Modèle mathématique d’un vélo

Modèle mathématique d’un vélo Guy Gauthier ing.

Paramètres définissant la géométrie du vélo

Référentiels

Bicyclette version simplifiée • L’angle λ = 90°. • Fourche avant verticale. • Ce qui implique que c = 0.

Vitesse de rotation duréférentiel xyz • Vitesses • Roue arrière du vélo = V0; • Centre de gravité = V. • Vitesse de rotation du référentiel:

Vitesse du centre de gravité • A partir des deux équations précédentes: • Composante en y:

Dynamique liée à l’inclinaison du vélo • Dynamique: • Avec: Gravité Force centrifuge Force accélération

Dynamique liée à l’inclinaison du vélo • De plus, pour la partie centrifuge: • Ainsi, la dynamique devient:

Bilan • C’est l’équivalent d’un pendule: • Deux types de forces entrent en jeu: • Force centrifuge, proportionnelle à: • Force d’accélération angulaire, proportionnelle à:

Linéarisation (petits angles φ) • En posant cos(φ)≈1 et sin(φ)≈φ : • En Laplace

Localisation des pôles et zéros • Pôles: • Zéros: Un des pôles est instable !

Valeurs numériques • h = 1.3 m; • a = 0.4 m; • b = 1.2 m; • m = 75 kg; • Jp ≈ mh2.

Bilan • Le gain du système dépend du carré de la vitesse du vélo. • La position du zéro dépend de la vitesse. • Pole instable à plus lent si h est grand. • Plus facile de conduire un vélo d’adulte qu’un vélo d’enfant.

Comment rendre le vélo stable ? • La clé, c’est la fourche avant: • Typiquement c = 4 à 8 cm.

Comment rendre le vélo stable ? • Cela introduit une rétroaction: • Ainsi, on obtient: Couple à la poignée

Comment rendre le vélo stable ? • Pour que ce soit stable, il faut que: • Donc, une fourche avant est essentielle à la stabilité du vélo. • Vélo stable si vitesse suffisamment élevée. • Ce qui ne facilite pas la tâche aux enfants.

Cas ou la roue commandée est à l’arrière • Schéma de principe: • Regardez la direction du vecteur V !

Préliminaires • Équations: • Dynamique:

Suite du modèle • Avec: • Qui dérivé donne:

Nouvelle dynamique • Qui est: • En linéarisant:

Transformation de Laplace • La voici: • Mêmes pôles, mais zéro dans le plan droit maintenant ! • Gros risque de problème.

Transformation de Laplace • Et avec une fourche avant:

Bilan avec la conduite arrière • Système toujours instable. • La conduite arrière introduit un zéro dans le plan droit. • Ce zéro rend le contrôle très difficile, sinon impossible. • Un très mauvais design.

Référence • Karl J. Åström, Richard E. Klein, and Anders Lennartsson, ‘Bicycle dynamics and control: adapted bicycles for education and research’, IEEE Control System Magazine, Vol. 24, No. 4, pp. 26-47, August 2005

Modèle mathématique d’un vélo