Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: LO im. B. Krzywoustego w Kamieniu Pomorskim • ID grupy: 97_29_mf_g2 • Opiekun: Jarosław Boboryko • Kompetencja: matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: „Zasada Cavaleriego” • Semestr/rok szkolny: V/ 2011-2012

3. ZASADA CAVALERIEGO

4. Bonaventura Francesco Cavalieri (1598 – 1647) włoski matematyk i astronom. Był uczniem Galileusza. Zajmował się głównie geometrią. Jako pierwszy zaczął stosować metody nieskończenie małych elementów do obliczania pól powierzchni i objętości – „Zasada Cavalieriego”. Opisał tą zasadę w dwóch dziełach:  Exercitationesgeometricae sex (1647) [sześć ćwiczeń z geometrii], oraz  Geometria indivisibilibuscontinuorum (1635) [geometria niewidocznej ciągłości]. Propagował stosowanie logarytmów w obliczeniach (traktat Directorium generale uranometricum, 1632), opracował tablice logarytmów i funkcji trygonometrycznych dla astronomów, podał wzór na obliczanie ogniskowej soczewki oraz teorię budowy teleskopu zwierciadlanego, badał własności krzywych stożkowych. Publikował również traktaty astrologiczne (np. Trattatodellarupta planetaria perpetua, 1646).

5. Obliczanie objętości brył czy pól figur, poza najprostszymi przypadkami, wymaga (niestety) obliczenia pewnej całki. Jak zwykle w matematyce, czasami można ominąć całkowanie, prowadząc obliczenia według ciekawego pomysłu. Jednym z takich pomysłów jest użycie zasady Cavalieriego.

6. Zasada Cavaleriego Niech F1 i F2 będą figurami płaskimi. Cavalieri sformułował zasadę, w myśl której pola dwóch  obszarów są sobie równe, jeśli wszystkie odcinki przekroju tych obszarów prostą należącą do ustalonego kierunku mają tę samą długość na tej samej wysokości tego obszaru - patrz   animacja niżej.

7. Zasada Cavaleriego jeśli dwie bryły w przecięciu z każdą płaszczyzną równoległą do wybranej dają przekrój o tym samym polu, to ich objętości są równe.

8. Dwie bryły, mające w przecięciu dowolną spośród płaszczyzn równoległych przekroje o równych polach, mają równe objętości. Można ją zilustrować skręcając bryłę - stos takich samych kartek papieru tworzących prostopadłościan. Po skręceniu tego stosu jego objętość nie zmienia się, choć kształt przypomina już inną bryłą.

9. Umiejętnie dobierając bryłę, która ma takie same przekroje, jak ta, której objętość chcemy obliczyć, możemy otrzymać wynik bez obliczania skomplikowanych całek.

10. PROSTOWANIE FIGURY A ZASADA CAVALIERIEGO Przyzwyczailiśmy się obliczać pola figur płaskich  przez użycie gotowych wzorów, zaś pola wielokątów wyznaczamy  dzieląc ich na trójkąty. Na przykład pole czworokąta zamieszczonego na rysunku obok moglibyśmy wyznaczyć jako sumę pól dwóch odpowiednich trójkątów.

11. Opisana czynność pozwala zamienić jedną figurę na drugą jej równoważną (tzn. o tym samym polu). Zdarza się, jak i w tym przypadku, że pole nowopowstałej figury łatwiej obliczyć niż pole figury bazowej. Taki  zabieg matematyczny nazwijmy prostowaniem figury.

12. Spróbujmy teraz wyprostować koło o promieniu r. Poniższa animacja wyraźnie pokazuje, że pole tego koła stanowi pół pola elipsy, której wielka półoś jest równa 2r, zaś mała oś ma długość r.

13. Pole całej elipsy jest więc równe sumie pól dwóch kół. Przyjmijmy promień okręgu jako „r”. Pole elipsy wynosi zatem: 2*p*r^2 = p*2^r*r Ponieważ wielka półoś tej elipsy wynosi a = 2r, zaś mała b = r, więc przypuszczamy, że pole tej elipsy wynosi: pab. Czy to jednak dowodzi, że każda elipsa ma takie pole?

14. POLE ELIPSY

15. OBJĘTOŚĆ KULI A ZASADA CAVALIERIEGO Wykorzystajmy zasadę Cavalieriego do wyznaczenia objętości kuli o promieniu R.Gdy przetniemy ją płaszczyzną na wysokości h, licząc od środka kuli, otrzymując koło którego promień wynosi:

16. to pole tego przekroju - koła wynosi  p(R2 - h2). Ten związek przypomina nam pole innej płaskiej figury – pierścienia kołowego o promieniach: zewnętrznym R i wewnętrznym r. Oznacza to, że oprócz kuli istnieje inna bryła, mająca na wysokości h licząc od jej środka przekrój w postaci pierścienia kołowego o tym samym polu co przekrój na kuli na tej wysokość.

17. Widać wyraźnie, że tą bryłą jest obszar zawarty pomiędzy walcem o wysokości 2R i promieniu podstawy R oraz stożkiem (pełnym) o tych samych rozmiarach. Płaszczyzna  p przecinająca tę bryłę wycina z niej pierścień kołowy którego pole wynosi dokładnie p(R2 - h2), czyli tyle samo, ile wynosi pole przekroju kuli tą samą płaszczyzną. Poniższa animacja pokazuje oba przekroje, przy czym widać że przekroje tą płaszczyzną są największe dla h = 0, natomiast  w skrajnym dolnym i górnym położeniu (gdy h = R), schodzą się do punktu.  

18. Zgodnie więc z zasadą Cavalieriego  objętość kuli jest równa objętości opisanego powyżej obszaru pomiędzy walcem i pełnym stożkiem . Wyznaczmy ją: Vkuli = 2 (Vwalca - V stożka) = 2(p R2 R - 1/3 R) = 4/3 p R3

19. Nasze eksperymenty z zasadą Cavaleriego

20. ZASADA CAVALERIEGODOŚWIADCZENIE Aby zademonstrować zasadę Cavaleriego, najpierw z kartonu wycięliśmy dwie różne figury. Trójkąt i „domek”.

21. Na obu figurach narysowaliśmy paski, aby ułatwić sobie wycinanie.Paski o szerokości ok. 5 mm.

22. Później obie figury pocięliśmy na paski.

23. Teraz aby uzyskać inne figury z powstałych pasków to przyłożyliśmy je do innych figur.

24. Oto powstałe figury:

25. Obie figury różnią się kształtem ale mają identyczne pola. Wiemy to z zasady Cavaleriego.

27. ZASADA CAVALERIEGO W PRZESTRZENI Aby pokazać zasadę Cavaleriego odnoszącą się do figur przestrzennych nasze dwie koleżanki przeprowadziły kilka eksperymentów.

28. Zaczęły od prostego eksperymentu związanego z monetami.

29. Następnie starały się je obrócić tworząc z tego krzywą wieżę.

30. To samo doświadczenie wykonały z książkami. Książki przed… … i po 

31. Później przeszły do popisowego doświadczenia z… ciastem 

32. Starały się ukroić kawałki ciasta tak, aby podstawy otrzymanych figur miały inny kształt, jednak takie same pole.

33. Zgodnie z zasadą otrzymane kawałki nie tylko powinny mieć taki sam smak, ale także i objętość (a co za tym idzie – liczbę kalorii ;)). Dwaj wybitni degustatorzy i znawcy słodkich ciast testowali tą prawidłowość, po czym zgodnie ją potwierdzili ;]

34. Bibliografia • http://www.interklasa.pl/portal/dokumenty/pabich/s7.htm • http://portalwiedzy.onet.pl • http://pl.wikipedia.org • http://www.matematyka.pl • http://www.math.edu.pl

35. KONIEC