CHƯƠNG 3

1. CHƯƠNG 3 KHÔNG GIAN VECTƠ -----

2. Chương 3. Không gian vectơ Nội dung • Không gian vectơ • Không gian con của không gian vectơ • Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính • Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT • Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay đổi. Ma trận chuyển cơ sở. • Không gian nghiệm. • Không gian dòng của ma trận.

3. Chương 3. Không gian vectơ 1. Không gian vectơ: Định nghĩa 1: Cho V là một tập khác rỗng, trong đó xác định 2 phép toán: i. Phép toán cộng (ký hiệu +) (Phép hợp thành trong) ii. Phép nhân vô hướng: (Phép hợp thành ngoài) Các phần tử của V được gọi là các vectơ. V được gọi là không gian vectơ (KGVT) trên trường số thực R nếu thỏa mãn các tính chất sau đối với phép cộng và nhân vô hướng:

4. Chương 3. Không gian vectơ i. Tính giao hoán của phép cộng ii. Tính kết hợp của phép cộng: iii. Tồn tại một phần tử không, ký hiệu 0, thỏa mãn: iv. tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là , thỏa mãn: v. vi. vii. viii.

5. Chương 3. Không gian vectơ Phép trừ trong KGVT được định nghĩa như sau: Tính chất: i. Phần tử 0 trong (iii) và phần tử -u trong (iv) là duy nhất. ii. iii. iv. Nếu ku = 0 thì hoặc k = 0 hoặc u = 0 v.

6. Chương 3. Không gian vectơ • Ví dụ: 1. Không gian vectơ Rn: trong đó các ui và vi là các số thực và được gọi là các thành phần của vec tơ u và v. phần tử không.

7. Chương 3. Không gian vectơ 2. Cho X là tập khác rỗng, tập hợp các hàm số từ X và R ký hiệu: Các phép toán cộng và nhân vô hướng được định nghĩa như sau: Phần tử không là các hàm đồng nhất không, tức là bằng không với mọi 3. Pn là tập tất cả các đa thức hệ số thực cấp Phép cộng: cộng đa thức Phép nhân vô hướng: nhân số với đa thức Pn là một KGVT trên trường số thực

8. Chương 3. Không gian vectơ 4. Tập tất cả các ma trận cấp mxn: Phép cộng: cộng ma trận Phép nhân vô hướng: nhân vô hướng với một ma trận là một KGVT trên trường số thực. 5. Trường số thực R là KGVT trên chính nó.

9. Chương 3. Không gian vectơ • Không gian vectơ • Không gian con của không gian vectơ • Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính • Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT • Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay đổi. Ma trận chuyển cơ sở. • Không gian nghiệm. • Không gian dòng của ma trận.

10. Chương 3. Không gian vectơ 2. Không gian con của KGVT: Định nghĩa 2: Không gian con của KGVT V trên trường số thực R (gọi tắt là không gian con) là một tập hợp W khác rỗng của V thỏa 2 tích chất sau: i. ii. Nhận xét: Hai tính chất trên có thể được thay bằng tính chất sau:

11. Chương 3. Không gian vectơ Định lý: Phần giao của một số bất kỳ các không gian con của KGVT V là không gian con của KGVT V. Định lý: Tập hợp nghiệm của hệ phương trình thuần nhất trên R: AX = 0 trong đó và là không gian con của KGVT Rn. Chứng minh: với X và Y là nghiệm của AX = 0 cần cm cũng là nghiệm của hệ AX = 0 Suy ra điều phải chứng minh.

12. Chương 3. Không gian vectơ • Không gian vectơ • Không gian con của không gian vectơ • Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính • Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT • Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay đổi. Ma trận chuyển cơ sở. • Không gian nghiệm. • Không gian dòng của ma trận.

13. Chương 3. Không gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính: Định nghĩa 3: V là KGVT trên R. Cho . Vectơ có dạng trong đó , được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ Định nghĩa 4: Hệ các vectơ v1, v2, …,vm của KGVT V được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu tồn tại các vô hướng (các số thực), không đồng thời bằng không, sao cho: Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là độc lập tuyến tính.

14. Chương 3. Không gian vectơ Định lý: Các vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại. Chú ý: • Các vectơ độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu • Mọi hệ hữu hạn các vectơ, trong đó có vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính. • , một họ vectơ gồm 1 vectơ, ký hiệu độc lập tuyến tính khi và chỉ khi .

15. Chương 3. Không gian vectơ Phương pháp kiểm tra hệ các vectơ ĐLTT hay PTTT: Bước 1: Lập hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: trong đó A là ma trận có các cột là các vectơ v1, v2, …,vm.

16. Chương 3. Không gian vectơ và vectơ X có dạng: Bước 2: Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên ta được: i. Hệ có nghiệm tầm thường suy ra hệ các vectơ ĐLTT ii. Hệ có vô số nghiệm (có nghiệm không tầm thường) suy ra hệ các vectơ PTTT

17. Chương 3. Không gian vectơ • Không gian con của không gian vectơ • Không gian vectơ • Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính • Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT • Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay đổi. Ma trận chuyển cơ sở. • Không gian nghiệm. • Không gian dòng của ma trận.

18. Chương 3. Không gian vectơ 4. Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT Rn: Tập gồm m vectơ của KGVT Rn lập thành một hệ các phần tử sinh của Rn, nếu với mọi vectơ v bất kỳ trong Rn là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ , tức là có thể biểu diễn v dưới dạng: trong đó là các vô hướng. Định nghĩa 5: (cơ sở của KGVT) Cơ sở của KGVT Rn là một hệ các phần tử sinh độc lập tuyến tính, tức là B thỏa mãn hai tính chất sau: i) được biểu diễn dưới dạng (công thức khai triển vectơ v thành các thành phần) ii) Phương trình chỉ thỏa mãn khi

19. Chương 3. Không gian vectơ Các vô hướng được gọi là các tọa độ của vectơ v trong cơ sở Ký hiệu:

20. Chương 3. Không gian vectơ Ví dụ: 1) Trong KGVT R2: mọi vectơ đều có thể biểu diễn thông qua 2 vectơ không cùng phương. Và hai vectơ không cùng phương thì ĐLTT. Vậy cơ sở của R2 là một hệ gồm 2 vectơ không cùng phương. vậy: 2) Trong KGVT R3: mọi vectơ đều có thể biểu diễn thông qua 3 vectơ không đồng phẳng (không nằm trên cùng mặt phẳng). Và 3 vectơ không đồng phẳng thì ĐLTT. Vậy cơ sở của R3 là một hệ gồm 3 vectơ không đồng phẳng.

21. Chương 3. Không gian vectơ Chú ý: i) Mỗi vectơ v trong Rn được khai triển thành các thành phần một cách duy nhất ii) Với mỗi cơ sở khác nhau, một vectơ được khai triển thành các thành phần khác nhau (trừ vectơ 0) iii) Cơ sở chính tắc trong Rn: ký hiệu Ví dụ:

22. Chương 3. Không gian vectơ Định nghĩa 6: (chiều của của KGVT) Nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho KGVT V có một cơ sở gồm n vectơ, số nguyên này là duy nhất và được gọi là số chiều của KGVT. Ký hiệu: n = dimV Nhận xét: i) Số chiều của một KGVT chính là số vectơ của mọi cơ sở của V và cũng là số tối đại các vectơ độc lập tuyến tính của KGVT V ii) KGVT có số chiều hữu hạn thì gọi là KGVT hữu hạn chiều. KGVT trong đó có thể tìm được vô số vectơ độc lập tuyến tính được gọi là KGVT vô hạn chiều.

23. Chương 3. Không gian vectơ Định lý: Trong KGVT Rn, một hệ bất kỳ gồm n vectơ độc tuyến tính thì tạo thành một cơ sở Định lý: Hệ gồm n vectơ trong KGVT Rn độc lập tuyến tính khi và chỉ khi định thức của ma trận tạo bởi các thành phần của vectơ đó khác không.

24. Chương 3. Không gian vectơ • Không gian con của không gian vectơ • Không gian vectơ • Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính • Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT • Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay đổi. Ma trận chuyển cơ sở. • Không gian nghiệm. • Không gian dòng của ma trận.

25. Chương 3. Không gian vectơ 5. Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay đổi. Ma trận chuyển cơ sở. là hai cơ sở khác nhau của KGVT Rn. Quy ước B là cơ sở cũ và B’ là cơ sở mới. Tọa độ của các vectơ trong cơ sở mới được biểu diễn trong cơ sở cũ như sau:

26. Chương 3. Không gian vectơ Ma trận vuông cấp n: được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở cũ B sang cơ sở mới B’ (hoặc ma trận chuyển).

27. Chương 3. Không gian vectơ Định lý: là ma trận chuyển từ cơ sở B={ei} sang cơ sở B’={fi} và là ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang cơ sở B. Khi đó khả nghịch và

28. Chương 3. Không gian vectơ Định lý: là ma trận chuyển từ cơ sở B={ei} sang cơ sở B’={fi} trong KGVT V. Khi đó đối với vectơ bất kỳ v trong V: i) ii)