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Séptima sesión. Problemas básicos (4) Oscilador armónico unidimensional (2). Resumen. Repaso de matemáticas Repaso de Física Repaso de Estructura de la Materia Fundamentos de la Mecánica Cuántica Formulaciones de la Mecánica Cuántica Postulados de la Mecánica Cuántica
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Séptima sesión Problemas básicos (4) Oscilador armónico unidimensional (2)
Resumen • Repaso de matemáticas • Repaso de Física • Repaso de Estructura de la Materia • Fundamentos de la Mecánica Cuántica • Formulaciones de la Mecánica Cuántica • Postulados de la Mecánica Cuántica • Postulado de Max Born • Funciones aceptables como funciones de onda
Postulado I • “Cualquier estado de un sistema dinámico de N partículas queda descrito tan completamente como es posible por una función Ψ(q1,q2,…,q3N,t) tal que • la cantidad Ψ*Ψd es proporcional a la probabilidad de encontrar a q1 entre q1 y q1+dq1, a q2 entre q2 y q2+dq2,…, a q3N entre q3N y q3N+dq3N para un tiempo específico t.
Corolario “Si las propiedades del sistema que se desea estudiar no dependen del tiempo, la función de onda no depende del tiempo y se llama función de onda de estado estacionario” En este caso, la función solo depende de 3N variables.
Postulado II “Para toda propiedad observable de un sistema, existe su correspondiente operador lineal y hermitiano y las propiedades físicas del observable pueden ser inferidas a partir de las propiedades matemáticas asociadas al operador”.
Postulado III “Supongamos que ᾱ es un operador correspondiente a un observable y que existe un conjunto de sistemas idénticos en el estado Ψs. Supongamos, además que Ψs es una función propia de ᾱ. Esto es: ᾱΨs=asΨs, donde as es un número. Entonces, si un experimentador efectúa una serie de mediciones de la cantidad correspondiente a ᾱ sobre diferentes miembros del conjunto, el resultado será siempre as. Solamente cuando Ψs y ᾱ satisfacen esta condición, un experimento dará el mismo resultado en cada medición”.
Postulado IV “ Dado un operador ᾱ y un conjunto de sistemas idénticos caracterizados por una función Ψs, que no es función propia de ᾱ, una serie de mediciones de la propiedad correspondiente a ᾱ sobre diferentes miembros del conjunto no dará el mismo resultado. En lugar de eso se obtendrá una distribución de resultados cuyo promedio será:
Postulado V “La evolución del vector de estado Ψ(q,t) en el tiempo está dada por la relación: donde H es el operador Hamiltoniano del sistema”. Esta ecuación se conoce como ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
Resumen (2) • Fundamentos de la Mecánica Cuántica (2) • Operadores hermitianos • Notación de Dirac • Cómo se construyen los operadores en Mecánica Cuántica • El operador Hamiltoniano • La ecuación de Schrödinger • Resolución de problemas particulares en Mecánica Cuántica
Operadores Hermitianos • Los valores propios de un operador hermitiano son números reales.
Operadores hermitianos Teorema I “El producto de dos operadores hermitianos es hermitiano solo si los dos operadores conmutan”.
Operadores hermitianos Teorema II “Las funciones propias que provienen de diferentes valores propios de un operador hermitiano son ortogonales”.
Operadores hermitianos Teorema III “Si dos operadores Ḟ y Ḡ conmutan, entonces existe un conjunto de funciones que son simultáneamente propias de ambos operadores”
Operadores hermitianos Teorema IV Dado un par de operadores hermitianos Ḟ y Ḡ que conmutan, y conjunto de funciones tales que ḞΨi=fiΨi entonces todas las integrales de la forma (Ψi| Ḡ | Ψj)=0 a menos que fi=fj
Ortogonalidad y ortonormalidad • Ortogonalidad: Siempre que una integral del tipo (Ψi|Ψj) sea cero, se dice que las funciones son ortogonales. • Ortonormalidad: Cuando se cumple la ecuación (Ψi|Ψj)=δij para un conjunto de funciones en mecánica cuántica, se dice que el conjunto es ortonormal.
Problemas básicos de la mecánica cuántica • Partícula en un pozo de potencial unidimensional • Los números cuánticos surgen de las restricciones físicas al movimiento (condiciones a la frontera de la ecuación diferencial) • A mayor energía, mayor es el número de nodos en la función de onda • Principio de Incertidumbre de Heisenberg
Problemas básicos de la mecánica cuántica (2) • Partícula en un pozo de potencial unidimensional (2) • Soluciones generales para la partícula en un pozo de potencial unidimensional • Partícula libre • Las energías de la partícula libre no están cuantizadas
Problemas básicos de la mecánica cuántica (3) • Partícula en un pozo de potencial tridimensional • Separación de variables • Aparecen tantos números cuánticos, como restricciones al movimiento, en este caso 3 • Niveles degenerados • Si se rompe la simetría se rompe la degeneración. • No sabemos graficar funciones de 3 variables
Separación de Variables • Cuando el operador hamiltoniano puede ser escrito como una suma de términos, cada uno de los cuales depende de una sola variable, siempre podrá encontrarse una solución de la ecuación de Schrödinger en la que Ψ es un producto de funciones de una sola coordenada.
Problemas básicos de la mecánica cuántica (4) • Partícula en un pozo de potencial unidimensional con paredes finitas • Efecto túnel • Oscilador armónico unidimensional • Energía de punto cero • Efectos cuánticos
Efecto Túnel • El efecto túnel denota la penetración de una partícula en una región prohibida clásicamente, o el paso de una partícula a través de una barrera de potencial cuya altura es mayor a la energía de la partícula.
Oscilador armónico (3) • Y podemos intentar una solución por series de potencias • Pero saldría una fórmula de recurrencia de 3 términos, que es mucho más difícil de tratar que una de 2 • Truco de modificar le ecuación para obtener una que nos de una fórmula de 2 términos
Energía del oscilador armónico unidimensional • Y obtener el valor de la energía:
Energía del punto cero. • El estado basal del oscilador armónico no es cero, la energía es ½h (para =0). • Es otro efecto cuántico • Cuando veamos espectroscopía veremos que sería la energía vibracional de las moléculas diatómicas en el cero absoluto (0 K)
Las funciones de onda (3) • ¿Número de nodos?
Las funciones de onda (4) • Nótese que hay un efecto túnel
Las funciones de onda (5) • Nótese que hay un efecto túnel
Las funciones de onda (6) • Los factores polinomiales de las funciones de onda para el oscilador armónico son bien conocidos por los matemáticos y se conocen como Polinomios de Hermite. • Charles Hermite (1822-1901) • Por eso a veces se dice que las soluciones del oscilador armónico son los polinomios de Hermite.
mA θ rB mB y φ Rotor rígido z rA 0 x
Rotor rígido (2) • La masa de la barra roja es despreciable. • Usando las coordenadas del centro de masa, el problema de dos partículas moviéndose se convierte en un problema del movimiento del centro de masa. • En la figura, el centro de masa se ha colocado en el origen de coordenadas. • La solución es más conveniente en coordenadas esféricas.
Rotor rígido (5) • Como siempre, para resolver el problema de mecánica cuántica: • Escribimos la función de Hamilton clásica. • Hacemos las transformaciones correspondientes para obtener el operador hamiltoniano, y • Resolvemos la ecuación de Schrödinger:
Rotor rígido (6) • Con respecto al centro de masa, se puede escribir la expresión clásica para la energía cinética del centro de masa (el potencial es cero)
Rotor rígido (7) • Y usando la expresión cuántica para la energía cinética en 3 dimensiones:
Rotor rígido (8) • Recordando el Laplaciano en esféricas:
Rotor rígido (9) • Para un rotor rígido, r es una constante, • Nota 1: en esféricas, este problema es bidimensional, lo que no es muy evidente en cartesianas. • Nota 2: μr2 es el momento de inercia.
