Continuità delle funzioni

1. Continuità delle funzioni

2. Funzione continua in un punto Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo, aperto o chiuso, e sia x0un punto interno a questo intervallo; diciamo che la funzione f(x) è continua in x0 se risulta: lim f(x) = f(x0)

3. Deduzioni • Esiste il valore della funzione nel punto x0 • Esiste ed è finito il limite della funzione per • Il limite coincide con il valore assunto dalla funzione nel punto

4. Se conveniamo di porre x = x0 +h, con h variabile, la condizione di continuità si può esprimere nella forma: lim f(x0 +h) = f(x0)

5. Se una funzione f(x) è continua in un punto x0 il calcolo del limite per x tendente a x0 si ottiene ponendo nella funzione x = x0

6. Esempi di funzioni continue • La funzione f(x) = k è continua in ogni suo • punto; cioè qualunque sia x0 lim k = k

7. Esempi di funzioni continue b) La funzione f(x) = x è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0 lim x = x0

8. Esempi di funzioni continue c) La funzione f(x) = xn con n intero e positivo è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0 lim xn =

9. Esempi di funzioni continue d) Se la funzione f(x) è continua in x0 lo è pure la funzione k*f(x) con k costante; cioè

10. Esempi di funzioni continue e) Se le due funzioni f(x) e g(x) sono continue in x0 lo sono pure: f(x) + g(x) f(x) - g(x) f(x) * g(x)

11. Esempi di funzioni continue f) La funzione razionale fratta è continua in ogni x che non annulla il denominatore

12. Esempi di funzioni continue f) La funzione f(x) = È continua in ogni x se n è un intero positivo dispari È continua in ogni x>0 se n è un intero positivo pari

13. Esempi di funzioni continue f) La funzione f(x) = (con a>0) è continua in ogni x

14. Esempi di funzioni continue f) La funzione f(x) = è continua in ogni x>0

15. Esempi di funzioni continue f) Le funzioni f(x) =senx e g(x)=cosx sono continue in ogni x

16. Funzione continua in un intervallo Una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b] se è continua in ogni punto dell’intervallo.

17. Proprietà Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], essa assume nell’intervallo il massimo e il minimo assoluto. Teorema di Weirstrass

18. Proprietà Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], essa assume nell’intervallo ogni valore compreso tra il suo minimo e massimo assoluti. Teorema di Bolzano

19. Proprietà Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], e se agli estremi dell’intervallo assume valori di segno opposto, essa si annulla in almeno un punto interno all’intervallo. Teorema

20. Funzioni monotone Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a,b). Se per ogni coppia di punti x1e x2dell’intervallo, con x1 < x2 risulta: allora f(x) è crescente M O N O T O N A non decrescente decrescente non crescente

21. Funzioni limitate Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a,b). Se esiste un numero reale h tale che per ogni x dell’intervallo è f(x)<h allora f(x) è limitata superiormente Se esiste un numero reale k tale che per ogni x dell’intervallo è f(x)>k allora f(x) è limitata inferiormente I valori h e k possono non appartenere al codominio.