Rappels de théorie des circuits notions associées à un quadripole

1. Paramètres S • Rappels de théorie des circuits • notions associées à un quadripole • matrice d’impédance et d’admittance • gain, puissance • paramètres S - matrice de répartition • définition des paramètres S? • Propriétés de la matrice S • Méthode de calcul: théorie des graphes et règle de Mason

2. I1 I2 Z11 Z22 Z11 Z12 Z21 Z22 + + Z = Z12 I2 Z21 I1 V1 V2 - - Théorie des circuits • A basse fréquence, un quadripole est caractérisé par des tensions et courants. • Les paramètres Z (matrice d’impédance) sont utilisés pour décrire complètement le circuit: • V1 = Z11 I1 + Z12 I2 • V2 = Z21 I1 + Z22 I2

3. I1 I2 Z11 Z22 + + Z12 I2 Z21 I1 V1 V2 - - Théorie des circuits • Z11 = V1/ I1 lorsque I2 = 0 (accès de sortie ouvert) • Z12 = V1/ I2 lorsque I1 = 0 (accès d’entrée ouvert) • Z22 et Z21 obtenus similairement • D’autres matrices sont aussi utilisées pour les quadripoles: matrices Y, H,… • Toutes ces matrices utilisent une représentation courant/tension

4. + + - - Z11 Zg Z22 Théorie des circuits I1 I2 + ZL Z12 I2 Z21 I1 Vg V1 V2 - Zin Zout • Puissance fournie au quadripôle par le générateur • Puissance fournie à la charge par le quadripôle • Gain de puissance fournie

5. Zg Théorie des circuits I1 Zg=Rg+jXg + ZL=RL+jXL Vg V1 - • Puissance fournie à une charge ZL par un générateur d’impédance Zg • Si RL > 0 et Rg > 0 la puissance maximale fournie à la charge par le quadripôle • est obtenue pour : et est notée puissance disponible

6. Théorie des circuits • Si RL > 0 et Rg > 0 la puissance maximale fournie à la charge par le quadripôle • est obtenue pour :

7. + + - - Z11 Zg Z22 Théorie des circuits I1 I2 + ZL Z12 I2 Z21 I1 Vg V1 V2 - • Notion de gain transductique: • rapport entre la puissance fournie à la charge et la puissance disponible à la source • Notion de gain d’insertion: • rapport entre la puissance fournie à la charge(Pf2) et la puissance fournie à cette même charge lorsqu’elle est connectée directement au générateur (notée PfL)

8. Intérêt des paramètres S ? • Aux hyperfréquences: longueur des éléments l • théorie des lignes de transmission applicable • des ondes de courant, tension doivent être considérées • V1= V10 cos (t - z) = Re{V10 exp j(t - z)} • il est souvent difficile à ces fréquences • de mesurer des courants et/ou des tensions • de créer des circuits ouverts ou des courts-circuits Généralisation à des ondes qui sont des racines carrées de Watts

9. I1 I2 V1 V2 Intérêt des paramètres S ? • définition des ondes généralisées: • ai = (Vi + Zci Ii )/2Rci avec Rci = Re{Zci} • bi = (Vi - Z*ci Ii )/2Rci • où: • ai est l’onde incidente à l’accès “i” • bi est l’onde réfléchie à l’accès “i” • Zci est l’impédance de référence au port “i” • Les impédances de références sont choisies arbitrairement mais pourraient être prises égales aux impédances caractéristiques des lignes de transmission incidentes aux accès • L’onde réfléchie s’annule à l’ “adaptation conjuguée”, c-à-dire lorsque l’impédance que présente le quadripole à l’accès i est égale au conjugué de l’impédance de référence Zci : • Vi = Z*ci Ii

10. I1 I2 S21 graphe de transfert associé b2 a1 V1 V2 I1 I2 S22 S11 ZL2 ZL1 V2 V1 b1 a2 S12 Intérêt des paramètres S ? • Les paramètres S décrivent complètement un quadripole • ou • Les paramètres S sont obtenus comme • Si l’impédance caractéristique de référence est réelle • adaptation conjuguée = adaptation ligne Sij est obtenu en connectant à l’accès j une charge ZLj = Zcj c’est-à-dire une charge « adaptée » à l’impédance de référence

11. Intérêt des paramètres S ? • Si Rci > 0, et qu’une source d’impédance Zg = Zci est placée à l’accès i, la puissance disponible à l’accès “i” est • La puissance fournie à l’accès i est • La matrice de répartition est reliée aux coefficients de réflexion de façon immédiate si on suppose les impédances de référence réelles (ex. lignes d’accès à faibles pertes): • Zci = Zci* = Rci (Pdisp correspond à Zin = Zg * = Zci* , donc bi = 0) S11/22 est le facteur de réflexion (au sens ligne) obtenu à l’entrée/sortie du quadripôle lorsque sa sortie/entrée est chargée par une impédance Zcj (condition pour que aj soit nul)

12. si Yo=Yc ligne adaptée ligne adaptée Intérêt des paramètres S ? Analogie avec ligne de transmission de longueur L: facteur de réflexion à l’abscisse z

13. e- g L b2 a1 b1 a2 e- g L Intérêt des paramètres S ? Paramètres S pour une ligne de transmission adaptée: Intérêt des paramètres S pour un quadripole: le comparer avec le comportement d’une ligne de transmission (adaptée) • Par analogie avec une ligne de transmission, la définition de paramètres S permet donc sous certaines conditions (Zci réelle), de caractériser un quadripole en terme de transmission et de réflexion du signal hyperfréquences: • S11 et S22 traduisent la réflexion du signal incident à chacun des accès • S21 et S12 traduisent la propagation du signal à travers le quadripole • (déphasage et atténuation)

14. Propriétés particulières La puissance fournie à l’accès i est Sous forme matricielle: Quadripôle passif et sans pertes: Ptot = 0 Quadripôle passif: Ptot > 0 est définie positive Quadripôle réciproque: Lien entre matrices S et Z:

15. v x r u w y Règle de Mason • calcul des fonctions de transfert à partir de la théorie des graphes = z avec D = 1 -  T’ +  T’’ -  T’’’ + … T’ transmittance de boucle T’’ produit 2 à 2 des transmittances de boucles qui ne se touchent pas T’’’ produit 3 à 3 des … N =  Tab Dp Tab chacun des trajets liant y à x Dp calculé comme D, mais pour graphe dont Tab est supprimé

16. I1 I2 L V1 V2 Règle de Mason impédance de charge ZL = Zc S21 a1 b2 a2 = GL b2 S11 S22 ?? Facteur de réflexion en entrée du quadripôle ?? a2 b1 S12

17. e- g L b2 a1 b1 a2 impédance de charge ZL Zc I1 I2 e- g L S21 b2 L a1 V1 V2 S22 S11 b1 a2 S12 Règle de Mason pour une ligne de transmission Hypothèses ligne d’impédance caractéristique Zc impédances de références Zci choisies = Zc a2 = GL b2