LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI

1. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI DEFINIZIONE DI LIMITE

2. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Funzione: Dominio: x≠0

3. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Poiché 0 non fa parte del dominio non ha senso chiedersi quanto vale f(0) Ha però senso la domanda: A quale valore si approssima f(x) quando x si approssima a zero?

4. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Possiamo arrivarci per tentativi

5. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Si può dimostrare che la successione dei valori di f(x) si avvicina indefinitamente ad un numero irrazionale detto NUMERO DI NEPERO e=2,71828182845904523536....

6. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI In questo caso non si scrive f(0)=e ma:

7. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI LIMITE FINITO PER X TENDENTE A UN VALORE FINITO Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite L per x tendente a Xo Se per ogni ε>0 esiste un intorno I di Xo tale che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo stesso, risulta:

8. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Come si verifica il limite • Se si conosce il valore L del limite e si vuole dimostrarne la correttezza: • Si imposta la disequazione: • La si risolve • Si constata che l’insieme delle soluzioni è un intorno di Xo, ovvero è un intervallo aperto che contiene Xo (in effetti, basta che l’insieme delle soluzioni contenga un tale intorno; se c’è altro poco importa)

9. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Come si verifica il limite La disequazione base: Equivale al sistema

10. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI LIMITE FINITO PER X TENDENTE ALL’INFINITO Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato, si dice che la funzione f tende al limite L per x tendente a più infinito Se per ogni ε>0 esiste un numero N>0 tale che, per ogni x maggiore di N, risulta:

11. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Hai capito la definizione? Prova a completare… Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato, si dice che la funzione f tende al limite L per x tendente a meno infinito Se ……

12. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI LIMITE INFINITO PER X TENDENTE A UN VALORE FINITO Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato, si dice che la funzione f tende a più infinito per x tendente a Xo Se per ogni M>0 esiste un intorno di Xo, I, tale che per ogni x appartenente ad I, salvo al più Xo stesso:

13. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Prova a completare….. Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato, si dice che la funzione f tende a meno infinito per x tendente a Xo Se…

14. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI LIMITE INFINITO PER X TENDENTE ALL’INFINITO Data una funzione f:D->R, D superiormente illimitato, si dice che la funzione f tende a più infinito per x tendente a più infinito Se per ogni M>0 esiste un numero N>0 tale che, per ogni x maggiore di N:

15. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Scambiando + con – si possono daree altre tre definizioni analoghe: prova a scriverle…

16. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI UNA DEFINIZIONE ALTERNATIVA DI LIMITE La disequazione che compare nella definizione di limite finito-finito: Equivale a: Infatti, basta portare L a destra e usare la proprietà transitiva

17. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI UNA DEFINIZIONE ALTERNATIVA DI LIMITE Ma questa disequazione: Equivale ad affermare che il valore di f(x) cade nell’intervallo (L-ε,L+ε), che è un intorno di L, anzi è un arbitrario intorno di L, visto che ε è arbitrario. Questo ci permette di dare una nuova definizione di limite

18. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI LIMITE FINITO PER X TENDENTE A UN VALORE FINITO Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite L per x tendente a Xo Se per ogni intorno H di L esiste un intorno I di Xo tale che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo stesso, f(x) appartiene a L

19. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI INTORNI DI PIU’ E MENO INFINITO La condizione x>M può anche essere detta così: X appartiene all’intervallo (M,+∞) Questo intervallo si dice INTORNO DI PIU’ INFINITO La condizione X<-M può anche essere detta così: X appartiene all’intervallo (-∞,-M) Questo intervallo si dice INTORNO DI MENO INFINITO

20. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI DEFINIZIONE DI LIMITE Con queste convenzioni, la definizione data prima non comprende solo il caso finito-finito, ma tutti i casi. Si unificano in questo modo le quattro definizioni di limite, anche se per praticità di calcolo di solito si tengono distinte

21. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI LIMITE DESTRO (FINITO-FINITO) Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite L per x tendente a Xo da destra Se per ogni ε>0 esiste un intorno destro I di Xo tale che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo stesso, risulta:

22. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI LIMITE SINISTRO (FINITO-FINITO) Data una funzione f:D->R, Xo punto di accumulazione del dominio D, si dice che la funzione f tende al limite L per x tendente a Xo da sinistra Se per ogni ε>0 esiste un intorno sinistro I di Xo tale che, per ogni x appartenente a I, salvo al più Xo stesso, risulta:

23. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI LIMITE SINISTRO E DESTRO (INFINITO-FINITO) Prova a scrivere la definizione di limite infinito destro e sinistro

24. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI TEOREMI SUI LIMITI

25. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI TEOREMA DELL’UNICITA’ DEL LIMITE: IL LIMITE, SE ESISTE, E’ UNICO Ovvero: data una funzione f:D->R, un punto Xo e un numero L, se: Allora non esiste un altro numero L’ diverso da L tale che:

26. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO: COS’E? Supponiamo per assurdo che esistano due limiti distinti L ed L’: allora, in base alla definizione, per ogni ε>0 dovrebbe esistere un intorno di Xo tale che per ogni x appartenente all’intorno dovrebbero valere entrambe le disuguaglianze:

27. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Queste disequazioni sono equivalenti ai due sistemi: Inoltre, poiché ε è arbitrario, lo possiamo scegliere minore della semidifferenza tra L ed L’ (supponendo L’ maggiore di L)

28. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Isoliamo le due disequazioni che ci interessano E cambiamo di segno alla seconda

29. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Sommiamo membro a membro + Ottenendo: ovvero:…………………………………….

30. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Mettiamo ora insieme quanto ottenuto con quanto era stato posto all’inizio: Posizione iniziale Risultato ottenuto Queste due formule sono CONTRADDITTORIE

31. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Quindi, poiché aver negato la tesi del teorema (cioè aver supposto che possano esistere due limiti distinti per una stessa funzione e per uno stesso valore di X, Xo) porta a una contraddizione, allora la tesi è vera.

32. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI HAI CAPITO LA DIMOSTRAZIONE? PROVA A RIFARLA SUPPONENDO CHE L SIA MAGGIORE DI L’, E CHE QUINDI ε SIA MINORE DI (L-L’)/2…

33. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO UNA FUNZIONE HA LO STESSO SEGNO DEL SUO LIMITE • Ovvero: se L è il limite di f(x) per x tendente a Xo allora: • se L è positivo allora esiste un intorno di Xo in cui la funzione è positiva • se esiste un intorno di Xo in cui la funzione è positiva allora L è positivo o nullo

34. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI DIMOSTRAZIONE DELLA PRIMA PARTE In base alla definizione di limite per ogni ε>0 esiste un intorno di Xo in cui vale che: Inoltre, poiché ε è arbitrario, e poiché L è comunque positivo per ipotesi, possiamo sceglierlo minore di L

35. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Isoliamo la disequazione che ci interessa e scriviamola così: Inoltre, scriviamo quanto avevamo posto, cioè: Così:

36. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Confrontiamo le due disuguaglianze: per la proprietà transitiva possiamo dire che: E questo vale per ogni x appartenente all’intorno dato, che era la tesi del teorema, prima parte

37. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI DIMOSTRAZIONE DELLA SECONDA PARTE Adesso, per ipotesi, abbiamo che in un intorno di Xo: Scegliamo dalle due solite disequazioni date dalla definizione di limite quella che ci interessa ora

38. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Confrontiamo queste due, opportunamente scritte: Otteniamo, per la proprietà transitiva: Ovvero:

39. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Ma se L è maggiore di qualsiasi numero negativo (infatti ε rappresenta un qualsiasi numero positivo, perciò il suo opposto è un qualsiasi numero negativo) Allora non può che essere un numero positivo o nullo, che era la tesi

40. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO HAI CAPITO LA DIMOSTRAZIONE? ALLORA PROVA A DIMOSTRARE QUESTO • se L è il limite di f(x) per x tendente a Xo allora: • se L è NEGATIVO allora esiste un intorno di Xo in cui la funzione è negativa • se esiste un intorno di Xo in cui la funzione è megativa allora L è NEGATIVO o nullo

41. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI TEOREMA DEL CONFRONTO UNA FUNZIONE COMPRESA TRA DUE FUNZIONI CHE CONVERGONO ALLO STESSO LIMITE CONVERGE ANCH’ESSA ALLO STESSO LIMITE

42. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI TEOREMA DEL CONFRONTO • Ovvero: date le tre funzioni f,g,h:D->R, se: • esiste un intorno di Xo in cui risulta: • e se: • allora:

43. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI DIMOSTRAZIONE Per definizione, come negli altri casi, risulta: Da ognuna prendiamo quella che ci interessa e la riscriviamo modificata:

44. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Prendiamo anche l’ipotesi del teorema ed estraiamone le due disuguaglianze che ci interessano:

45. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Confrontiamole con le precedenti: Per la proprietà transitiva:

46. LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI Combinandole in un unico sistema: Che è appunto ciò che richiede la definizione di limite: quindi anche f(x) ha come limite L

47. DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO E’ una dimostrazione in cui si suppone che la tesi sia falsa e, in base a questo, si mostra che l’ipotesi viene contraddetta: ma siccome l’ipotesi è vera, la tesi non può essere falsa e quindi deve essere vera (principio del TERZO ESCLUSO) Simbolicamente, anziché dimostrare A => B Si dimostra il suo equivalente logico Non B => non A TORNA