Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer

Fermi-Diracstatistiken vid olika temperaturer eF eF = Fermienergin Hög T Låg T T=0 Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer

Partikel i boxen Tillåtna våglängder: Tillåtna rörelsemängder (de Broglie):

För alla 3 rymdkoordinater gäller: När man har Fermi-Dirac statistik, gäller för Fermienergin: nz max nx2+ny2+nz2 Maxenergin formar en åttondel av en kulyta med r = n2. Volumen är: nx ny

När vi fyller de tillstånd med partikler med halvtalig spin, t. ex. elektroner, får vi plats för 2 elektroner per tillstånd med olik spin: Insättning i formeln för Fermienergin utgör:

Energin av hela ensemblen är: 2 partikler per tillstånd Övergång till polarkoordinater Genomsnittliga energin av en partikel är60 %av Fermi-energin.

Antal av tillstånd per energi g(e)är ett måtthur många tillståndfinns per energi

Graf av g(e) vid T=0 g(e) eF e e < eF alla tillstånd fullt ockuperad e > eF ingen tillstånd ockuperad

FD vid laga temperaturer Vid T=0 räcker det attsummera alla tillståndfrån 0till Fermi- kantenför att få antalet av partikler: g(e) = Antal av tillstånd per energi Vid laga T måste troligheten att tillståndet är ockuperad beaktas:

Graf av g(e) vid T>0 g(e) T=0 T>0 eF e

Photon i boxen Tillåtna våglängder: Tillåtna energier

BE statistik för fotoner Om man betraktar en absorptions (eller emissions) process av en foton genom en elektron e- +hn e- så gäller i jämnvikt: m(e-) + m(hn) = m(e-) m(hn) = 0 Planck- fördelning

I 3 dimensioner: 2 oberoende polarisationer per energi

L3=V Med x=e/kT

Rd R  cdt R=ct Fotonpassering genom ett hål Rsind Rsin Röda volymen:

Alla fotoner kommer inte att passera hålet , bara de som har rätta vinkeln. Energiförlust: Fotonenergi i volym (U/V)  trolighet av passering (Pp) i tidsintervall dt. Rd R  A Acos cdt R=ct

Energin som passerar med fotoner genom hålet: För totala energiförlusten gäller: Lag av Stefan-Boltzmann,sär Stefan-Boltzmann-konstanten 5.67 x 10-8 Wm-2K-4

Svarta strålare Betrakta en strålare med samma T och samma yta som hålet: T(box)=T(strålare) T(box)=T(strålare) Om strålningen av boxen eller strålaren är intensivare, skulle en av dem uppvärmas men den andra svalnas omöjligt. Om strålningen en av dem är intensivare vid en viss våglängd, skulle man åstådkomma samma situationen med hjälp av en filter. Strålningen av en svart strålare har samma spektrum och samma intesitet som den från ett hål.

Jorden som svart strålare Intensiteten av solstrålningen är 1370 W/m2, så kallade solarkonstanten. Jordtvärsnittet är R2p.Intensiteten av instrålning av solen är: Om man betrakta jorden som svarta strålare, så gäller I jämnvikt är P(in)=P(ut): Men: Jorden är ingen svart strålare, men reflektera 30 %. Denna förlust kompenseras med växthuseffekten.

Månen som svart strålare Månen saknar atmosfär,därför finnsingen konvektiv värmetransport. Om man antar lodrätt infall av solstrålen (på månekvatorn) och vet att månen reflekterar 7 % av infallande ljuset, är infallsintensiteten på 1m2: Månen är ingen perfekt svart strålare, den emitterar bara 96 % av ljuset som den skulle som svart strålare, så för 1 m2 är: I jämnvikt gäller: . 4 som överensstämmer ganska bra med den uppmätta temperaturen 400K.

Debyemodellen av fast kropp Vi betraktar en endimensions- kristall. Kristallatomer kan utföra vibrationer med följande vaglängder: n=1 n=2 För tillåtna energier gäller: n=3 cs = utbredningshastgheten av vibrationer = ljudhastighet

U i tre dimensioner: Vibrationer kan händer i 1 longi- tudinal och 2 transversala moder, därför inkludras en faktor 3. ny nx nz Området av tillåtna tillstånd har formen av en tärning i nx-ny-nz rum, Debye gjorde approximation med en attondel av en kula med samma volym. Volumen av kulattondelen måste utgör N, därför gäller: Debye-approximation

L=V1/3 p

Vidhöga temperaturergäller: Vid laga temperaturer:

Värmekapacitet av fast kropp Hög T Lag T Värmekapaciteten av en fast kropp

Ising modell av en ferromagnet I enparamagnettenderar dipolmomenter av atomer att utriktar sig antiparallel till ettexternt magnetfält. I enferromagnet händer utriktningen av dipolmomenterspontant (utan externt fält)parallelt. Vi betraktar först 2 dipolmomenter bredvid varandra. Om vi fixer en till utrikning s=1 (“upp”) så finns s möjligheter s=1 (upp) och s=-1 (ned) för den andra med olika energier: E = e E = -e E = -se

Om vi utvidga den här modellen till en 4x4-atomig planar kristall: Om vi antar alla utriktningar utav den röda (som har 8 grannar) är frusna, så gäller för energier av de två utriktningar vid den : Ened = (5-3)e = 2e och Eupp = -2e Generellt gäller för energin för en dipol: Eupp = sne Eupp = -sne medn = antal av granndipolerochssom derasgenomsnittlig utriktning.

Stabila tillstånd med s = 0  spontan utriktning Graf av s och tanh(s) Vid ben > 1 Vid ben < 1 stabil s s tanh(s) tanh(s) s stabil stabil ostabil Enda stabila tillstånd med s = 0  ingen spontan utriktning

Stabilitetsgränsen ligger alltså vid ben = 1: Tc kallasCurie-Temperatur Ferromagneter visarferromagnetismen vidT< Tc,vidT>Tcbara vanliga paramagnetismen. Curietemperaturer Järn 1024 K Nickel 627 K Kobalt 1122 K Gadolinium 280 K

Varför är magnetisera järnet sig inte spontant vis rumstemperatur ? Bara några i sma områden (Weiss-områden) utriktar sig dipoler spontant parallelt: Weiss område B Utan externt magnetfält Vid starkt externt magnetfält Vid ett starkt externt magnetfält kan man utrikta Weiss-områden parallelt och tillverka enpermanentmagnet.

Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer