Beweise zum Satz 27

1. Beweise zum Satz 27 Prof. Dr. W. Conen 15. November 2004

2. Satz 27: Verkettung zur Identität • (a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: • (i) f: A ! B ist injektiv • (ii) Es existiert eine Funktion g:B ! A mit g ± f = idA • (b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: • (i) f: A ! B ist surjektiv • (ii) Es existiert eine Funktion g:B ! A mit f ± g = idB

3. Satz 27: Verkettung zur Identität • (a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: • (i) f: A ! B ist injektiv • (ii) Es existiert eine Funktion g: B ! A mit g ± f = idA • Diese Aussage wollen wir zeigen, d.h wir müssen ZWEI Richtungen zeigen, (i) ) (ii) und (ii) ) (i) • Wir beginnen mit (i) ) (ii) • Also nehmen wir zunächst an, dass wir eine Funktion f von A nach B haben, die injektiv ist. • Eine Funktion f ist injektiv, wenn keines der von f getroffenen Elemente mehrmals getroffen wird, formal: • Es gibt keine y in {y | (x,y) 2 f} mit x1, x2, x1 x2, (x1,y) 2 f und (x2,y) 2 f • Alternativ (unsere Definition!): für alle x1, x2, y gilt: aus (x1,y) 2 f und (x2,y) 2 f folgt x1 = x2 NICHT INJEKTIV!

4. Satz 27: Verkettung zur Identität • (a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: • (i) f: A ! B ist injektiv • (ii) Es existiert eine Funktion g: B ! A mit g ± f = idA • (i) ) (ii), Annahme f: A ! B ist injektiv • Nach Def. 24 existiert die Umkehrfunktion zu f, f-1. Achtung: Die Umkehrfunktion ist selbst injektiv (sonst hätte f keine Funktion sein können, denn dann wären zwei Pfeile von einem x 2 A ausgegangen!) • Sei nun x 2 A beliebig, aber fest gewählt • Es gilt: f(x) = y 2 B. • Nach Def. 24 ist zu jedem Paar (a,b) 2 f das gespiegelte Paar (b,a) 2 f-1, also in f-1. (1) • Nach Def. 25 gilt für die Verkettung der Funktionen f-1± f = {(a,c) | a 2 A, (f(a),c) 2 f-1}. Wg. (1) gilt c = a, und damit f-1± f = idA • Ist also f-1 unser gesuchtes g?

5. Satz 27: Verkettung zur Identität • (a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: • (i) f: A ! B ist injektiv • (ii) Es existiert eine Funktion g: B ! A mit g ± f = idA • (i) ) (ii), Annahme f: A ! B ist injektiv • Ist f-1 unser gesuchtes g? f a = f-1(f(a)) f(a) f-1 A B

6. Satz 27: Verkettung zur Identität • (a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: • (i) f: A ! B ist injektiv • (ii) Es existiert eine Funktion g: B ! A mit g ± f = idA • Ist f-1 unser gesuchtes g? NICHT UNBEDINGT rng(f) f a = f-1(f(a)) f(a) f-1 A B

7. Satz 27: Verkettung zur Identität • f trifft möglicherweise nicht alle Elemente von B! • Wähle nun ein beliebiges a auf A und definiere nun g: B ! A wie folgt: • g|rng(f) = f-1 • g(b) = a für alle b aus B – rng(f) (der rein-grüne Bereich) • Dann gilt g ± f = idA, denn hierfür wird nur g|rng(f) verwendet! rng(f) f a = f-1(f(a)) f(a) g A B

8. Satz 27: Verkettung zur Identität • (a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: • (i) f: A ! B ist injektiv • (ii) Es existiert eine Funktion g: B ! A mit g ± f = idA • (ii) ) (i), Annahme: Es existiert eine Funktion g: B ! A mit g ± f = idA • Zu zeigen ist, dass f injektiv ist. • Angenommen, f wäre nicht injektiv. • Dann gibt es ein b 2 B und a1,a22 A mit a1 a2 und f(a1) = f(a2) = b. • Sei nun g(b) = a. • Dann gilt (g ± f)(a1) = (g ± f)(a2) = a • ... und wg. a1 a2 kann dann nicht g ± f = idA gelten, im Widerspruch zur Voraussetzung. • Das geht auch direkt mit unserer Definition: für alle x1, x2, y gilt: aus (x1,y) 2 f und (x2,y) 2 f folgt x1 = x2 • Sei f(a1) = f(a2) = b. Es gilt nach Voraussetzung g(b) = g(f(a1)) = idA(a1) = a1 bzw. g(b) = g(f(a2)) = idA(a2) = a2, also a1 = a2 (sonst wäre g keine Funktion!)

9. Satz 27: Verkettung zur Identität • (b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: • (i) f: A ! B ist surjektiv • (ii) Es existiert eine Funktion g: B ! A mit f ± g = idB • (i) ) (ii): Sei f: A ! B surjektiv. • Wir müssen nun wieder ein „konkretes“ g suchen, das die gesuchte Eigenschaft ergibt: • Ziel ist, zu jedem Element b 2 B mit g einen Funktionswert g(b) zu liefern, der von f wieder auf b abgebildet wird, d.h. f(g(b)) = b. • Da f surjektiv ist, wird jedes Element in B getroffen – aber es kann mehrmals getroffen werden • Bei der „Umkehrung“ verwenden wir einfach nur einen der Pfeile, die zu b führen! b f B A

10. Satz 27: Verkettung zur Identität • (b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: • (i) f: A ! B ist surjektiv • (ii) Es existiert eine Funktion g: B ! A mit f ± g = idB • (i) ) (ii): Sei f: A ! B surjektiv. • Bei der „Umkehrung“ verwenden wir einfach nur einen der Pfeile, die zu b führen! • g: B ! A wird definiert durch g(b) = „ein a 2 A mit f(a) =b“ • Ein solches a existiert in jedem Fall, den rng(f) = B • Es gilt also f(g(b)) = b für alle b 2 B, also f ± g = idB b f B A

11. Satz 27: Verkettung zur Identität • (b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: • (i) f: A ! B ist surjektiv • (ii) Es existiert eine Funktion g: B ! A mit f ± g = idB • (ii) ) (i): Es existiert eine Funktion g: B ! A mit f ± g = idB • Sei b 2 B beliebig gewählt. • (f ± g)(b) = b nach Voraussetzung • ... und (f ± g)(b) = f(g(b)) nach Def. ± • ... also b 2 rng(f). • Da b beliebig aus B gewählt war, liegt jedes b im Range von f und damit rng(f) = B, also f surjektiv nach Definition Surjektivität