Complexidade de Computação

1. Complexidade de Computação Katia Guimarães

2. Avaliando a Qualidade de um Algoritmo • É preciso ter bem definido • O que é dado de entrada e • O que é esperado na saída • Dado que o algoritmo resolve CORRETAMENTE o problema, Quanto recurso ele gasta (espaço e tempo) ?

3. Como calcular o tempo de execução de um algoritmo? • Métodos Empíricos - Obtemos o tempo de execução através da execução propriamente dita do algoritmo, considerando-se entradas diversas. • Métodos Analíticos - Obtemos uma ordem de grandeza do tempo execução através de expressões matemáticas que traduzam o comportamento do algoritmo.

4. Métodos Empíricos Obtemos o tempo de execução através da execução propriamente dita do algoritmo, considerando entradas diversas. Problemas: 1. Não temos tempo suficiente para rodar todas as possíveis instâncias de todos os tamanhos. 2. Depende diretamente do equipamento sendo usado para avaliação.

5. Métodos Analíticos Obtemos uma ordem de grandeza do tempo execução através de expressões matemáticas que traduzam o comportamento do algoritmo. Problemas: 1. Definir que variáveis usar nas expressões matemáticas 2. Analisar o comportamento do algoritmo para possíveis cenários.

6. Métodos Analíticos Que variáveis usamos nestas expressões matemáticas ? Resp.: Tamanho da entrada (depende do problema). Exemplos Ordenação: Número de itens da entrada (tamanho n do vetor para ordenar). Multiplicação de 2 inteiros: Número total de bits necessários para representar a entrada em notação binária. Comparação de cadeias de caracteres: Número de símbolos Nas duas cadeias ( n + m).

7. Um exemplo simples prod = 0; cont = x; Repetir { prod = prod + y; cont = cont – 1} até que cont=0;

8. Idéia Central Tempo de execução = No. de passos efetuados pelo algoritmo EXEMPLO Algoritmo Inversão de sequência Entrada:sequência de elementos armazenados no vetor S[i], i = 1 até n. Saída: sequência invertida dos elementos de S[i]. Início Para i := 1, ..., |_ n/2 _| faça temp := S[i] S[i] := S[n – i + 1] S[n – i + 1] := temp Fim

9. Classificação – Complexidade de Tempo Notação: A - um algoritmo. E = {E1,...,Em} – conjunto de entradas possíveis de A. ti = Número de passos efetuados por A com entrada Ei. Definição: Complexidade de pior caso = Max (Ei  E) {ti}, Complexidade do caso médio = Σ (1 <= i <= m)(pi * ti) onde pi é a probabilidade de ocorrência da entrada Ei.

10. Notações O, Ω e Θ Notação O  Limite superior para o tempo de execução. O problema pode ser resolvido em tempo NO MÁXIMO x. Notação Ω Limite inferior para o tempo de execução. O problema requer tempo NO MÍNIMO x. Notação Θ Limite exato para o tempo de execução. O problema requer tempo NO MÍNIMO x e pode ser resolvido em tempo NO MÁXIMO x.

11. Notações O, Ω e Θ Intuitivamente, nas definições de complexidade usamos as notações O, Ω e θ para 1. Desprezar as constantes aditivas ou multiplicativas. Ex: número de passos = 3n + 25 aproximado  n 2. Desprezar os termos de menor grau , mantendo apenas o termo DOMINANTE. Ex: número de passos = 3n2 + 8n + 14 aproximado  n2

12. Notações O, Ω e Θ - POR QUÊ?? Porque o interesse é assintótico.

13. Definição (notação O): Sejam f,h funções positivas de variável inteira n. Diz-se que f é O(h) [f = O(h)] quando existirem (1) uma constante c > 0 e (2) um inteiro n0, tais que: n > n0 => f(n)  c . h(n) Ex: f = n2 + 1  f = O(n2) (c=3, n0 = 4) f = n2 + 1  f = O(n3) (c=3, n0 = 4) f = 403  f = O(1) (c= ?, n0 = ?) f = 3n + 5 log n + 2  f = O(n) f = 5 · 2n + 12 ·5n10  f = O(2n)

14. Definição (notação ): Sejam f,h funções positivas de variável inteira n. Diz-se que f é (h), escrevendo-se f = (h), quando existir uma constante c > 0 e um valor inteiro n0, tal que: n > n0 => f(n)  c . h(n) Ex: f = n2 – 1 f = (n2) f = (n) f = (1) Mas não vale: f = (n3)

15. Definição (notação ): Sejam f e h funções positivas de variável inteira. Diz-se que f é (h), escrevendo-se f = (h), quando ambas as condições acontecem: f = O(h) e f = (h).