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-Derivative （導函數） - Chapter 3. 朝陽科技大學 資訊管理系 李麗華 教授. 3-1 前言. 導函數主要是利用極限觀念求函數 對 的變化率 古人在有了數學後，對數學的運算雖可知其平均值及統計值，但在”變化”或”速度”之議題有許多未解之處，自從牛頓及萊布尼茲提出微積分相關文章，終於大家可以理解並求出”變化率”及速度。 ( 以下就幾何層面來看切線與斜率 ). 3-1 前言. 為切過圈上一點 的切線，可是到底我們畫在這個點上了嗎？點有多大？. (secant line). 3-1 前言.
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-Derivative（導函數）-Chapter 3 朝陽科技大學 資訊管理系 李麗華 教授
3-1 前言 • 導函數主要是利用極限觀念求函數 對 的變化率 古人在有了數學後，對數學的運算雖可知其平均值及統計值，但在”變化”或”速度”之議題有許多未解之處，自從牛頓及萊布尼茲提出微積分相關文章，終於大家可以理解並求出”變化率”及速度。(以下就幾何層面來看切線與斜率)
3-1 前言 • 為切過圈上一點 的切線，可是到底我們畫在這個點上了嗎？點有多大？
(secant line) 3-1 前言 • 古人並無法得知 這個點到底為哪一點，故均採割線(即 )由內向外移動，直到 為止，故需利用逼近法。 • 當 這條直線(若命名為 )為此圖或曲線的切線(tangent line)而曲線在 點的斜率即為直線 的斜率。
曲線 3-1 前言 • 通過 點有無限多條線與曲線相交，但只有一條(即 )才能找出曲線在 點的斜率。 圖示：
3-1 前言 • 由上頁圖示的引述可知，要求得變化率(rate of change)再任意曲線下可以利用割線(secant line)來逼近成切線(tangent line) 當 , 則 切線的斜率(即2點取一直線的斜率)
-2 -1 1 2 3 Tangent Line範例 Determine the slope of the line tangent to the graph of EX： Sol： ∴當 at point (-2,4) is 2(-2)= -4
3-1 前言 • 由上述可知，斜率即為函數 在某一點 的變化率，亦稱為導數(derivative)用 來表示。 也可寫成 provided the limit exists
3-1 前言 • When the derivative exists, the function is said to be differential • To differentiate a function means to determine its derivative • 有關微分的寫法及念法如下 , , , , , 葉布尼茲的寫法
Derivative範例 求 的導數，即對 微分，求 。 EX： Sol：
( ) Derivative練習 EX： If then Sol： ( )
c 3-2 Basic Rule for Differentiation 1. c：constant 1.1 2. 2.1 3. 4.
Basic Rule for Differentiation範例 1.1 若 , 1.2 若 , 2.1 若 , 2.2 若 , 2.3 若 , 2.3 若 ,
上台練習 • 求 (a) (b) (c)
上台練習 • 求導數derivative (a) (b) (c) (d) (e)
3-3 Rates of Change (變化率) • 前面已提到導函數(derivative)可由函數上的一條切線來找到，即 。若由圖形(9graph)的角度來看，可看出函數 在某一點的變化率(rate of change)即為導函數的值。
3-3 Rates of Change (變化率) • 變化率在日常生活中隨處可見，例如速度即為一種距離對時間的變化率，又例如學費每年成長的變化率，股市的變化率和匯率等。
Rates of Change範例 若由山下走到學校的距離(s)為500公尺，阿華 走了25分鐘，則阿華的平均速度(average speed) 為何？ 若Amtrak公司83-88年的收入由8億增至13億， 則五年內的平均收益為何？ EX： (距) Sol： Average speed = = = (時) EX： (收益量) Sol： Average revenue = = = = (億) (時)
Rates of Change範例 同上面的題型，可延伸出任一個函數 ，變 化率由 代表 EX： 例如： 若 ，欲求 在 到 的變化率， 則可由 求得： = = = =
3-3 Rates of Change (變化率) • 事實上在第一章已學過， 即為斜率(m) ，所以斜率亦代表變化率。而當 的變化量逼近0時( ) ，即代表欲求得 那一點的變化量 ，正好這個公式即為導函數(微分) 。故我們可以說導函數 是 在 這一點的變化量，即 is the instantaneous rate of change of y with respect to x, or instantaneous rate of change of with respect to x
3-3 Rates of Change 範例 若一球自山頂掉下的距離公式為 ，求 EX： (a)前三秒的平均速度？ (b)在第三秒的速度為何？ Sol： (a) (b) 第三秒的速度，即在第三秒的變化量，即求 在 的微分(導函數)
上台練習 若 ，求當 的rate of change 賽車前6秒的距離公式為 ( ) ， 求第四秒後的速度 若細菌生長的公式為 ，問一開 始的細菌數為何？3小時後的細菌成長率為 何？ EX1： EX2： EX3：
3-4 Marginal Analysis (邊際分析) • 若函數 是生產 個產品的成本函數，則 稱為邊際成本(marginal cost) 。即再生產一個產品的成本 (即一個量的變化率) 說明：
Marginal Analysis範例 Suppose ( )determine the marginal cost when EX： Sol： (即生產到第9個，其邊際成本約為12元) (生產到第10個，其邊際成本約為10元) ︰ ︰
Marginal Analysis範例 Suppose . The company determine to stop producing table when the marginal cost reaches $100. How many table will be mode? EX： Sol： (邊際成本) 已知 ∴這個公司會生產到1500個桌子後停止生產
3-4 Marginal Analysis (邊際分析) • 除了Marginal cost，其他類似的邊際分析亦可同理來解它，例如Marginal revenue 或Marginal profit (回顧第一章已知 )
求marginal cost (MC)，marginal revenue (MR) • 求MR(5) • 求marginal profit (MP) • 求 , 當MC=MR Marginal Analysis範例 EX：若 , Sol： RC MC
3-5 The Product (積) & Quotient Rule (商) • 由於函數與函數間的+、-、 、/、冪次等諸多變化，茲將微分的法則分割介紹。 • 已在前面學了和，差法則即 然而積與商法則卻不是可以分開帶入計算的。 EX： , 則 ,
3-5 The Product (積) & Quotient Rule (商) • Product Rule： , 或 即
3-5 The Product (積) & Quotient Rule (商) 已知 加入一個 加入項 拆2項 提出共同項 拆 得証
, 求 Product Rule範例 EX： , 求 Sol： EX： Sol：
上台練習 EX 1： EX 2： EX 3： EX 4：
3-5 The Product (積) & Quotient Rule (商) • Quotient Rule
Quotient Rule範例 EX： , find the derivative of Sol： EX： , find Sol：
上台練習 EX 1： EX 2： EX 3： EX 4：
