Constrained model predictive control : Stability and optimality

1. GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire Constrained model predictive control : Stability and optimality A survey paper by: D. Q. Mayne, J. B. Rawlings, C. V. Rao and P. O. M. Scokaert Automatica, vol. 36, pp. 789-814, 2000 Nicolas Marchand – Laboratoire d’Automatique de Grenoble

2. GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire Objectifs de l’article • Stabilité des systèmes dynamiques (linéaires et non linéaires) contraints commandés par des techniques prédictives • Vue d’ensemble des travaux • Sortir la « substantifique moelle » qui garantit la stabilité • Points non traités : • Systèmes linéaires non contraints, systèmes temps variants • Systèmes non représentés par des équations d’état • Applications (survey de Qin et Badgwell 1997) • Points mentionnés : • Poursuite • Retour de sortie • Contraintes progressives • Aspects adaptatifs • Algorithmes d’optimisation (survey de Biegler 1998, Wright 1997, Rao et al. 1998)

3. GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire Plan • Model Predictive Control : définitions • Vue d’ensemble de la littérature • Naissance de la MPC, Apparition de l’horizon fini, Littérature issue de la commande des procédés, GPC • MPC et Stabilité • Conditions de stabilité de la MPC • Méthodes directe et indirecte • Comment ces conditions sont vérifiées dans la littérature • Robustesse • Conditions de stabilité • Différentes approches • Perspectives

4. Système : Fonction coût : où : état du système à l’instant i, parti de x à l’instant k avec u pour commande Problème de la commande prédictive : MPC : définitions GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire Model Predictive Control : définitions Horizon : N

5. Fonction coût : où : état du système à l’instant i, parti de x à l’instant 0 avec u pour commande MPC : définitions GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire Model Predictive Control : définitions Système : Horizon : N Problème de la commande prédictive :

6. Vue d’ensemble de la littérature GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire Vue d’ensemble de la littérature • « Naissance » implicite de la MPC : Bellman (1957), Kalman (1960) : Optimalité ; Stabilité, Lee and Markus (1967) • Apparition de l’horizon fini : Impossibilité pratique de l’horizon infini (hormis H2 et H1) • Kleinmann (1970), Thomas (1975) : Ajout d’un coût infini sur l’état final pour les systèmes linéaires (eq. diff. de Riccati avec contrainte finale) • Etendu par Kwon et Pearson (1977), Kwon et al. (1983) : Horizon fini + contrainte ) Stabilité

7. Vue d’ensemble de la littérature GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire • La littérature issue de la commande des procédés • Indépendamment des autres travaux, orienté vers l’industrie • Méthodes linéaires basées sur une réponse temporelle du système, prenant en compte les contraintes de commande et de sortie • Sans violation possible des contraintes : Richalet et al. (1976,1978) avec IDCOM, Cutler et Ramaker (1980), Prett et Gillette (1980) avec DMC. • Avec violation temporaires des contraintes : Garcia et Morshedi (1986) avec QDMC • Plusieurs niveaux de contraintes : Marquis et Broustail (1988) avec SMOC • Implantation très importante (plus de 2000) • Pas (ou très peu) de considérations théoriques de stabilité • La Generalized Predictive Control (GPC) • Issue de la commande adaptative (De Keyser et Van Cauwenberghe 1979) • Systèmes linéaires bruités en temps discretnon contraints avec une formulation déterministe proche de la MPC • Résultats théoriques de stabilité (Mosca et al. 1990) Observabilité + Contrainte ) stabilité

8. Vue d’ensemble de la littérature GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire • MPC et stabilité : • Lyapunov : • Approche de omise dans les années 70 et 80 maintenant universelle • Prend en compte le cas non linéaire • VN comme fonction de Lyapunov • Variantes de : • Contrainte d’égalité sur l’état final : (Keerthi et Gilbet 1988, Chen et Shaw 1982, Mayne et Michalska 1990, …) • Coût sur l’état final : (Gauthier et Bornard 1983, Rawlings et Muske 1993 : lien entre horizon fini et infini) • Ensemble terminal puis basculement sur une commande locale (Michalska et Mayne 1993, …) • Coût sur l’état final et ensemble terminal : (Sznaier et Damborg 1987, Parisini et Zoppoli 1995, De Nicholao et al. 1996, …) • Conclusion : • Points clés de la MPC : Coût terminal F, Ensemble terminal Xf, Contrôleur local f

9. Conditions de stabilité de la MPC GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire Conditions de stabilité de la MPC • 2 méthodes distinctes • Les deux utilisent le coût optimal comme fonction de Lyapunov • Méthode directe : Chercher des conditions sur F, Xf et f pour que : (Keerthi et Gilbert (1988), Mayne et Michalska 1990, Rawlings et Muske 1993,…) • Méthode indirecte : Utilise la monotonicité de VN : (Chen et Shawn 1982, Bitmead et al. 1990, De Nicolao et al 1996, …)

10. Conditions de stabilité de la MPC GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire • Conditions suffisantes de stabilité : • temps discret : • temps continu :

11. Conditions de stabilité de la MPC GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire • Contrainte d’égalité sur l’état final : • Coût sur l’état final : • Pas de contrainte terminale explicite cependant nécessaire pour garantir la stabilité dans les cas non linéaire ou linéaire contraint instable • linéaire non contraint ou linéaire contraint stable :

12. Conditions de stabilité de la MPC GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire • Ensemble terminal : • Coût sur l’état final et ensemble final : • Systèmes linéaires contraints : • Systèmes non linéaires, non contraints (Jadbabaie et al. 1999) : • Systèmes non linéaires contraints : 2 approches (Chen et Allgöwer 1998) • (De Nicholao et al. 1996, 1999, Alamir 1995,…)

13. Conditions de stabilité de la MPC GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire • Autres approches : • Horizon variable : (Michalska et Mayne 1993, Michalska 1997) basculement sur une commande locale dans Xf, pas de conditions A1 à A4 car N variable, conditions sur l • Méthodes contractives : (Polak et Yang 1993, Morari et De Oliveira 1998,…) uF est appliqué en BO sur l’horizon NF, pas de résultat de stabilité général

14. Conditions de stabilité de la MPC GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire • Stabilité forcée : (Snaier et Damborg 1990, Bemporad 1998, …) Ajout d’une contrainte de décroissance d’une fonction de Lyapunov dans le problème de commande. Le problème est alors celui inhérent aux fonctions de Lyapunov : comment la choisir ? • Linéarisation : (De Oliveira et al. 1995, Kurtz et Henson 1997, …) Le problème principal réside dans le fait que X et U ne sont plus convexes après transformation • MPC sous optimale : (Michalska et Mayne 1993, Mayne 1995, Chisci et al. 1996, Scoakert et al. 1999, …) Problèmes d’optimisation non convexe dans le cas non linéaire appelant une simplification (faisabilité plutôt qu’optimalité)

15. Conditions de stabilité de la MPC GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire • Conclusion • Consensus rapide autour des points clés : coût terminal, ensemble terminal et contrôleur local (+ ou – explicite). • Les conditions A1-A4 unifient la plupart des travaux existants • Il apparaît souhaitable de choisir le coût terminal F proche de V1 permettant d’hériter des avantages de l’horizon infini (robustesse). • Délicat en non linéaire • Philosophie est toujours la même : prendre équivalent à un problème

16. Aspects robustes GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire Robustesse de la MPC • Principalement 3 approches rencontrées : • Robustesse inhérente : robustesse de la MPC conçue sur le modèle nominal • Prise en compte de toutes les réalisations possibles (problème min-max) • Ajout d’un feedback au problème de commande optimale • Modèle :

17. GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire • Robustesse inhérente : (De Nicolao et al. 1996, Magni et Sepulchre 1997) Résultats liés à un problème d’horizon infini modifié dont découle la robustesse • Problèmes min/max : • Conditions suffisantes de stabilité : ces conditions garantissent :

18. GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire • Commande prédictive Min/Max en BO (Michalska et Mayne 1993, Chen et al. 1997, Magni et al. 1999,…) • Problème pour garantir l’invariance de Xf • Une possibilité pour contourner la difficulté : horizon variable • MPC bouclée (Mayne 1995,1997, Kothare et al. 1996, Lee and Yu 1997, …) • L’ensemble des états qui peuvent être ramené à l’origine de manière robuste est considérablement augmenté • Complexité prohibitive • Quelques exemples « applicables » en linéaire contraint (Kothare et al. 1996, Scokaert et Mayne 1998) ensemble des séquences de commandes telles que la trajectoire en BO issue de x vérifient les contraintes

19. GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire • Commande H1 • Systèmes linéaires non contraints : • Tadmor (1992), utilise une contrainte d’égalité • Lall et Glover (1994), utilisent un coût terminal quadratique • Systèmes non linéaires • Nécessite généralement la résolution d’une équation d’HJI • Tentatives pour éviter cette résolution par la MPC (Chen et al. 1997, De Nicholao et al. 1999, Magni et al. 1999, …) • Basées sur la commande H1 du linéarisé, • Approches similaires à MPC bouclée • Seul changement : choix de l • Difficilement implantable

20. GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire • Conclusion • Le problème de robustesse est maintenant bien compris • Il a mis en évidence certains problèmes inhérentsà l’utilisation des trajectoires en boucle ouverte • Résultats de stabilité • Aucune applicabilité (en tout cas très faible et dans des cas très particuliers) • La recherche de (,w) se fait dans un espace de dimension infini Gallestey et James (1999) dans le cas des systèmes affines non contraints arrivent à transformer le problème en un problème aux limites solvable par des techniques de tir

21. GT - GDR - Commande Prédictive non linéaire Perspectives • Stabilité • Résultats de stabilité dans le cadre classique • Relâchement des conditions suffisantes de stabilité • Robustesse • Résultats très conceptuels, peu de résultats réellement implantables • Systèmes hybrides • La MPC reste à adapter aux systèmes hybrides • Autres points • Couplage estimation/commande pour les retours de sortie • MPC adaptative