ME623A Planejamento e Pesquisa

1. ME623APlanejamentoePesquisa

2. Blocagem em Experimentos Fatoriais • Em algumas ocasiões, pode não ser possível aleatorizar completamente todas as rodadas de um experimento fatorial • Por exemplo, a presença de um fator ruído pode sugerir que o experimento seja realizado em blocos • Uma variedade de fenômenos podem causar restrições na aleatorização (blocos): operador, lote de material, tempo, dia • Um experimentador pode conseguir umareplicação completa no dia 1, uma segunda replicação no dia 2, e assim por diante. Nesse caso, cada dia é considerado um bloco

3. Blocagem em Experimentos Fatoriais • Considere um fatorial com dois fatores (A e B) e n replicações • O modelo estatístico para esse delineamento é: onde τi, βj e (τβ)ijrepresentam os efeitos dos fatores A, B e da interação AB, respecitvamente • Suponha que precisemos de uma certa matéria-prima e esta é disponibilidade em lotes. Se o lote não for grande o suficiente para executar as abn rodadas, mas este for suficiente para ab observações, então faremos o experimento em blocos

4. Blocagem em Experimentos Fatoriais • O modelo estatístico para para um fatorial com dois fatores e blocos é dado por: onde δkrepresenta o efeitos do k-ésimo bloco • Cada bloco contém uma replicação do fatorial completo (todos os tratamentos) • A ordem com que os tratamentos são aplicados é completamente aleatória dentro de cada bloco

5. Blocagem em Experimentos Fatoriais • O modelo assume que a interação entre blocos e tratamentossãodesprezíveis. • Istotambémfoiassumido no experimento de blocoscompletosaleatorizados. • Se estasinteraçõesexistirem, elasnãopodemserdistinguidas do componente de erro. • Na verdade, o errodestemodeloconsisterealmente das interações

6. Blocagem em Experimentos Fatoriais • Tabela ANOVA para um fatorial com dois fatores e blocos

7. Exemplo – Radar • Um engenheiroestáestudandométodosparamelhorar a habilidade de detectaralvos num radar • Doisfatoressãoconsiderados: ruído de fundo(3níveis) e tipo de filtrocolocadonatela (2 tipos) • O experimentoconsisteemaumentar a intensidade de um sinalatéqueestesejadetectado. A variávelrespostaéentãoestaintensidade do sinalemitidoquandoooperadorconseguedetectá-lo • Diferentesoperadoresparticiparão do experimento, ecomoelestêmhabilidadesdiferentes, érazoávelconsiderarcadaoperadorcomo um bloco

8. Exemplo – Radar • Dadosobservados: • Vamos analisar os dados acima e verificar se o nível de ruído e o tipo de filtro influenciam na detecção do sinal • Também veremos se existe interação

9. Exemplo – Radar • O modelo linear paraesseexperimentoé: emqueτirepresentaoefeito do nível de ruído, βjrepresentaotipo de filtro, (τβ)ijé a interaçãoeδkéoefeito do operador (bloco) • As SS dos efeitosprincipaisedainteraçãosãocalculadasdamaneira usual. E a SSBloco:

10. Exemplo – Radar • Tabela ANOVA: • aov(formula = dados ~ filtro * ruido+ Error(oper)) • Ambos efeitosprincipais (nível de ruídoetipo de filtro) sãosignificantes • A interaçãoésignificante a um nível de significância de 10%

11. ExperimentosFatoriaisemQuadrados Latinos • Suponhaqueexistemduasrestriçõesnaaleatorização, ouseja, doisfatoresruído e cada um tem pníveis • Se além disso, onúmero de tratamentos no experimento com kfatoreséexatamentep • Entãoo experimentofatorialpode ser realizado num quadradolatinop x p

12. ExperimentosFatoriaisemQuadrados Latinos • Suponha a seguintemodificaçãopara o exemplo do radar: • Suponhaqueapenas 6 rodadaspodemserfeitaspor dia. • Assim, “dias” se tornaumasegundarestriçãonaaleatorização, resultandoem um quadradolatino 6x6

13. ExperimentosFatoriaisemQuadrados Latinos • A = f1g1, B = f1g2, C = f1g3, D = f2g1, • E = f2g2, F = f2g3 onde f = filtro, e g = ruído

14. ExperimentosFatoriaisemQuadrados Latinos O Modeloé: Onde São osefeitos dos dias e operadores, queindicam a restriçãonaaleatorização.

15. ExperimentosFatoriaisemQuadrados Latinos

16. Dados nãobalanceadosemModelosFatoriais • Écomumencontrarsituaçõesonde a número de observaçõesnascélulasédiferente. • Issopodeacontecerporváriasrazões: • O pesquisadorpodeterplanejado um experimentobalanceado, mas problemassurgiram no meio do caminho a algumas UE foramperdidas

17. Dados nãobalanceadosemModelosFatoriais • As vezesexperimentosnãobalanceadossãoplanejadosparaseremassim • Algunstratamentospodemsermuitocarosoumaisdifíceis de se aplicar, entãopoucasobservaçõessãofeitasnestascélulas • Oualgumascombinaçõespodemser de maiorinteresse

18. Dados nãobalanceadosemModelosFatoriais • Suponha um experimentofatorial(2) • Número de observaçõesemcadacélulaé • Seja o número de obs. nai-ésimalinha e • o número de obs. na j-ésimacoluna

19. Dados nãobalanceadosemModelosFatoriais • Caso 1: Dados proporcionais(+fácil) • O número de observaçõesemquaisquerduaslinhasoucolunassãoproporcionais • Nestecaso, a análise de variânciaé a mesma, apenas com algumasmodificaçõesnas somas de quadrados:

20. Dados nãobalanceadosemModelosFatoriais • Caso 1: Dados proporcionais(+fácil)

21. Dados nãobalanceadosemModelosFatoriais • Caso 1: Dados proporcionais(+fácil)

22. Dados nãobalanceadosemModelosFatoriais • Caso 1: Dados proporcionais(+fácil) • Exemplo: • Mostrequeébalanceado!

23. Dados nãobalanceadosemModelosFatoriais • Caso 1: Dados proporcionais(+fácil) • Exemplo: • Exercício: verificar o resultado do R e comparar com o livro

24. Dados nãobalanceadosemModelosFatoriais • Caso 1: Dados proporcionais(+fácil) • Métodos de aproximação: • Quandoos dados nãoestão “longe” de serembalanceados. • Faz o problemaficarbemmaisfácil, dada a dificuldade de lidar com dados muitodesbalanceados

25. Dados nãobalanceadosemModelosFatoriais • Caso 1: Dados proporcionais(+fácil) • Métodos de aproximação: • a) Estimarobservaçõesfaltantes • Se apenasalgumasobservaçõesfaltam • Para um modelo com interação, o estimador da célulafaltantequeminimiza a soma dos quadrados dos errosé

26. Dados nãobalanceadosemModelosFatoriais • Caso 1: Dados proporcionais(+fácil) • Métodos de aproximação: • a) Estimarobservaçõesfaltantes • Entãoestimamosaquele valor por • A análiseprocedecomo usual, excetoquetiramosgraus de liberdade do erro

27. Dados nãobalanceadosemModelosFatoriais • Caso 1: Dados proporcionais(+fácil) • Métodos de aproximação: • b) Deixar dados de lado • Suponhaqueem um experimentofatorial com doisfatores (3 niveiscada), temos 4 observaçõesparacadatratamento, mas um sótratamento tem 5 observações • Nãocompensaestimartodas as outrasobservações (18% dos dados)

28. Dados nãobalanceadosemModelosFatoriais • Caso 1: Dados proporcionais(+fácil) • Métodos de aproximação: • b) Deixar dados de lado • Deixaestaobservação de lado e fique com dados balanceados de n = 4 • Escolhaumaobservaçãodestetratamentoaleatoriamente

29. Dados nãobalanceadosemModelosFatoriais • Caso 1: Dados proporcionais(+fácil) • Métodos de aproximação: • b) MédiasPonderadas • Yates(1934) • Tratar as médias das célulascomoos dados e fazer a análise usual.

30. Dados nãobalanceadosemModelosFatoriais • Caso 1: Dados proporcionais(+fácil) • Métodos de aproximação: • b) MédiasPonderadas • Mas MSE estima a variância de 1 observacao y e estamostratando das médias de cadacélula, entãousamos • Com n.. – abgraus de liberdade • Grande vantagemcomputacional

31. Dados nãobalanceadosemModelosFatoriais • Caso 2: Métodoexato • Verartigoscitados no livro do Montgomery • Usar SAS

32. Exercício • Considere o modelofatorial de 3 fatores • i = 1…a • j = 1…b • k = 1…c • Note quesóháumareplicação. Se todososfatoresforemfixos, escreva a tabela ANOVA, incluindo as esperanças dos errosquadráticosmédios.