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Trapezoidal Maps in Computational Geometry

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theoj
26 diapositives · 376 Views · Jan 04, 2020

Explore the concept of trapezoidal maps, a planar subdivision with distinct abscissas, offering efficient algorithms for point location queries and incremental construction. Learn about the Randomized Incremental and Querying Algorithms, plus Intersection properties.

Trapezoidal Maps in Computational Geometry - slide 1
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Trapezoidal Maps in Computational Geometry
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Transcription de la présentation

  1. Trapezoidal Maps Shmuel Wimer Bar Ilan Univ., School of Engineering

  2. Trapezoidal Map Planar subdivision Abscissas are all distinct n segments 6n+4 vertices at most 3n+1 trapezoids at most

  3. Trapezoidal map can be constructed in O(nlogn) time by a scan-line algorithm.

  4. Randomized Incremental Algorithm

  5. x-node y-node trapezoid Inner nodes have degree 2

  6. Querying a point location Does q lie to the left or to the right ? Does q lie above or below?

  7. Randomized Construction Algorithm

  8. New segment insertion

  9. Assuming that a point is contained in Δ, the sub tree replacing its leaf is sufficient to determine whether the point is in A, B, C or D. The information attached to new trapezoids is their left and right neighbor trapezoids, top and bottom segment and points defining their left and right vertical segment. If the information in Δ is properly stored, above info can be determined in a constant time from si and Δ. If pi=leftPoint(Δ) and / or qi=rightPoint(Δ), Δis divided into two or three trapezoids and sub-tree replacement is simpler.

  10. Intersection with more than one trapezoid

  11. ■

  12. Given a set of segments, nothing is guaranteed on the maximal run time, which can be quadratic. Considering all possible problems of n segments, what is the expected maximal query time? O(logn)