Chapter 02 Wavelets - Lineær algebra

1. Chapter 02Wavelets - Lineær algebra

2. Vektorer i 2-dim R2Vektor-addisjon Vektor-addisjon vha parallell-konstruksjon 2.akse y-akse v v1 v v2 v2 1.akse x-akse v1

3. Vektorer i 2-dim R2 Vektoren v har komponenter x1 og x2 og vi skriver v = [x1,x2] 2.akse y-akse v x2 1.akse x-akse x1

4. Vektorer i 2-dim R2 Vi innfører enhetsvektorer e1 og e2 langs x- og y-aksen henholdsvis. Enhetsvektorene har lengde 1. Disse lineært uavhengige enhetsvektorene sies å danne en basis for xy-planet siden enhver vektor i dette planet kan skrives som en lineær-kombinasjon av disse enhetsvektorene. 2.akse y-akse v x2 e2 1.akse x-akse e1 x1

5. Vektorer i 2-dim R2Egenskaper - Eks 4 v v 1 e2 e2 e1 5 e1 2

6. Vektorer i 2-dim R2Ulike basiser k2 = 4e1 + 6e2 v v 2 k1 = 2e1 + e2 e2 e1 3

7. Vektorer i 2-dim R2Biortogonale basiser k2 = 4e1 +6e2 v k1 = 2e1 + e2  k2 = -1/8(e1 - 2e2)  k1 = 1/8(6e1 -4e2)

8. Vektorer i 2-dim R2Lengden av en vektor Vi kan benytte Pythagoras’ læresetning til å finne lengden av en vektor 2.akse y-akse v x2 e2 1.akse x-akse e1 x1

9. Vektorer i 2-dim R2Skalarprodukt Skalarproduktet av to vektorer v1 og v2 er definert som lengden av v1 multiplisert med lengden av v2 multiplisert med cosinus til vinkelen mellom v1 og v2. 2.akse y-akse v1 v2  1.akse x-akse

10. Vektorer i 2-dim R2Skalarprodukt For vektoren v og enhetsvektorene e1 og e2 får vi spesielt: 2.akse y-akse v1 v2  e2 1.akse x-akse e1 eller:

11. Vektorer i 2-dim R2Skalarprodukt 2.akse y-akse v1 v2  e2 u2 u1 1.akse x-akse e1

12. Vektorer i 2-dim R2Skalarprodukt For enhetsvektorene e1 og e2 får vi spesielt: 2.akse y-akse v e2 1.akse x-akse e1

13. Vektorer i 3-dim R3 Vi innfører enhetsvektorer e1, e2 og e3 langs x-, y- og z-aksen henholdsvis. Enhetsvektorene har lengde 1. Disse lin. uavh. enhetsvektorene sies å danne en basis for det 3-dimensjonale rommet siden enhver vektor i dette rommet kan skrives som en lineær-kombinasjon av disse enhetsvektorene. 3.akse z-akse x3 v e3 x2 2.akse y-akse e1 e2 x1 1.akse x-akse

14. Vektorer i n-dim Rn Vi innfører enhetsvektorer e1, e2, …,en i det n-dimensjonale rommet Enhetsvektorene har lengde 1. Disse lin. uavh. vektorene sies å danne en basis for det n-dimensjonale rommet siden enhver vektor i dette rommet kan skrives som en lineær-kombinasjon av disse vektorene.

15. Ortogonal - Ortonormal Vektorene u og v sies å være ortogonale (skrives u  v) hvis <u|v> = 0. En vektor v sies å være ortogonal til en mengde M  E (skrives v  M) hvis v  m for alle m  M. Vektorer {v1,v2,…} kalles et ortogonalt system hvis vi vj for i  j. Hvis i tillegg ||vi|| = 1 for alle i, kalles systemet ortonormalt. v3 v2 v1

16. Vektorer i n-dim RnBiortogonale basis-sett    Vi innfører to sett med basisvektorer k1, k2, …,kn og k1, k2, …,kn Disse to basissettene sies å danne et biortogonalt sett hvis basisvektorene oppfyller betingelsen * vist nedenfor. k2 * v  k1 k2  k1

17. Komplekse vektorer i planet C La v være en vektor i det komplekse planet med komponenter x og iy. Pga at i2 = -1, får vi lengden av denne vektoren ved å skalarmultiplisere v med den kompleks konjugerte av v. k v iy x

18. Komplekse vektorer i CnBra-Ket notasjon La v være en vektor i det komplekse planet med komponenter x og iy. Pga at i2 = -1, får vi lengden av denne vektoren ved å skalarmultiplisere v med den kompleks konjugerte av v. k vj iy x

19. Komplekse vektorer i Cn

20. Analyse - Syntese Analyse Syntese

21. Vektorer i 2-dim R2Biortogonale basis-sett k2 v  k1 k1  k2 Basisvektorene k er kolonner i K

22. Vektorer i 2-dim R2Biortogonale basis-sett k2 = 4e1 +6e2 v k1 = 2e1 + e2  k2 = -1/8(e1 - 2e2)  k1 = 1/8(6e1 -4e2) Basisvektorene k er kolonner i K

23. Analyse - SynteseBiortogonale basis-sett Analyse Syntese

24. Rom-hierarki Vektor-rom Indre produkt-rom Normert lineært rom Normert vektor-rom over C Vektor-rom med indre produkt, norm og distanse Banach-rom Komplett normert lineært rom Hilbert-rom L(H1,H2) Komplett indre produkt-rom Komplekse n-rom L2([-, ]) L2([a,b]) L2(R) l2-rom

25. Vektor-romDef Med et vektor-rom V mener vi en mengde av vektorer x = (x1,x2,…,xn) eller x = (x1,x2,...) med addisjon og skalarmultiplikasjon (og lukket under disse operasjonene) slik at:

26. Vektor-romLineær uavhengighet La V være et vektor-rom. La S  V. Spannet til S, sp S er sub-rommet til V bestående av alle lineærkombinasjoner av vektorer i S. Vektorene v1, v2,…,vn kalles lineært uavhengige hvis en lineærkombinasjon av disse lik 0, medfører at hver koeffisient er lik 0, ellers lineært avhengige (gjelder også for uendelig mange vektorer). En delmengde {v1, v2,…,vn} av vektorer i V kalles for en basis for V hvis V = sp {v1, v2,…,vn} og v1, v2,…,vn er lineært uavhengige. n kalles for dimensjonen til V.

27. Indre produkt-romDef Et indre produkt-rom E er et vektor-rom sammen med en kompleks funksjon < |  > (samt norm og distanse) definert ved:

28. Indre produkt-rom R2 2.akse y-akse v e2 e1 Indre produkt Norm Distanse

29. Indre produkt-rom Rn Indre produkt Norm Distanse

30. Indre produkt-romEksempler Vektorer i Rn Vektorer i C2 Polynomer med ai C Kontinuerlige funksjoner på intervallet [a,b]

31. Indre produkt-romSchwarz ulikhet - Triangel ulikhet - Parallellogram

32. Indre produkt-romSchwarz ulikhet - Bevis Schwarz ulikhet:

33. Indre produkt-romTriangel ulikhet / Parallellogram - Bevis Triangel ulikhet: Parallellogram:

34. Indre produkt-romOrtogonal - Ortonormal Vektorene u og v sies å være ortogonale (skrives u  v) hvis <u|v> = 0. En vektor v sies å være ortogonal til en mengde M  E (skrives v  M) hvis v  m for alle m  M. Vektorer {v1,v2,…} kalles et ortogonalt system hvis vi vj for i  j. Hvis i tillegg ||vi|| = 1 for alle i, kalles systemet ortonormalt. v3 v2 v1

35. Indre produkt-romOrtonormal / Lineært uavhengig Et ortonormalt system {i} er lineært uavhengig. 3 2 Bevis: 1 Ethvert endelig-dimensjonalt indre produkt-rom har en ortonormal basis.

36. Indre produkt-romPythagoras Det Pythagoreiske teorem: u+v u v Bevis:

37. Indre produkt-romDistanse Distansen d(v,S) fra et punkt v  E til en mengde S  E er definert ved: E S S s s v v-s v inf = Største nedre grense (Greatest lower bound) sup = Minste øvre grense (Least upper bound)

38. Indre produkt-romDistanse fra en vektor til et underrom La M være et endelig-dimensjonalt underrom av E og la {1, 2,…, n} være en ortonormal basis for M. For hver vektor v  E vil vektoren w = <v|j> j være den entydige vektoren i M med egenskapen ||v-w|| = d(v,M) M w v-w v

39. Indre produkt-romDistanse fra en vektor til et underrom - Bevis

40. Indre produkt-romNormalitet til et underrom M La M være et underrom av E. Anta at v  E og w  M. Da vil v-w  M hvis og bare hvis ||v-w|| = d(v,M). w v-w v Bevis:

41. Normert lineært romDef Et normert lineært rom X er et vektor-rom sammen med en reell funksjon |||| definert ved:

42. Banach romDef Et normert lineært rom X kalles komplett hvis enhver Cauchy-sekvens i X konvergerer. Et Banach rom B er et komplett normert lineært rom.

43. Hilbert romDef Et Hilbert rom H over de komplekse tall C er definert ved: 1. H er et vektor-rom. Vektorer i H kan adderes og multipliseres med (komplekse) skalarer. 2. H har et indre produkt. 3. H er et komplett metrisk rom med hensyn til distanse definert ved dens norm.

44. Hilbert romCn Hilbert rommet Cn (n-tupler av komplekse tall).

45. Hilbert-romL2([a,b]) Hilbert-rommet L2([a,b]) er mengden av alle kvadratisk integrerbare funksjoner på intervallet [a,b].

46. Hilbert-rom L2([a,b]) - Indre produkt L2 indre produkt på L2([a,b]) er definert ved:

47. Hilbert-romL2([a,b]) - Indre produkt - Motivasjon f Diskretisering av f på intervallet [a,b] = [0,1]: 0 1

48. Hilbert romL2[0,2] Hilbert rommet L2[0,2]

49. Hilbert romL2[R] Hilbert rommet L2[-,+ ] = L2[R]

50. Hilbert romLp[R] Hilbert rommet Lp[-,+ ] = Lp[R]