MATEMÁTICAS A. CS II

1. MATEMÁTICAS A. CS II Tema 11 * PROBABILIDADES Matemáticas 2º Bachillerato CS

2. AZAR Y PROBABILIDAD Tema 11.1 * 2º B CS Matemáticas 2º Bachillerato CS

3. Experimentos aleatorios • SUCESOS ALEATORIOS • Hay muchos fenómenos en los que, antes de que se produzcan, se puede predecir el resultado. Mientras que hay otros que dependen del azar y se les llama sucesos aleatorios. En éstos últimos por mucho que se repita el experimento y en las mismas condiciones, no se puede predecir el resultado. • El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama ESPACIO MUESTRAL y se designa por E. • Ejemplos: • Lanzamiento de una moneda al aire. • Lanzamiento de un dado al aire. • Extraer una carta de una baraja. • Extraer una bola en un sorteo de lotería. • Etc. Matemáticas 2º Bachillerato CS

4. LEY DEL AZAR • LEY DEL AZAR • Aunque no se puede predecir el resultado de un suceso donde interviene el azar, por ejemplo al lanzar un dado al aire, si se repite la experiencia muchas veces, se observa que cada uno de los distintos resultados aparece aproximadamente el mismo número de veces. Las frecuencias absolutas y relativas tienden a igualarse. • Veamos un ejemplo: • Si lanzamos un dado (no trucado) al aire 6 veces, lo más seguro es que no obtengamos los seis resultados posibles. • Si lo lanzamos 60 veces, es muy posible, casi seguro, obtener los seis resultados, aunque con distintas frecuencias relativas. • Si lo lanzamos 6 millones de veces, es muy posible que cada resultado del 1 al 6 haya salido aproximadamente un millón de veces. • Si seguimos lanzando el dado millones de veces más, la frecuencia de todas las modalidades se igualará, y tendrá un valor de: • fr = 1/6 = 0,166 Matemáticas 2º Bachillerato CS

5. LEY DE LAPLACE • LEY DE LAPLACE • La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. • casos favorables • P(A) = ------------------------------------ • casos posibles o totales • Para que se pueda aplicar la fórmula de Laplace TODOS y cada uno de los sucesos elementales deben ser EQUIPROBABLES, tener la misma probabilidad de que sucedan. • Ejemplo • Lanzamiento de un dado al aire. • Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  6 • Casos favorables al suceso “Salir par” {2, 4, 6}  3 • P(A) = P(de que nos resulte par) = 3 / 6 = 0,5 Matemáticas 2º Bachillerato CS

6. EJERCICIOS DE LAPLACE • ENUNCIADO COMÚN • En una urna tenemos 9 bolas de igual forma y tamaño. Dos son Negras, tres son Rojas y las cuatro restantes Blancas. Sabemos que están numeradas del 1 al 9. • EJERCICIO_1 • ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres bolas al azar y sin reinserción, nos salgan dos rojas una negra, en ese orden?. • 3 2 3 2 1 • P(R∩R∩N) = P(R).P(R).P(N) = ----- . ----- . ----- = ----- = ---- = 0,0357 • 9 8 7 56 28 • Al ser sin reinserción, el total serán 9, 8 y 7 bolas respectivamente. • Al tener que cumplirse todas habrá que realzar el producto. Matemáticas 2º Bachillerato CS

7. EJERCICIO_2 • ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer dos bolas al azar las dos tengan números impares? • 5 4 20 5 • P(I∩I) = P(I).P(I) = ----- . ----- = ------ = ------ = 0,2777 • 9 8 72 18 • Al ser sin reinserción, el total serán 9 y 8 bolas respectivamente. • Al tener que cumplirse todas habrá que realzar el producto. • EJERCICIO_3 • ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres bolas al azar no sea ninguna bola negra? • _ _ _ _ _ _ 8 7 6 6 2 • P(N∩N∩N) = P(N).P(N).P(N) = ----- . ----- . ----- = ----- = ---- = 0,6666 • 9 8 7 9 3 • Al ser sin reinserción, el total serán 9, 8 y 7 bolas respectivamente. • Al tener que cumplirse todas habrá que realzar el producto. Matemáticas 2º Bachillerato CS

8. EJERCICIO_4 • ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer seis bolas al azar y sin reinserción, nos salgan tres Blancas, dos Rojas y una Negra, en cualquier orden ?. • Al no importar el orden emplearemos las combinaciones. • C4,3 . C3,2 . C 2,1 4 . 3 . 2 2 • P(3B∩2R∩N) = ---------------------------- = ------------- = ---- = 0,2857 • C9,6 9.8.7 / 6 7 • EJERCICIO_5 • ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer cinco bolas al azar y sin reinserción, una sea Blanca y ninguna de las otras cuatro sea Negra? • _ C2,0 . C 4,1. C6,4 1. 4. 15 20 • P(B∩N) = ----------------------------- = ------------------ = ------ = 0,4762 • C9,5 9.8.7.6 / 24 42 • Una blanca, ninguna negra y cuatro de colores rojo o blanco. Matemáticas 2º Bachillerato CS

9. EJERCICIO_6 • ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres bolas al azar y con reinserción, el número obtenido sea el mismo en las tres?. • En la primera bola extraída no importa el resultado. En las otras dos extracciones el resultado debe ser el de la primera bola. • 9 1 1 9 1 • P(X∩X∩X) = --- . --- . --- = ----- = ---- = 0,0123 • 9 9 9 93 81 • Otra forma de resolverlo: • Extraer tres bolas al azar y con reinserción son variaciones con repetición de 9 elementos tomados de tres en tres. • Casos totales: 93 • Casos favorables: 9 {111,222,333,444,555,666,777,888,999] • P(Tres números iguales)= 9 / 93 = 0,0123 Matemáticas 2º Bachillerato CS

10. EJERCICIO_7 • ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres bolas al azar , la suma de los tres números obtenidos sea mayor de 22? • ¿Y de que un número sea la suma de los otros dos? • Espacio muestral favorable = • = {987, 978, 789, 798, 879, 897, 986, 968, 689, 698, 869, 896} • P(S>22) = 12 / 93 = 0,016461 • Espacio muestral favorable = • = Permutaciones de las siguientes ternas: {954, 743, 532} • Cada terna son 3! = 6 elementos. • En total 18 elementos o sucesos favorables. • P(X=Y+Z) = 18 / 93 = 2 / 81 = 0,0246 Matemáticas 2º Bachillerato CS