Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół Przyrodniczo-Politechnicznych w Marszewie • ID grupy: 97/88_MF_G1 • Opiekun: Dobromira Zdunek • Kompetencja: matematyczno- fizyczne • Temat projektowy: • Wzór Eulera dla wielościanów • Semestr/rok szkolny: • semestr III r. szk. 2010/2011

3. Cele projektu • Rozwój wiedzy • pogłębianie i utrwalanie wiadomości z działu: stereometria i planimetria, • pojęcia: wielościan, bryła platońska, wzór Eulera, dowody wzoru Eulera, • przykłady praktycznego zastosowania wiedzy matematycznej • Rozwój umiejętności • rozwijanie intuicji i wyobraźni geometrycznej, • poszukiwanie, selekcjonowanie i wykorzystanie zdobytych informacji, • zastosowanie wzoru Eulera, • interpretacja dowodów Wzoru Eulera (również nie w pełni formalnych z matematycznego punktu widzenia), • wykazanie, że istnieje dokładnie 5 brył platońskich (korzystając z twierdzenia Eulera). • zbadanie dla jakich trójek liczb naturalnych (W, K, S) istnieją wielościany wypukłe mające W wierzchołków, K krawędzi oraz S ścian ? • wyciąganie wniosków, stosowanie swojej wiedzy w praktyce, • Rozwój postaw • organizacja pracy własnej, współpraca w zespole i podejmowanie decyzji grupowych, odpowiedzialności za przydzielone zadania, przestrzeganie praw autorskich, planowanie działań, szacunek do pracy innych osób, poszukiwanie kompromisów.

4. Asyzmarszewa

5. Podział i zakres zadań • Grupa 1 w składzie: • Paulina Wodniczak, Sebastian Siuda, Agnieszka Waleryszek, Błażej Stachowiak • charakterystyka wielościanów i ich klasyfikacja, ogólna charakterystyka wielościanów wklęsłych, dowody wzoru Eulera, ogólne informacje o wielościanach półforemny, sprawdzić jak działa wzór Eulera dla dowolnego wielościanu półforemnego, poszukać przykładów wielościanów w naszym otoczeniu, wyszukać informacji o bryłach niemożliwych, analiza i selekcja zebranych materiałów, tworzenie slajdów, zaprezentowanie projektu. • Grupa 2 w składzie: • Robert Jaźwiński, Eryka Józefiak, Mateusz Frąckowiak, Danuta Mikiłajczyk, Magdalena Aleksandrowicz • opis i ogólna charakterystyka graniastosłupów, wyszukać i opracować informacje o L. Eulerze oraz twierdzeniu Eulera, udowodnić, że istnieje dokładnie pięć wielościanów foremnych, sprawdzić czy istnieją wielościany o podanych cechach, poszukać przykładów wielościanów w malarstwie, sztuce, wyszukać informacje n/t wielościanów niewypukłych, które są odpowiednikami brył platońskich, analiza i selekcja zebranych materiałów, tworzenie slajdów, przygotowanie prezentacji od strony technicznej

6. Podział i zakres zadań • Grupa 3 w składzie: • Katarzyna Głód, Roman Abramowicz Dariusz Rogacki, Anna Szymczak, • wyszukać , zinterpretować podstawowe pojęcia z działu stereometrii (dot. wielościanów), scharakteryzować ostrosłupy, przedstawić historie brył platońskich,sprawdzić czy wzór Eulera jest słuszny dla każdego wielościanu niewypukłego, rozwiązać zadania typu „wykaż, że..” z wykorzystaniem wzór Eulera, poszukać różnych ciekawostek dotyczących wielościanów i funkcjonowania wzoru Eulera, analiza i selekcja zebranych materiałów, tworzenie slajdów, zdjęcia z zajęć i umieszczanie ich w galerii zdjęć, przygotowanie prezentacji -składanie poszczególnych części w całość. • Grupa 4 w składzie: • Monika Nowacka, Paulina Szalczyk, Mateusz Straszewski, Piotr Zięciak, Tomasz Woźniak • opis i ogólna charakterystyka wielościanów foremnych, interpretacja zależności: twierdzenie Eulera a bryły platońskie, sprawdzić jak funkcjonuje wzór Eulera dla dowolnego wielościanu wypukłego, obliczyć liczby wierzchołków, ścian i krawędzi wielościanu stosując wzór Eulera, poszukać przykładów wielościanów w architekturze, analiza i selekcja zebranych materiałów, tworzenie slajdów, prowadzenie e-kroniki.

7. DOWODY WZORU EULERA O WIELOŚCIANACH WZÓR EULERA A BRYŁY PLATOŃSKIE WIELOŚCIANY ARCHIMEDESOWE WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW WIELOŚCIANY ZADANIA Wzór Eulera dla wielościanów CIEKAWOSTKI WIELOŚCIANY WOKÓŁ NAS NASZ PRACA NAD PROJEKTEM W OBIEKTYWIE

8. Wielościany

9. Wielościan • Definicje • Stereometria jest działem geometrii euklidesowej, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. • Wielościan- część przestrzeni (bryła) ograniczona ze wszystkich stron wielokątami, leżącymi w różnych płaszczyznach w taki sposób, że każdy bok jest wspólny dla dwóch wielokątów wraz z tymi wielokątami. • Wielościan wypukły - wielościan będący bryłą wypukłą, czyli taki, że dowolny odcinek o końcach w wielościanie zawiera się w nim cały. • Bryła nie spełniającą tego warunku nazywa się bryłą wklęsłą. Modele

10. Graniastosłupy • Graniastosłupemnazywamy taki wielościan, którego dwie ściany, zwane podstawami, są wielokątami przystającymi leżącymi na płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są równoległobokami. Modele

11. Opis graniastosłupa Charakterystyka graniastosłupa n-kątnego ściana boczna wierzchołek krawędź boczna krawędź podstawy podstawa n + 2 ilość ścian (n ścian bocznych i 2 podstawy) 3nilość krawędzi (n krawędzi bocznych i 2n krawędzi podstaw) 2nilość wierzchołków

12. Rodzaje graniastosłupów Graniastosłupy Proste ściany boczne są prostokątami (są prostopadłe do podstaw) Pochyłe ściany boczne są równoległobokami(nie są prostopadłe do podstaw) Graniastosłupy proste – szczególne przypadki prostopadłościan– wszystkie jego ściany są prostokątami sześcian - wszystkie jego ściany są kwadratami

13. Ostrosłupy • Ostrosłupemnazywamy wielościan, którego jedną ze ścian, zwaną podstawą, jest wielokąt, a pozostałe ściany są trójkątami posiadającymi jeden wspólny wierzchołek, zwany wierzchołkiem ostrosłupa. Trójkąty te nazywamy ścianami bocznymi. Modele

14. Opis ostrosłupa Charakterystyka ostrosłupa n-kątnego wierzchołek krawędź boczna ściana boczna krawędź podstawy podstawa n + 1ilość ścian (n ścian bocznych i 1 podstawa) 2nilość krawędzi (n krawędzi bocznych i n krawędzi podstaw) n + 1ilość wierzchołków Ostrosłupy - szczególne przypadki Czworościan foremny - wszystkie jego ściany są trójkątami równobocznymi Czworościan - wszystkie jego ściany są trójkątami

15. Rodzaje ostrosłupów Ostrosłup prawidłowy jest to ostrosłup,którego podstawą jest wielokąt foremny, a ściany boczne są jednakowymi trójkątami równoramiennymi Ostrosłupy Pochyłe Proste

16. Przykłady przekrojów wielościanów • Przekroje graniastosłupów • Przekroje ostrosłupów

17. Wielościany niewypukłe Bryła nie spełniającą warunku wypukłości nazywa się bryłą wklęsłą. Przykłady Źródło: http://www.interklasa.pl/ • graniastosłup prawidłowy pięciokątny  gwiaździsty • ośmiowklęsły ośmiościan • - wklęsły wielościan jednorodny, powstaje z ośmiościanu foremnego. powrót

18. WZÓR EULERA Leonhard Euler szwajcarski matematyk i fizyk dokonał wielu istotnych odkryć. 3/5 jego prac dotyczyło zagadnień matematycznych, pozostałe poświęcone były zastosowaniu matematyki w fizyce, muzyce, balistyce • W 1752 roku, dokonał zadziwiającego odkrycia odnośnie związku jaki jest pomiędzy liczbami S, K, W, które oznaczają odpowiednio: ściany, krawędzie i wierzchołki w dowolnym wielościanie wypukłym. Związek ten nazywamy wzorem Eulera dla wielościanów i zapisuje się go w postaci • S + W = K+2 • lub • S + W - K= 2 • Wzór Eulera prawdziwy jest także dla niektórych wielościanów niewypukłych. WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW

19. Jak funkcjonujewzór Eulera dla dowolnego wielościanu wypukłego

20. Czy wzór Eulera • jest spełniony dla każdego graniastosłupa i ostrosłupa

21. oznaczmy: n liczba krawędzi podstawy w ostrosłupiemamy: S=n+1 W=n+1 K=2n wtedy: S+W- K=(n+1)+(n+1)- 2n =2 np. w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym mamy: S=6+1=7 W=6 +1= 7 K=2•6=12 wtedy: S+W-K=7+7-12 = 2 • w graniastosłupie mamy: S=n+2 W=2n K=3n wtedy: S + W- K=(n+2)+2n-3n=2 np. w graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym mamy: S=6+2=8 W=2•6=12 K=3•6=18 wtedy: S+W-K=9+12-18 = 2

22. Wykazaliśmy, że Twierdzenie Eulera: • „ W każdym wielościanie suma liczb ścian (S) i liczba wierzchołków (W) równa się liczbie krawędzi (K) powiększonej o 2” • jest spełnione dla każdego graniastosłupa i ostrosłupa.

23. Czy rzeczywiście wzór Eulera jest słuszny dla każdego wielościanu • Mamy tutaj 16 ścian (8 prostokątów i 8 trapezów), 16 wierzchołków i 32 krawędzie. • A zatem W- K+ S =16 − 32 + 16 = 0 • Wielościan ma dziurę , ale innego typu niż w przypadku pierwszym. • A zatem W- K+ S =16-24+12=4 • Wielościany są wypukłe, podana w twierdzeniu Eulera równość nie zachodzi. Rozważmy wielościan który ma „dziurę na wylot”. a) W = 16, K = 32, S = 16 b) W = 16, K = 32, S = 16

24. Czy wzór Eulera jest słuszny dla każdego wielościanu c) • Jedna ze ścian jest pierścieniem (czyli nie jest homeomorficzna z kołem). Mamy tutaj 11 ścian, 16 wierzchołków i 24 krawędzie. • A zatem W- K+ S =16 − 24 + 11 =3 W = 16, K = 24, S = 11 • Wnioski • Twierdzenie Eulera prawdziwe jest również dla wielu wielościanów innych niż wypukłe. Wystarczy założyć, żeby wielościan był homeomorficzny z kulą, a każda z jego ścian homeomorficzna z kołem. • Dla wielościanów których wszystkie ściany są wielokątami liczba W- K+ S nazywa się charakterystyką Eulera. • W 1813 roku Simon Antoine Jean Lhuilier udowodnił, ze dla wielościanów dziurami” wzór Eulera przyjmuje postać W − K + S = 2 − 2g gdzie g jest liczba “dziur”. powrót

25. Wzór Eulera • a bryły platońskie

26. Właściwości • Szczególnymi przykładami wielościanów są wielościany foremne. • Wielościan foremny - wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian. • Istnieje dokładnie pięć wypukłych wielościanów foremnych. Noszą one wspólną nazwę brył platońskich. Modele

27. Elementy wielościanów foremnych Źródło: http://pl.wikipedia.org/

28. Dlaczego „bryły platońskie” •  To właśnie Platon wyobrażał sobie, że wszechświat tworzą cztery elementy: ogień, ziemia, woda i powietrze, a każda z tych żywiołów zbudowany jest z cząsteczek, które mają kształt wielościanów foremnych. U Platona cząsteczki ognia mają kształt czworościanów, sześcian symbolizował ziemię, ośmiościan symbolizował powietrze, dwudziestościan symbolizował wodę, dwunastościan miał symbolizować eter (wg filozofów była to substancja wypełniająca cały wszechświat). Źródło:http://gnosis.art.pl  W starożytności bryłom tym przypisywano też pięć znanych wówczas planet : czworościan był uosobieniem planety Jowisz, sześcian- Saturn, ośmiościan – Merkury, dwunastościan - Mars, dwudziestościan - Wenus. - stąd do dziś nazwa "wielościany kosmiczne".  W XVII wieku Kepler użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego - układu słonecznego. Bryły te były umieszczone wewnątrz sfery reprezentującej orbitę Saturna.  Dziś już dzięki Euklidesowi możemy dowieść, że jest ich dokładnie pięć. Źródło:http://en.wikipedia.org/

29. Dlaczego wielościanów foremnych jest tylko 5

30. O liczbie wielościanów foremnych możemy przekonać się z twierdzenia Eulera. • Oznaczmy: • W - ilość wszystkich wierzchołków wielościanu, W ≥ 4, • K - ilość jego wszystkich krawędzi, K ≥ 6, • S - ilość ścian, S ≥ 4 • p = ilość krawędzi w jednej ścianie, , p ≥ 3, • q = ilość krawędzi przy jednym wierzchołku q ≥ 3. . • Każda krawędź należy do dwóch ścian i łączy dwa wierzchołki. Stąd więc wynikają dwie zależności: Sp=2K     qW=2K • Stąd : S= 2K/p, W = 2K/q, • podstawiając do równania Eulera S + W - K = 2  dla wielościanów daje zależność: 2K/q +2K/p - K = 2 , która po podzieleniu stronami przez 2K daje równanie: 1/p +1/q= 1/2+ 1/K • Ono oznacza, że 1/p + 1/q > 1/2.  Ten związek nie spełniają dowolne liczby naturalne p i q. Wybierając wszystkie pary  p ≥ 3,q ≥ 3 otrzymujemy tylko pary: (3,3), (3,4), (4,3), (3,5) i (5,3). Dla p ≥ 6 lub q ≥ 6 związek ten już nie zachodzi. • Podstawiając wyznaczone pary liczb (p,q) do wzorów na W, S i K otrzymujemy wartości określające pięć wielościanów foremnych

31. wnioski • liczbami ścian wielościanu foremnego mogą być tylko liczby 4, 6, 8, 12, 20. • jedynymi wielokątami foremnymi, które mogą być ścianami brył foremnych są te dla których liczba boków b {3, 4, 5}. • 3 jest najmniejszą liczbą, dla której mamy wielokąt, • dla b = 6 nie jesteśmy już w stanie uzyskać bryły. Sześciokąt foremny ma kąt wewnętrzny 120, a skoro w dowolnym wierzchołku bryły spotkać się muszą co najmniej z = 3 ściany, gdyż 120 × 3 = 360. • dla b = 4, 5 w jednym wierzchołku mogą sie spotkać jedynie z = 3 ściany, • dla b = 3 mogą sie spotkać 3, 4, 5 ściany, czyli z  {3, 4, 5}. • w × z = b × s • 2k = b × s, podstawiając te wyniki do wzoru Eulera dostajemy : • s = s(b, z) = 4z/ 2z + 2b − bz • rozważając wszystkie przypadki mamy: • s(3, 3) = 4 s(4, 3) = 6 s(3, 4) = 8 s(3, 5) = 20 s(5, 3) = 12 • . powrót

32. Wielościany archimedesowea platońskie • Wielościan półforemny zwany też archimedesowym(od imienia Archimedesa) to wielościan, którego ściany są wielokątami foremnymi, a w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian, jednak poszczególne ściany różnią się od siebie. • Powstają one z wielościanów platońskich przez obcięcie płaszczyzną ich naroży. Tym sposobem w ich narożach powstają wielokąty foremne. Ilość krawędzi w ścianie wielokąta ściętego jest dwukrotnie większa, niż ilość krawędzi ściany wielościanu bazowego, z którego powstał. czworościan ścięty S=8 (4 trójkąty i 4 sześciokąty) K=18 W=12 Wzór Eulera S + W - K= 2 8+12-18 = 2 (podana w tw. Eulera równość zachodzi). Źródło: http://www.matematyka.wroc.pl

33. Wielościanyarchimedesowe • Jeśli płaszczyzny przecięć stykają się ze sobą w środku każdej krawędzi, wówczas ściany nowoutworzonego wielościanu są tego samego rodzaju, co ściany wielościanu bazowego. • np. gdy odetniemy naroża sześcianu do połowy jego krawędzi, to ścięcia będą trójkątami równobocznymi, ale pozostałe ściany dalej będą kwadratami. • Źródło: http://www.matematyka.wroc.pl/ • Istnieje 13 wielościanów półforemnych (15 jeśli liczyć odbicia lustrzane dwóch spośród nich) oraz dwie nieskończone serie. sześcio- ośmiościan S= 14  (8 trójkątów i 6 kwadratów) K=24 W=12 Wzór Eulera S + W - K= 2 14+12-24 = 2 (podana w tw. Eulera równość zachodzi). powrót

34. S + W - K= 2 • Dowody wzoru Eulera o wielościanach

35. 1. Wzór Eulera i balony Rysujmy na baloniku kropki i kreski, trzymając się następujących reguł: • końce każdej z kresek oznaczone są kropkami; • każde dwie kropki połączone są linią złożoną z kresek; • kreski się nie przecinają. W trakcie rysowania powstają na baloniku ograniczone kreskami pola. Interesuje nas ile wynosi wartość następującego wyrażenia: E = (liczba kropek) − (liczba kresek) + (liczba pól). Rysujmy najpierw jedną kropkę na baloniku i obliczmy E. Mamy jedną kropkę, jedno duże pole (powierzchnia balonu) i zero kresek, więc E = 1 − 0 + 1 = 2. Rysujemy dalej: kreskę i zakończymy ją kropką. Wartość liczby E nie zmieni się: E = (1 + 1) − 1 + 1 = 2.

36. Wzór Eulera i balony Następnie: • albo rysujemy kreskę ze starą kropką na końcu i wtedy też wartość E nie ulegnie zmianie, gdyż powstanie nowe pole i otrzymamy E = (1 + 1) −(1 + 1) +(1 + 1) = 2. kropki kreski pola • albo rysujemy kreskę z nową kropką na końcu. Wartość E nie zmieni się • E = (1 + 1 + 1) −(1 + 1) + (1) = 2, • kropki kreski pola Łatwo uwierzyć, że jakkolwiek byśmy kombinowali, to trzymając się reguł gry, nie zmienimy wartości liczby E. Z naszych rozważań wynika zatem następujące Twierdzenie. Jeżeli spójny rysunek złożony z Kkresek i W kropek na końcach kresek namalowany na baloniku wycina na nim S pól, to liczba E = W − K + S jest równa 2.

37. Wzór Eulera i balony • Zliczmy ściany, wierzchołki i krawędzie sześcianu. • Następnie obliczmy tzw. liczbę Eulera • E = (liczba wierzchołków) − (liczba krawędzi) + (liczba ścian). E = 2 • Gdyby nasz model powierzchni sześcianu zrobiony były z odpowiedniej gumy, to po nadmuchaniu takiego sześcianu uzyskalibyśmy balon z rysunkiem złożonym z kropek (wierzchołków), kresek (krawędzi) i pól (ścian). Z poprzedniego twierdzenia uzyskujemy zatem nowe twierdzenie o wielościanach • S + W - K= 2 cnw.

38. 2. Dowód twierdzenie Eulera • Jeżeli wykonany z jakiegoś materiału (np. z tektury) wielościan rozetniemy wzdłuż krawędzi, tak jednak, aby jedna ściana przylegała do sąsiedniej, to możemy całą bryłę rozwinąć na płaszczyźnie. • Otrzymamy szereg wielokątów o bokach do siebie parami przystających. • Rozpatrzmy jeden z tych wielokątów, tj. jedną ze ścian • wtedy S = 1, • W = K (liczba boków tego wielokąta, czyli liczba krawędzi będzie równa liczbie wierzchołków), • a zatem otrzymujemy zależność S+W=K+1 • Rozważmy dwa przyległe do siebie wielokąty łącznie. • Będzie wówczas S = 2 • K = W + 1 ponieważ te wielokąty będą miały jeden bok wspólny i dwa wierzchołki wspólne, więc liczba krawędzi będzie o 1 większa niż wierzchołków, • a więc będzie znowu S + W = K + 1.

39. Dowód twierdzenie Eulera • Dołączając trzeci wielokąt, będzie wówczas • S = 3, • W = K -2 • zależność poprzednio otrzymana pozostanie bez zmiany tzn. • S + W = K + 1. • Postępując w ten sposób dalej, stwierdzić możemy, że • - wciąż zależność nasza będzie taka sama, aż dopiero kiedy dołączymy ostatni wielokąt i wszystkie wielokąty zamkniemy, tworząc dany wielościan, • - spostrzeżemy, że przez ostatnie dołączenie liczba krawędzi i wierzchołków pozostanie bez zmiany przybędzie tylko jedna ściana, • a zatem będzie ostatecznie S+W=K+2cnw.

40. 3. Dowód wzoru Eulera • Jeśli wielościan W poddamy dowolnemu przekształceniu f to otrzymany zbiór W’= f(W) może już nie być wielościanem, ale możemy mówić o jego ”ścianach”, ”krawędziach” i ”wierzchołkach”, przyjmując, że są to obrazy, odpowiednio, ścian, krawędzi i wierzchołków W. Przy takiej umowie liczby ”ścian”, ”krawędzi” i ”wierzchołków” dla W’ są takie same jak dla W. • Przykładowo: • W: f(W):

41. Dowód wzoru Eulera • Złóżmy, że powierzchnia S wielościanu W jest cienką, elastyczną powłoką, np. gumową, wewnątrz pustą - a przekształcenie f jest deformacją W na kule W’ otrzymaną przez nadmuchiwanie powłoki S. Kula W’ nie jest wielościanem, ale może być poglądowo interpretowana jako globus i wtedy jej powierzchnia S’ jest mapą na globusie. • Przykładowo: • sześcian: nadmuchany sześcian:

42. Dowód wzoru Eulera • Kraje na mapie S' to obszary powierzchni kuli będące obrazami ścian W, granice krajów są obrazami krawędzi, zaś punkty rozgałęzienia granic (wierzchołki mapy) są obrazami wierzchołków W. Mapa ta zawiera więc wszelkie informacje potrzebne do dowodu wzoru Eulera. • Wykonano to w ten sposób, że rozcięto sferę wzdłuż pewnej krzywej zawartej wewnątrz jednego ustalonego kraju. Obrazem S' jest więc płaska mapa S'', na której jeden kraj otacza wszystkie inne. • krzywa: mapa: S”

43. zabawny dowód wzoru Eulera • Wyobraźmy sobie, że mapę S'' odtworzono w terenie w taki sposób, że krajem zewnętrznym jest pewien zbiornik wody (np. staw), a kraje wewnętrzne są poletkami rozgrodzonymi groblami. Poletka tworzą wyspę na stawie - i to jedyną wyspę - bo są obrazem części powierzchni wielościanu W, otrzymanej przez usunięcie jednej ściany (tej, której obrazem w realizacji mapy jest staw), a ta jest spójna. • Załóżmy, że przez przerwanie pewnych grobli zalaliśmy wodą wszystkie poletka przerywając przy tym najmniejszą liczbę grobli. Obliczenie liczby A grobli przerwanych i liczby B grobli nie przerwanych doprowadzi nas do wzoru Eulera. A + B = k, bo wszystkich grobli jest tyle ile granic, więc także tyle, ile krawędzi w W. Poletek przeznaczonych do zalania było s - 1. Przerwanie jednej grobli pozwala zalać nie więcej niż jedno poletko, a każde przerwanie grobli musi powodować zalanie nowego poletka - zatem A = s - 1.

44. zastosowanie stawów i grobli w stereometrii • W celu obliczenia B zauważmy, że z ustalonego wierzchołka P można przejść po nienaruszonych groblach do dowolnego innego wierzchołka Q, przy czym można to zrobić tylko na jeden sposób, jeśli założyć, że żaden odcinek drogi nie jest przebywany więcej niż jeden raz (tzn. "tam i z powrotem"). Przejście z P do Q było możliwe przed rozpoczęciem nawadniania, a więc gdyby po zakończeniu było niemożliwe - to musiałaby istnieć grobla, która przed przerwaniem była z obu stron zalana wodą. Przerwanie takiej grobli nie zwiększyłoby liczby zalanych poletek, a więc byłoby sprzeczne z naszym założeniem.

45. zastosowanie stawów i grobli w stereometrii • Gdyby istniały dwie różne drogi po nienaruszonych groblach, łączące P i Q, to musiałaby istnieć droga zamknięta utworzona z tych grobli, a więc ograniczony przez nią zespół poletek nie byłby zalany. Widzimy więc, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między nie przerwanymi groblami a wierzchołkami różnymi od P, zatem B = w - 1. • Stąd • k = A + B = s - 1 + w - 1 = s + w - 2, • czyli udowodniliśmy wzór Eulera • s - k + w = 2. cnw. powrót

46. Zadania

47. Wykazać, że  wielościan wypukły nie może mieć dokładnie siedem krawędzi. • Rozwiązanie: • Wykorzystujemy wzór Eulera: W-K+S=2 • Niech K=7, wówczas W+S=5. • Musi być spełniony warunek: W ≥ 4 i S ≥ 4. • A zatem jedynymi możliwymi rozwiązaniami są: • 1)   W=4 i S=5 • 2)   W=5 i S=4 • Takie sytuacje są niemożliwe. • Ad 1) jeśli wielościan ma 4 wierzchołki, to musi to być ostrosłup trójkątny i wówczas liczba ścian musi być równa 4, co wyklucza pierwszy przypadek. • Ad2) jeśli liczba ścian wynosi 4 to wówczas wielościan będzie ostrosłupem trójkątnym a ten ma 4 wierzchołki, co wyklucza nam przypadek drugi. Zadanie 1

48. Oblicz wartość sumy S+W-K dla: • a) ostrosłupa, którego podstawą jest wielokąt o bokach m.b) wielościanu powstałego przez sklejenie podstawami graniastosłupa i ostrosłupa (podstawami są także wielokąty o m bokach) • Rozwiązanie: odp a) ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt o m bokach ma: • m+1 wierzchołków, • 2m krawędzi i • m+1 ścian. • Zatem S+W-K = (m+1)+(m+1)-2m = 2m+2-2m = 2 • odp b) taki wielościan ma: • 2m+1 wierzchołków, • 2m+1 ścian • 4m wierzchołków. • Zatem S+W -K= (2m+1)+(2m+1)-4m = 2 Zadanie 2

49. W pewnym graniastosłupie liczba ścian jest o 5 mniejsza od liczby wierzchołków. Oblicz liczby wierzchołków, ścian i krawędzi tego graniastosłupa • Rozwiązanie: • Z treści zadania W = S+ 5 • korzystamy ze wzoru Eulera S + W = K + 2 • liczba krawędzi K=3n n – liczba boków podstawy • stąd n= S-2 • K=3(S-2) K= 3S- 6 • podstawiając do pierwszego równania W i K otrzymujemy równanie: • S+ S+ 5 = 3S-6+2 • 2S-3S = -4-5 • -S = -9 • Stąd S=9 W=14 K=21 Zadanie 3

50. a) Czy istnieje wielościan o 10 ścianach i 12 wierzchołkach • Odp. Tak, np. od ośmiościanu foremnego odcinamy dwa ostrosłupy przy przeciwległych wierzchołkach i otrzymujemy bryłę przedstawioną na rysunku obok • b) Ile krawędzi ma wielościan wypukły o 10 ścianach i 12 wierzchołkach • Odp. S + W - K= 2 • S + W – 2 = K K = 10+12-2= 20 • c) Podaj liczbę ścian, wierzchołków i krawędzi graniastosłupa, którego podstawą jest n-kąt. Sprawdź, że liczby spełniają wzór Eulera. • Odp. S = n + 2, W = 2n, K = 3n • S + W - K= 2 • n + 2 + 2n- 3n = 2 cnw. Zadanie 4