Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum im. ks. Zdzisława Peszkowskiego w Krążkowach • ID grupy: 98/47 • Opiekun: Małgorzata Zadka • Kompetencja: Matematyka i fizyka • Temat projektowy: Liczby wymierne • Semestr/rok szkolny: III/2010/2011

3. SYSTEM RZYMSKI

4. System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e. Nadaje się on do wygodnego zapisywania liczb, jest jednak niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych oraz nie pozwala na zapis ułamków.

5. Rzymianie do zapisywania liczb poza siedmioma znakami, które przetrwały do dziś, używali dodatkowo ligatur ↁ oznaczający 5000, oraz ↂ oznaczający 10000. Dodatkowo stosowano notację pozwalającą zapisywać większe liczby. Wpisanie pomiędzy dwa znaki liczby | oznaczało liczbę stukrotnie większą, a umieszczenie poziomej kreski nad liczbą oznaczało mnożenie przez 1000.

6. ZNAKI PODSTAWOWE W systemie rzymskim posługujemy się znakami: I, V, X, L, C, D, M, gdzie: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50 C = 100 D = 5 00 M = 1000

7. ZASADY ZAPISYWANIA LICZB Podczas zapisywania liczb w systemie rzymskim należy dążyć zawsze do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków, pamiętając przy tym o zasadach: 1.Obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki spośród: I, X, C lub M. 2. Obok siebie nie mogą stać dwa takie same znaki: V, L, D.

8. 3. Nie może być dwóch znaków oznaczających liczby mniejsze bezpośrednio przed znakiem oznaczającym liczbę większą. • 4. Znakami poprzedzającymi znak oznaczający większą liczbę mogą być tylko znaki: I, X, C.    

9. Zapis liczb w systemie rzymskim • 1 – I 6 – VI 10 – X 60 – LX • 2 – II 7 – VII 20 – XX 70 – LXX • 3 – III 8 – VIII 30 – XXX 80 – LXXX • 4 – IV 9 – IX 40 – XL 90 – XC • 5 – V 50 – L

10. 100 – C 600 – DC • 200 – CC 700 – DCC • 300 – CCC 800 – DCCC • 400 – CD 900 – CM • 500 – D 1000 – M Przykłady: 58 – LVIII 372 - CCCLXXII 1495 – MCDXCV

11. CIEKAWOSTKI John Wallis w 1655 roku zaproponował użycie symbolu ↀ, oznaczającego 1000, do oznaczania nieskończoności; później dla wygody ten symbol został zniekształcony do znaku ∞ i od tej pory jest on stosowany w tym właśnie znaczeniu.

12. ZAGADKI • Przestaw jeden patyczek tak, aby równość była prawdziwa. • 1. VIII – III = X • 2. VIII + II = V • 3. V + I = V • 4. X + II = VII • 5. V + II = II • 6. L + I = I

13. ODPOWIEDZI DO ZAGADEK 1. VII + III = X lub VIII + II = X • 2. VIII – III = V • 3. V – I = IV • 4. X – III = VII • 5. V – III = II • 6. I + I = II

14. Liczby arabskie • Cyfry arabskie, właściwie cyfry indyjskie europeizowane – cyfry stosowane obecnie powszechnie na całym świecie do zapisywania liczb. Są to kolejno znaki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oraz 9 i pierwotnie służyły do zapisu liczb w systemie dziesiętnym. Obecnie wykorzystywane również w pozostałych systemach (na przykład w szesnastkowym przy czym cyfry większe od 9 symbolizowane są kolejnymi literami alfabetu łacińskiego)

15. Etniczne warianty dziesiętnych cyfr arabsko-indyjskich

16. Liczby naturalne • Liczby naturalne – są to liczby dodatnie, całości, w których każda następna jest o jeden większa od poprzedniej np.: 0, 3, 6. Liczby naturalne należą do liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych.

17. Liczby całkowite – są to całości, liczby dodatnie i liczby do nich przeciwne np.: 2 i -2, 6 i -6, 7 i -7, -4 i 4. Liczby całkowite należą do liczb wymiernych i rzeczywistych. Liczby całkowite

18. Liczby wymierne • Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego nieskracalnego. • Przykłady:

19. Liczby niewymierne • Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb. • Przykłady:

20. Co to jest ułamek dziesiętny? • Ułamek dziesiętny – zapis liczby rzeczywistej w postaci ułamka, którego mianownik jest potęgą o wykładniku naturalnym liczby 10. • Ułamki dziesiętne zapisuje się bez kreski ułamkowej, za to specjalną funkcję pełni przecinek dziesiętny (w krajach anglosaskich kropka), który oddziela część całkowitą wartości bezwzględnej liczby od części ułamkowej tej wartości. Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie – części setne, trzecie – części tysięczne, czwarte – części dziesięciotysięczne itd.

21. Rozszerzanie i skracanie ułamków dziesiętnych (mnożenie i dzielenie) przez 10, 100, 1000 ... • Wynik mnożenia ułamka dziesiętnego przez 10, 100, 1000, … otrzymujemy przez przesunięcie przecinka w prawo o tyle miejsc, ile jest zer w liczbie, przez którą mnożymy. • Na przykład: • 2,3674 · 100 = 236,74 • 1000 · 0,34098 = 340,98

22. Wynik dzielenia ułamka dziesiętnego przez 10, 100, 1000, … otrzymujemy przez przesunięcie przecinka w lewo o tyle miejsc, ile jest zer w liczbie, przez którą dzielimy. • Na przykład: • 2,3 : 10000 = 0,00023 • 340,98 : 10 = 34,098

23. Dodawanie ułamków dziesiętnych • Dodawanie ułamków dziesiętnych wykonujemy podobnie, jak dodawanie pisemne liczb naturalnych. Liczby zapisujemy w ten sposób, aby przecinki znalazły się jeden pod drugim. • Na przykład: • 23,128 • + 51,620 • 74,748

24. Odejmowanie ułamków dziesiętnych • Odejmowanie ułamków dziesiętnych wykonujemy podobnie, jak odejmowanie pisemne liczb naturalnych. Liczby zapisujemy w ten sposób, aby przecinki znalazły się jeden pod drugim. • Na przykład:

25. Mnożenie ułamków dziesiętnych • Ułamki dziesiętne mnożymy tak, jak liczby naturalne, przy czym w iloczynie oddzielamy przecinkiem tyle końcowych cyfr, ile było razem cyfr po przecinku w obu czynnikach. • Na przykład: • 12,114 3 cyfry po przecinku • * 0,3 1 cyfra po przecinku • 3,6342 4 cyfry po przecinku

26. Dzielenie ułamków dziesiętnych Aby wykonać dzielenie dwóch ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym, należy dzielną i dzielnik pomnożyć przez 10n, gdzie n oznacza liczbę miejsc po przecinku w dzielniku, aby dzielnik stał się liczbą naturalną, a następnie wykonać dzielenie ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną. Na przykład: 9,92 : 0,8 = 99,2 : 8

27. Zaokrąglania ułamków dziesiętnych • Jeśli pierwsza z odrzuconych cyfr rozwinięcia dziesiętnego jest mniejsza od 5, to ostatnią zachowaną cyfrę zostawiamy bez zmian. Jest to przybliżenie z niedomiarem. Jeśli pierwsza z odrzuconych cyfr rozwinięcia dziesiętnego jest równa lub większa 5, to ostatnią zachowaną cyfrę zwiększamy o 1. Jest to przybliżenie z nadmiarem.

28. Na przykład: • 1,432 ≈ 1,43 ≈ 1,4 ≈ 1 • przybliżenie z niedomiarem • 1,765 ≈ 1,77 ≈ 1,8 ≈ 2 • przybliżenie z nadmiarem.

29. Co to jest ułamek zwykły ? • Ułamek – wyrażenie postaci  , gdzie a, nazywane licznikiem, oraz b, nazywane mianownikiem, są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową i zastępuje ona znak dzielenia. • Ułamek to inaczej część całości. • Jeżeli całą pizzę podzielimy na 12 to każda z nich jest

30. Rozszerzanie i skracanie ułamków • Aby rozszerzyć ułamek, należy pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę różną od zera. • Aby skrócić ułamek, należy podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę różną od zera.

32. Dodawanie ułamków zwykłych • Dodawania ułamków o tych samych mianownikach • Dodajemy liczniki, a mianownik przepisujemy. Jeśli licznik jest większy od mianownika, to wyłączamy całość.

33. Dodawania ułamków, gdy jeden ze składników jest liczbą całkowitą • Dodajemy najpierw liczby całkowite, a potem ułamki.

34. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach • Ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika - najmniejszego z możliwych.

35. ODEJMOWANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH • Jeżeli odejmujemy od siebie ułamki o takich samych mianownikach, to wystarczy, że odejmiemy do siebie liczniki ułamków (będzie to wówczas licznik wyniku, a mianownik się nie zmienia).

36. Ogólnie odejmowanie ułamków odbywa się poprzez sprowadzenie ich do wspólnego mianownika. Najprostszym sposobem jest zastosowanie poniższego wzoru:

37. Mnożenie ułamków • Aby pomnożyć liczbę naturalną przez ułamek (lub odwrotnie), mnożymy licznik ułamka przez tę liczbę, a mianownik zostawiamy bez zmian.

38. Jeżeli chcemy pomnożyć dwa ułamki, mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego.

39. Podczas mnożenia jeśli to możliwe można stosować skracanie ułamków. Należy pamiętać, aby skracając zawsze wybierać jedną liczbę z licznika, drugą z mianownika. • Jeżeli chcemy pomnożyć przez siebie dwie liczby mieszane, to obie zamieniamy na ułamki niewłaściwe i mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik.

40. Dzielenie ułamków • Aby podzielić dwie liczby należy dzielną pomnożyć przez odwrotność dzielnika.

41. Potęgowanie ułamków • Potęgując ułamki potęgujemy licznik i mianownik ułamka.

42. Pierwiastkowanie ułamków • Pierwiastkując ułamek pierwiastkujemy licznik i mianownik ułamka.

43. Ciekawostki z historii liczb • Kiedy wykonujemy obliczenia arytmetyczne, często posługujemy się ułamkami dziesiętnymi i trudno dziś wyobrazić sobie czasy, kiedy w użyciu były tylko ułamki zwykłe. Zapis dziesiętny liczb został opracowany w XV wieku przez perskiego matematyka Al-Kaszi, w jego dziele Miftah al-hisab (Klucz do arytmetyki).

44. Rozpowszechnienie ułamków dziesiętnych zawdzięczamy jednak holenderskiemu uczonemu Simonowi Stevinowi, który 1585 r. w swej pracy De Thiende (Dziesięcina) omówił istotę tych ułamków. Notacja Stevina odbiegała od obecnie stosowanej i była dość skomplikowana, została więc szybko zmieniona. Liczby z przecinkiem błyskawicznie przyjęły się i liczbę wymierną można było wyrazić już nie tylko w postaci ułamka zwykłego.

45. Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne • Aby przedstawić ułamek zwykły w postaci dziesiętnej, można podzielić jego licznik przez mianownik lub jeśli to możliwe rozszerzyć lub skrócić tak, aby jego mianownikiem była jedna z liczb 10, 100, 1000 itd., a następnie zapisać go bez kreski ułamkowej.

46. Przykład • Ułamek • Rozszerzamy mianownik do dziesięciu • Mnożymy licznik i mianownik razy 2. Powstaje nam • Zapisujemy to 0,4 (cztery dziesiąte), ponieważ pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte.

47. Zadania • Zamień ułamek: a) (pięć dwudziestych) b) (cztery dwieściepięćdziesiąte) na ułamek dziesiętny

48. Odpowiedzi do zadań a) – licznik i mianownik mnożymy razy 5. Powstaje Zapisujemy = 0,25 b) – licznik i mianownik mnożymy razy 4. Powstaje Zapisujemy = 0,016

49. Zamiana ułamków dziesiętnych na zwykłe • Aby zapisać ułamek dziesiętny w postaci ułamka zwykłego liczbę po przecinku wpisujemy w liczniku, a w mianowniku zapisujemy odpowiednią wielokrotność liczby 10 i doprowadzamy do najprostszej postaci np. • Przykłady:

50. Zamiana ułamków dziesiętnych okresowych na zwykłe • Aby zamienić ułamek dziesiętny okresowy na ułamek zwykły należy postępować według schematu:0,(81) = ?Przesuwamy przecinek do początku okresux = 0,8181... Mnożymy obustronnie przez taką liczbę, która spowoduje przesunięcie okresu do części całkowitej100x = 81,8181... Części po przecinku zredukują się wzajemnie100x - x = 81,8181... - 0,8181 Otrzymujemy równanie 99x = 81, które rozwiązujemy:x=81/99=9/11