Aufgabenstellung

1. Aufgabenstellung Aufgabenstellung: What do the following terms (formulae) express? Which of these terms characterize all sequences of real numbers , x_n [n], that approximate some "limit" x : xn-->x? Give examples and counter examples. Sketch pictures.

2. Inhalt Konvergenz für Folgen : Schwierigkeiten First Order Logic Jede Menge Beispiele. Alternative Darstellung von Quantoren

3. Konvergenz von Folgen: Schwierigkeiten

4. Konvergenz von Folgen • Eine mögliche Definition : • Eine Folge ist konvergent gegen eine Zahl , falls gilt : mit

5. Konvergenz für Folgen • Eine mögliche Definition : • Eine Folge ist konvergent gegen eine Zahl , falls gilt : mit • Schwierigkeiten : • Was bedeutet ? • Wofür steht ? • Was passiert, wenn man die Reihenfolge von , vertauscht? • Was bedeutet die Definition als ganzes?

6. Konvergenz für Folgen • Eine mögliche Definition: • Eine Folge ist konvergent gegen eine Zahl , falls gilt : mit • Ansatz: • Die Definitionen basiert auf First-Order Logic. • Erklären von Grundkenntnisse in F.O. Logic, um Fehler zu vermeiden. • Simple Umformungen einführen, um von F.O. Logic Termen einfachere Termen zu machen • Mit Abbildungen zeigen, was die Formeln denn eigentlich bedeuten

7. First-Order Logic

8. Semantik • Prädikate: • Ausdrücke die zu richtig oder falsch auswerten. • 0, 1 oder mehrere Argumente • Quantoren: • Allquantor : • für alle a‘s aus P gilt das Predikat t. • Existenzquantor : • es gibt mindestens ein a aus P für dem das Predikat t gilt. • Beispiel : • Es exisitiert ein Freund von mir der Paul kennt

9. Einfache First-Order Umformung • Negation eines First-Order Ausdruck : • Allquantoren werden zu Existenzquantoren, und umgekehrt • Das Predikat t wird negiert • Beispiel : aus wird • Allquantor in Existenzquantor umwandeln:

10. Jede Menge Beispiele

11. Übersicht über die Definitionen

12. Definition 1 : • Der Ausdruck ist wahr für die Folgen für die gilt: • Für einen Wert x und einer beliebig kleine Distanz ab ein bestimmtes sind die Folgenglieder beliebig nah von x

13. Definition 2 : • Der Ausdruck ist wahr für: • Die Folgen die sich ab ein bestimmten beliebig nah von einen Punkt x befinden.

14. Definition 3 : • Der Ausdruck ist wahr für… : • Die Folgen die für kein Punkt x konvergieren

15. Definition 3, nochmal : • Tipp : • Umformung des Ausdrucks kann das Verständnis erleichtern ! • Negation sind oft leichter am Anfang eines Ausdrucks zu lesen. • Umformung : Ist falsch für die Folgen die sich ab ein bestimmtes beliebig nah an einen Punkt x befinden -> Gegenteil von Definition 1

16. Definition 4 : • Der Ausdruck ist wahr für… : • Die Folgen die nicht beliebig nah von einen Punkt x kommen ab ein bestimmtes N

17. Definition 5 : • Der Ausdruck ist wahr für… : • Die Folgen die ab einem bestimmten Punkt beliebig nah an allen x ist. • Beispiel: • Die Folge, dessen Wertebereich eine Ein-Elementige Menge ist, und bei der alle n’s auf dieses eine Element abgebildet werden • Es gibt kein Beispiel solcher Folgen dessen Wertebereich in ist

18. Definition 6 : • Der Ausdruck ist wahr für… : • Die Folgen bei der kleiner sind als ein beliebig großes • Beispiel: • Das ist für jede Folge wahr!

19. Definition 7 : • Der Ausdruck ist wahr für… : • Die Folgen bei der maximal einer bestimmten Distanz von alle x’s aus der Grundmenge entfernt ist. • Beispiel: • Eine Folge, dessen Grundmenge beschränkt ist.

20. Definition 8 : • Der Ausdruck ist wahr für… : • ab n größer N gibt es für alle ein x, das beliebig nah dran ist (trivial wahr mit =x)

21. Definition 9 : • Der Ausdruck ist wahr für… : • Die Folgen bei denen für alle n gilt: es gibt ein x so dass x an beliebig nah dran ist • Wahr für alle Folgen mit x =

22. Alternative Representation von Existenzquantoren

23. Alternative Repräsentation: • Die Reihenfolge der Quantoren spielt eine Rolle (beim Existenzquantor) • Um das zu verdeutlichen werden in manche Mathebücher diese Notation benutzt : • Statt : • wird geschrieben • Damit lässt es sich vermeiden, dass man die Reihenfolge der Quantoren vertauscht.

24. Ende