30°

1. sen tg 90° 120° 135° 150° 0°/360° 180° 0 cos 210° 330° 225° 315° 300° 240° 270° É só o Filé! TRIGONOMETRIA 60° 45° 30° Fred Tavares

2. sen tg 90° 120° 135° 150° 0°/360° 180° 0 cos 210° 330° 225° 315° 300° 240° 270° É só o Filé! TRIGONOMETRIA 60° 45° 30° Fred Tavares

3. Teorema Fundamental da Trigonometria

4. sen 1 sen θ 0 1 cos -1 cos θ -1 Demonstração ... · θ )θ

5. Continuação... sen 1 1 sen θ )θ 0 1 cos -1 cos θ -1

6. 1 sen θ )θ cos θ Continuação... Utilizando o teorema de Pitágorash2 = c2 + c2, temos : C M P Q D

7. )θ Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo Cateto Adjacente Cateto Oposto Hipotenusa

8. Ente Trigonométrico Relação no Triângulo Retângulo Seno de θ Cosseno de θ Tangente de θ Cossecante de θ Secante de θ Cotangente de θ Continuação ...

9. tg θ sen θ cos θ Na Circunferência Trigonométrica sen tg · )θ 0 cos

10. cotg cotg θ cossec θ secante θ Continuação ... · )θ 0

11. sen tg 90° 120° 135° 150° 0°/360° 180° 0 cos 210° 330° 225° 315° 300° 240° 270° Arcos Notáveis 60° 45° 30°

12. Tabela de Entes Trigonométricos ...

13. Vamos pensar . . . ?

14. Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado? Observem a figura ao lado 1) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que o sen a vale: a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b

15. 2) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que o cos a vale: a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b

16. 3) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que a tg a vale: a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c

17. 4) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que a cotg a vale: a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c

18. 5) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que tg a .cotg a vale: a) 1/a b) 1/c c) 1/b d) 0 e) 1

19. 6) Se a = 3b, podemos dizer então, que sen2a + cos2avale: a) b2 / a2 b) 9c2 / b2 c) 0 d) 1 e) (c2 + b2) / 9a2 Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que: sen2q + cos2q = 1

20. 7) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que sec2a - 1 vale: a) tg2a b) cotg2a c) - 1 d) 0 e) 1

21. 8) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que cossec2a - 1 vale: a) tg2a b) cotg2a c) - 1 d) 0 e) 1

22. 9) Se sen a = b/c, então, calculando o valor de chegaremos a: a) a/c b) b/c c) a/b d) b/a e) 1 Procure sempre partir da relação fundamental Resposta na outra folha

24. Voltando para a parte teórica...

25. C b a ( ) B A c Lei dos Senos Seja um triângulo ABC qualquer temos :

26. C b a c ( ) B A Lei dos Cossenos Seja um triângulo ABC qualquer temos :

27. y 1 • • 270° 630° -90° -180° • • • • • • x 0° 360° 540° 720° 90° 180° 450° • • • -1 Gráficos das funções trigonométricasSenóide senx

28. y 1 • • • 180° 540° -180° • • • • • x 0° 720° -90° 630° 90° 450° 270° 360° • • • -1 Cossenóide cosx

29. y 450° 630° -90° • • • • • • • 270° • • 90° x 0° 180° 360° 540° Tangente tg x

30. y cossecx 1 270° 630° -90° -180° • x 0° 360° 540° 720° 90° 180° 450° -1 Cossecante • • • • • • • • • •

31. y secx 1 • • • 180° 540° -180° x • • • • • 0° 720° -90° 630° 90° 450° 270° 360° • • • -1 Secante

32. y cotg x 450° 630° 270° 90° • • • • • • • • • x 360° 540° 180° 0° 720° Continuação ...

33. Trigonometria Algumas Aplicações

34. Parte Prática O exemplo clássico da Sombra Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos. São eles: uma distância um ângulo Observe a seguir . . .

35. Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo a que vale 30°, podemos dizer então que: portanto:

36. Exemplo 01. Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?

37. Como poderíamos resolver essa situação? Como sugestão, faremos um “desenho” do que representa essa situação. Observemos: Comprimento total da rampa 6 metros 16,4 metros 2 metros q solo

38. Observemos o triângulo retângulo em destaque . . . Temos em relação ao ângulo q: hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros 16,4 metros hip c.o. q 2 metros c.a.

39. Como: hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros 16,4 metros hip c.o. q 2 metros c.a. Obs.: quando dizemos que arcsen a = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco, cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que a = 30°.

40. Em nosso exercício, chegamos a conclusão que: sen q = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ângulo q, com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então, devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de sua calculadora. Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7°. Encontramos assim, a inclinação da rampa!

41. Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes, portanto, podemos dizer que q é válido para ambos 16,4 metros hip c.o. 6 metros q 2 metros c.a. q = 7° Como: Chegamos a conclusão que o comprimento total da rampa é 49,2 metros

42. Exemplo 2 Mecânica Geral ou Trigonometria?

43. Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros assuntos. Abaixo segue um problema CLÁSSICO de física e trigonometria Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde F1 = 20N, F2 = 100N, F3 = 40N e F4 = 10N, você seria capaz de determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?

49. Observe que são problemas bem clássicos e resolvidos da mesma forma.