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  1. Beispiel 1 Ein neues Produkt soll durch eine Werbeagentur bekannt gemacht werden werden. Wenn es der Werbeagentur geling dieses Produkt bei mehr als 70 % potentieller Kunden bekannt zu machen, erhält sie eine Prämie des Herstellers. Es werden 50 Kunden befragt. Ermitteln Sie eine Entscheidungsregel, wenn die Hersteller mit einem Risiko von höchstens 5 % der Agentur zu Unrecht eine Prämie zahlt. Lösung: (rechtsseitiger Test) H0 : p  0,7; : p > 0,7; A={0; 1; 2; 3 … k} ={k+1; … 50} X: Anzahl Kunden, die Produkt kennen: XB50; 0,7 bei wahrer Nullhypothese P(Xk+1) = 1- P(X k) 0,05  P(Xk)  0,95  k=40 Wenn mindestens 41 Kunden das Produkt kennen, erfolgt die Prämienzahlung mit einem Risiko von max 5%. Lösung: P(X41) = 1- P(X40) = 0,04 = 1 Das Risiko der Prämienzahlung ist bei oben ermittelter Entscheidungsregel 4% Ermitteln Sie den Fehler 1.Art Lösung: (Fehler 2.Art) H0 : p  0,7 : p > 0,7 z.B. p=0,75 A={0; 1; 2; 3 … 40} ={41; … ; 50} X: Anzahl Kunden, die Produkt kennen; XB50; 0,75 bei falscher Nullhypothese P(X40) = 0,836 Das Risiko der Agentur, die Prämie nicht zu bekommen beträgt bei dieser Testkonstruktion 84%. (Sehr hoch) Wie groß ist das Risiko der Agentur die Prämie nicht zu bekommen, obwohl 75% der Kunden das Produkt kennen

  2. Die Testkonstruktion entspricht dem Interesse des Produzenten und nicht den Interessen der Agentur. (Risiko 4%) Wie kann man bei Beibehaltung der Nullhypothese und der Gegenhypothese das Risiko für die Agentur senken. (Risiko 84%) 1.Möglichkeit: Signifikanzniveau erhöhen, z.B.  =0,25 H0 : p  0,7; H1 : p > 0,7; A={0; 1; 2; 3 … k} ={k+1; … 50} X: Anzahl Kunden, die Produkt kennen; XB50; 0,7 P(Xk+1) = 1- P(X k) 0,25  P(Xk)  0,75  k=37 Fehler 2.Art: H0 : p  0,7; H1 : p > 0,7, z.B. p=0,75 A={0; 1; 2; 3 … 37} ={38; … ; 50} X: Anzahl Kunden, die Produkt kennen; XB50; 0,75 P(X37) = 0,489 =  (Senkung des Fehlers um etwa 1/3) 2.Möglichkeit: Stichprobenumfang erhöhen, z.B. : n =100 (bei gleichem Risiko max 5% für den Produzenten) H0 : p  0,7; H1 : p > 0,7; A={0; 1; 2; 3 … k} ={k+1; … 100} X: Anzahl Kunden, die Produkt kennen; XB100; 0,7 P(Xk+1) = 1- P(X k) 0,05  P(X k)  0,95  k=77 Fehler 2.Art: H0 : p  0,7; H1 : p > 0,7, z.B.: p= 0,75 A={0; 1; 2; 3 … 77} ={78; … ; 100} X: Anzahl Kunden, die Produkt kennen; XB100; 0,75 P(X77) = 0,714 =  (Senkung des Fehlers um etwa 13%)

  3. Beispiel 2 Gegenhypothese: Lady X hat übernatürliche Fähigkeiten, d.h. p > 0,5 (p < 0,5 hat keinen Sinn !) Nullhypothese: H0 Lady X hat keine übernatürlichen Fähigkeiten, ihre Angaben entstehen durch „Raten“, d.h. p =0,5 Auswertung: z.B. für p =0,6 (geringe übernat.Fähigk.) X: Anzahl richtige Angaben; XB10; 0,6 A ={0, 1, … 7} Fehler 2.Art: ‘ = P(X  7) = 0,833 Auswertung: X: Anzahl richtiger Angaben; XB10; 0,5 ={8, 9, 10} Fehler 1.Art: ‘ = P(X 8) = 0,055 . Besitzt Lady X übernatürliche Fähigkeiten ? (nach R.A.Fisher 1928) Lady X behauptet am Geschmack zu erkennen, ob erst Tee in der Tasse war und die Milch zugegeben wurde oder ob es umgekehrt war. Sie probiert 10 Tassen und macht 8 mal eine richtige Angabe. Was wählen wir als Nullhypothese ? Welcher Fehler, der beim Ablehnen der Nullhypothese entsteht, ist schwerwiegender ? Auswertung: z.B. für p =0,9 (große übernat.Fähigk.) X: Anzahl richtige Angaben; XB10; 0,9 A ={0, 1, … 7} Fehler 2.Art: ‘ = P(X  7) = 0,070 Mit einem geringem Risiko ( 5,5%) würden wir Lady X für begabt halten, obwohl sie es nicht ist. Das Risiko „die Begabung von Lady X nicht zu erkennen“ hängt von der Größe ihrer Begabung ab.