CHAPTER

1. 10 CHAPTER 模糊系統的近似性質Ⅰ

2. 要解答如何求出最佳模糊系統的問題，首先我們必須看到什麼資訊對非線性函數要解答如何求出最佳模糊系統的問題，首先我們必須看到什麼資訊對非線性函數 是可用的，而其為我們所要求的近似。一般來說，我們可能遭遇到下列三種情況： • g(x)的解析公式是已知的。 • g(x)的解析公式是未知的，但對任意 我們能夠決定相對應的g(x)。也就是g(x)是一個黑箱──我們知道g(x)的輸入—輸出行為，但不知道其中的細節。 • g(x)的解析公式是未知的並且我們只提供有限個數的輸入輸出對(xj, g(xj)) ，其中 不能被任意選取。

3. 定義 10.1 • 虛擬梯形歸屬函數 (pseudo-trapezoid membership function)：令 。模糊集合A的虛擬梯形歸屬函數是一個在R上的連續函數 (10.1) 其中a≦b≦c≦d, a<d, 0<H≦1,0≦I(x)≦1是一個在[a,b)上的非遞減函數，而且0≦D(x)≦1是一個在(c,d]上非遞增函數。當模糊集合A是正規（也就是H=1），它的歸屬函數被簡寫為μA(x;a,b,c,d)。

4. 10.1 初步的概念 (10.2) (10.3)

5. 10.1　虛擬梯形歸屬函數的範例 10.1 初步的概念

6. 定義 10.2＆10.3 • 模糊集合的完整性：模糊集合A1,A2,…,AN 在 上被稱為在W上具有完整性，如果對任意 ，存在Aj便得μAj(x)>0。 • 模糊集合的一致性：在 中模糊集合A1,A2,…,AN被稱為在W上是具有一致性，如果μAj(x)=1對一些 表示μAj(x)=0對所有i≠j。

7. 定義 10.4＆10.5 • 模糊集合的高度集合：一個在 上模糊集合A的高度集合是在W上的子集合定義為 (10.4) 如果A是一個正規的模糊集合具有虛擬梯形歸屬函數μA(x;a,b,c,d)，則hgh(A)=[b,c]。 • 模糊集合間的順序：對於在 上模糊集合A與B，A>B如果hgh(A)> hgh(B)（也就是如果 與 ，則x>x’）。

8. 引理 10.1 • 如果A1,A2,…,AN是在 上一致且正規的模糊集合具有虛擬梯形歸屬函數μAi(x;ai,bi,ci,di)(i=1,2,…,N)，則存在一個{i=1,2,…,N}重新安排的{i1, i2,…,iN}便得 (10.5)

9. 引理 10.1 • 證 明 (10.6)

10. 引理 10.2 • 令在 上模糊集合A1,A2,…,AN為正規、一致且完整具有虛擬梯形歸屬函數μAi(x;ai,bi,ci,di)。如果A1<A2<…<AN，則 (10.7) 對i=1,2,…,N-1。

11. 10.2引理10.2的範例：ci≦ai+1<di≦bi+1 引理 10.2

12. 10.2 模糊系統的設計 • 問題：令g(x)是一個在緊密集合 上的函數，並且g(x)的解析公式是未知的。假設對任意，我們能夠得到g(x)。我們的工作是設計近似g(x)的模糊系統。

13. 10.2 模糊系統的設計 • 步驟1　定義Ni(i=1,2)模糊集合Ai1,Ai2,…,AiNi在[αi,βi]上，而其為正規、一致、完整的具有虛擬梯形歸屬函數μAi1(xi;ai1,bi1,ci1,di1),…, μAiNi(xi;aiNi,biNi,ciNi,diNi)，以及Ai1,Ai2,…,AiNi具有ai1=bi1=αi與ciNi=diNi=βi。定義e11=α1, eiNi=β1與 對j=2,3,…,N1－1。同樣地定義e21=α2, e2N2=β2與 對j=2,3,…,N2－1。圖10.3顯示N1=3, N2=4,α1=α2=0與β1=β2=1的範例。

14. 10.2 模糊系統的設計 • 步驟2　架構M=N1×N2個模糊若—則規則以下列的型式： (10.8) 其中i1=1,2,…,N1，i2=1,2,…,N2，並且模糊集合Bi1i2的中心以 表示被選取為 (10.9) 對於在圖10.3的範例，我們共有3×4=12個規則，並且Bi1i2的中心是等於g(x)在圖上估算所示的12個黑點。

15. 10.2 模糊系統的設計 • 步驟3　從 (10.8) 式N1×N2的個規則架構模糊系統f(x)，使用乘積推論引擎 (7.23)、單點模糊化 (8.1)，與中心平均值去模糊化 (8.18) ( 參閱引理9.1)： (10.10)

16. 10.3在設計程序步驟1的模糊集合定義範例 10.2 模糊系統的設計

17. 定理 10.1 • 令f(x)為 (10.10) 式中的模糊系統而且g(x)是 (10.9) 式中的未知函數。如果g(x)在U=[α1, β1]×[α2, β2]上為連續可微分，則 (10.11) 其中無限範數 定義為 ，而且 。

18. 定理 10.1 • 證 明 (10.12) (10.13) (10.14)

19. 定理 10.1 • 證 明 (10.15) (10.16)

20. 定理 10.1 • 證 明 (10.17) (10.18)

21. 10.2 模糊系統的設計 定理10.1是重要的定理。我們可由它獲得一些結論如下： • 從 (10.11) 式我們能夠斷定以 (10.10) 式為型式的模糊系統為全域近似器。特別地，因為 與 是有限數值（一個連續函數在緊密集合上其有限數值為有界），對任意已知 我們能夠選擇h1與h2足夠小使得 。因此從 (10.11) 式，我們得到 。

22. 10.2 模糊系統的設計 • 從 (10.11) 式以及h1與h2的定義，藉由對每一個xi定義更多模糊集合，我們可看到更精確的近似能夠被得到。這證實在直覺上更多的規則產生更有用的模糊系統。

23. 10.2 模糊系統的設計 • 從 (10.11) 式我們看到為了要以預先指定的精確來設計模糊系統，我們必須知道g(x)相對於x1與x2的導數邊界，也就是 與 。在設計過程中，我們需要知道g(x)在x=(e1i1,e2i2)的值，其中i1=1,2,…,N1與i2=1,2,…,N2。因此，這個方法要求這二個部分的資訊是為方便所設計的模糊系統達成任意預先指定的精確程度。

24. 10.2 模糊系統的設計 • 從定理10.1的證明我們看到如果我們改變μA1i1(x1)μA2i2(x2)為min[μA1i1(x1),μA2i2(x2)]，證明仍然有效。因此，如果我們在設計程序使用最小值推論引擎並且其餘部分維持不變，設計的模糊系統仍有定理10.1的近似特性。所以，模糊系統以最小值推論引擎、單點模糊化、中心平均值去模糊化以及虛擬梯形歸屬函數為全域近似器。

25. 引理 10.3 • 令f(x)是模糊系統 (10.10) 以及對f(x)的e1i1與e2i2是在設計程序中定義的點。則 (10.19) 對i1=1,2,…,N1與i2=1,2,…,N2。

26. 範例 10.1 設計模糊系統f(x)到定義在U=[－3,3]上均勻近似連續函數g(x)=sin(x)具有 所要求的精確；也就是 。 因為 ，從 (10.11) 式我們看到具有h=2的模糊系統達到我們的要求。因此，我們定義下列31個在U=[－3,3]上的模糊集合Aj且使用三角形歸屬函數 (10.20) (10.21) 以及 (10.22)

27. 範例 10.1 其中j=2,3,…,30以及ej=－3＋0.2(j－1)。這些歸屬函數如圖10.4所示。根據 (10.10) 式，所設計的模糊系統為 (10.23) 而其描繪於圖10.5並且與g(x)=sin(x)對照。我們從圖10.5看到f(x)與g(x)幾乎是完全相同的。

28. 10.4範例10.1的歸屬函數 範例 10.1

29. 10.5所設計的模糊系統f(x)與函數g(x)=sin(x)（它們幾乎相等）10.5所設計的模糊系統f(x)與函數g(x)=sin(x)（它們幾乎相等） 範例 10.1

30. 範例 10.2 設計模糊系統定義在U=[－1,1] ×[－1,1]上為均勻近似函數g(x)=0.52＋0.1x1＋0.28x2－0.06x1x2，並且以 為所要求的精確度。 因為 與 0.34，從 (10.11) 式我們看到h1=h2=0.2產生 。因此，我們定義在[－1,1]上的11個模糊集合Aj(j=1,2,…,11)是使用下列的三角形歸屬函數： (10.24) (10.25) 以及 (10.26)

31. 範例 10.2 對j=2,3,…,10 ，其中ej=－1＋0.2(j－1)。模糊系統從下列11×11=121個規則來架構： (10.27) 其中i1, i2=1,2,…,11與Bi1i2的中心為 。最終的模糊系統為 (10.28)

32. 10.4 總結與更多的閱讀 • 近似問題的三種型式（根據可用的資訊來分類）。 • 完整、一致與模糊集合的順序，並且它們以虛擬梯形歸屬函數應用到模糊集合的概念。 • 對已知精確度的要求，如何設計模糊系統能夠近似已知函數到所要求的精確度。 • 證明近似邊界的概念 (10.11)。