřte zkouškou. Rovnice se v tomto případě dá řešit třemi způsoby, z nichž první dva známe (podmínky pro řešení jsou u všech samozřejmě stejné): 1) Převedení na jednu stranu rovnice 2) Vynásobení vhodným výrazem 3) V tomto případě lze využít vytknutí a následné zkrácení celého výrazu. Z diskuze nad získaným kořenem a podmínkou pro řešení je zřejmé, že tato rovnice nemá žádný reálný kořen, jak dokazuje třetí postup přímo.

12. Úkol závěrem • Řešte rovnice a proveďte zkoušku: • a) • b) • c) • d)

13. Zdroje • Literatura: • CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2.