MATRICES

1. MATRICES • CONTENIDO DEL TEMA: • Concepto de matriz de orden n x m • Clases de matrices según su forma • Tipos de matrices cuadradas • Suma de matrices • Producto de un escalar por una matriz • Producto de matrices • Transposición de matrices. Matriz simétrica y hemisimétrica 

2. Definición • La matriz se usa en la vida cotidiana, en juegos, como el de “barquitos”, en una clasificación de una competición deportiva o en la cotizaciones de la bolsa. • En estas tablas numéricas, cada valor tiene un significado preciso, y para mayor facilidad de consulta, los números están repartidos en filas y columnas. • Por conclusíón: una matriz es la ordenación de m x n, de elementos ordenados en filas y columnas.

3. 1. Concepto de matriz m x n. Se llama matriz de orden m x n a la aplicación que a cada elemento del producto cartesiano M x N le asigna un número real • En otras palabras, a cada par ordenado de números naturales se le asigna un número real. Así tenemos un conjunto de m x n números reales que se acostumbra a escribir distribuidos en m filas (horizontales) y n columnas (verticales e introducidos entre paréntesis. Diapositiva siguiente

4. Solo se pueden sumar dos matrices si tienen las mismas dimensiones. Dadas dos matrices de orden n x m: Su suma es de dimensión: Cada elemento se obtiene sumando los elementos de las matrices sumandos que están en la misma posición. Ejemplo Suma de matrices

5. la suma de matrices presenta una estructura de grupo abeliano, cumple las cuatro propiedades siguientes: • Asociativa: (A+B)+C=A+(B+C) • Conmutativa: A+B=B+A • Elemento neutro: es la matriz nula • Elemento opuesto: Para cada matriz A existe su opuesta (-A), que se obtiene cambiando en A los signos de todos sus elementos, tal que A+(-A)=N.

6. 2. Clases de matrices según su forma. • matriz fila( 1x n) : • matriz columna (m x 1): • matriz cuadrada, n=m: • Matriz diagonal,escalar, unidad, nula y triangular

7. Dada una matriz A=(aij) de orden n x m y un número real k (escalar), se llama matriz producto de A por k a la matriz de orden n x m cuyo elemento genérico es de la forma: Ejemplo 1. Producto de un escalar por una matriz.

8. Distributiva respecto a la suma de escalares: (k+k')A=kA+k'A Distributiva respecto a la suma de matrices: k(A+B)=kA+kB Asociativa mixta: (kk')A=k(k'A) Producto por el elemento unidad de R: 1.A=A Propiedades del producto de un escalar:

9. Dos matrices sólo son multiplicables si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda, si son de órdenes n x m (la primera) y m x p (la segunda, se obtiene una matriz de orden n x p. 1. Producto de matrices.

10. Asociativa: (AB)C=A(BC) No es conmutativa ya que, en general, Matriz unidad: Toda matriz cuadrada A de orden n multiplicada por la matriz identidad del mismo orden queda inalterada, o sea AI=A: El producto de matrices no es simplificable, AB=AC no implica que B=C. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma, o sea A(B+C)=AB+AC. Propiedades del producto de matrices:

11. Se llama matriz traspuesta de la matriz A de orden n x m y la representamos por A’ a la matriz de orden m x n que se obtiene cambiando las filas por las columnas. 1. Trasposición de matrices. Matriz simétrica y hemisimétrica.

12. La traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial, (A’)’=A La traspuesta de una suma de matrices es la suma de las traspuestas, (A+B)t=At+Bt. La traspuesta de un producto de matrices es el producto de las traspuestas en orden inverso, o sea: (AB)t=BtAt Se llama matriz simétrica a una matriz cuadrada en la que los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son iguales, esto es cuando aij=aji. Propiedades:

13. En una matriz simétrica, la traspuesta coincide con la propia matriz. Se llama matriz hemisimétrica a una matriz cuadrada en la que los elementos simétricos respecto a la diagonal principal son números opuestos, esto es cuando aij=-aji En una matriz hemisimétrica los elementos de la diagonal principal han de ser nulos.

14. Es el producto matricial de n matrices iguales a A, esto es:  1. Potencia de una matriz cuadrada.