Trabajo y energía

1. Trabajo y energía

2. Trabajo (W). • En el caso de que la fuerza sea constante W es el producto escalar de la fuerza (F)por el vector desplazamiento (r). • Es por tanto un escalar (un número). •     W = F · r =|F|·|r| · cos  • siendo “” el ángulo que forman ambos vectores. •  Si F y r tienen la misma dirección y sentido, entonces W = F ·r

3. Trabajo y unidades • En el caso de que la fuerza se aplique en la dirección y sentido del desplazamiento, cos  = 1 •  De donde W = |F| ·|r| •  En cambio, si Fyrson perpendiculares cos  = 0 y el trabajo es nulo. • La unidad de trabajo en el Sistema Internacional es: • Joule (J) = N · m = kg · m2/s2

4. Ejemplo:Se tira de un furgón de 20 kg con una cuerda horizontal que forma un ángulo de 30º con la dirección de la vía, ejerciendo una fuerza F de 50 N a lo largo de una distancia de 50 m. La fuerza de rozamiento entre la vía y las ruedas es una décima parte del peso. Calcular el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el furgón. W = F · x ·cos 30º = 50 N · 50 m · 0,866 = 2165 J WR = FR ·x ·cos 180º = 19,6 N ·50 m ·(–1) = –980 J WP = P · x ·cos 270º = 196 N · 50 m · (0) = 0 WN = N · x ·cos 90º = 196 N · 50 m · (0) = 0 Wtotal = 2165 J – 980 J = 1185 J

5. Significado gráfico del trabajo con fuerza constante F (N) • Si representamos “F” en ordenadas y “x” en abscisas, podemos comprobar que “W” es el área del paralelogramo cuya base es “x” y cuya altura es la “F” constante. W F x x0 x x (m)

6. x F x0 x Definición integral del trabajo.  • En el caso de que la fuerza no sea constante (p.e. fuerzas elásticas), la definición del trabajo es más compleja. • Habría que considerar el trabajo como una suma de mucho trabajos en los que se pudiera considerar que al ser el desplazamiento muy pequeño F sería constante. •  W =  r0F · r El trabajo puede obte-nerse calculando el área comprendido entre la curva y el eje de abscisas, y las ordenadas que delimitan el desplazamiento.

7. Trabajo elástico • Supongamos que un resorte actúa en la dirección del eje “x” con lo que habrá que realizar una fuerza igual y de sentido contrario a la fuerza elástica para estirar el resorte (– k · x) : •  F = k · x • Fdepende, pues. de “x” y no es constante.

8. Significado gráfico del trabajo elástico F (N) • Si representamos “F” en ordenadas y “x” en abscisas, podemos comprobar que “W” es el área del triángulo cuya base es “x” y cuya altura es la “Fmáx”. • W = ½ Fmáx· x= ½ k · x2 x Fmáx W x x (m)

9. Energía • Es la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo. • A su vez, el trabajo es capaz de aumentar la energía de un sistema. • Se considera W>0 aquel que aumente la energía del sistema. • Se considera W<0 aquel que disminuye la energía del sistema.

10. Tipos de energía • Mecánica: • Cinética. • Potencial. • Térmica. • Eléctrica. • Nuclear. • Química. • Luminosa. • ...

11. N F Fy Fr Fx P Trabajo y energía cinética. • Imaginemos que tiramos de una caja con una fuerza Fconstante que forma una ángulo “” con el suelo. • Como consecuencia de la misma la caja experimenta una aceleración.   F = m · a Fx – Fr = m · ax N + Fy – P = 0; ay =0

12. Trabajo y energía cinética (cont). • Como el desplazamiento sucede en el eje x • W = F · x = (Fx – Fr )·(x – x0) = m·a·(x – x0) • Aplicando las ecuaciones x=f(t) y v= f(t) en el MRUA: x–x0 = (v0 +½ a ·t) ·t ; a = (v – v0)/ t • (v – v0) (v – v0) W = m· ———— · v0 + ———— ·t ·t = t 2 t • W = m· (v – v0) · [v0 +½ (v – v0)] = • ½ m· (v – v0) · (v + v0) = ½ mv2 –½ mv02

13. Trabajo y energía cinética (cont). • A la expresión ½ m v2 la llamaremos “energía cinética” (Ec),con lo que el trabajo realizado se ha invertido en aumentar energía cinética del sistema. W = ½ mv2 – ½ mv02 = Ec– Eco = Ec que también se conoce como “Teorema de las fuerzas vivas”

14. Trabajo y energía potencial gravitatoria. • El trabajo producido por algunos tipos de fuerza se emplea en variar otro tipo de energía llamada “energía potencial gravitatoria” o simplemente “energía potencial” . • Si subimos una caja al piso de arriba aplicamos una fuerza igual en módulo al peso de la misma. Como  F= 0 no se produce aceleración pero al realizar un trabajo se ha aumentado la energía del sistema.

15. Trabajo y energía potencial (cont). • W=|F|·|y| · cos 0º = m·g ·(h – h0) • A la expresión “m g h” se llama “energía potencial” (Ep). W = m · g · h – m · g · h0 = Ep– Ep0 = Ep • Al soltar la caja la energía acumulada en forma de energía potencial se transforma en cinética.

16. Ejemplo:Tenemos un cuerpo en lo alto de un plano inclinado. Comprueba que el trabajo que realiza el peso es el mismo cuando el cuerpo cae verticalmente que cuando cae deslizándose sin rozamiento a lo largo del plano inclinado. WPa = |P|·|y| · cos 0º= m·g ·h  WPb = |P|· |l| ·cos (90º – ) Como: h cos (90º – ) = — l WPb = m ·g ·h con lo que:WPa = WPb 90º -  l h 

17. Energía potencial elástica (Epe) • El trabajo realizado al estirar un resorte (½ k· x2) se almacena en forma de energía potencial elástica cuyo valor es precisamente: Epe = ½ k · x2 • siendo “x” lo que se ha estirado el resorte.

18. Trabajo de rozamiento. Energía perdida. • ¿Qué ocurre si arrastramos un objeto por una superficie con velocidad constante? •   Si v= cte  a = 0   F= 0 • de donde se deduce que la fuerza aplicada es igual a la de rozamiento pero de sentido opuesto. • WR = – d · m · g · cos  · r • La Eperdida = |WR|

19. Energía mecánica. Principio de conservación. • Se llama “energía mecánica” (EM)a la suma de las energía cinética y potencial. EM = Ec + Ep = ½ mv2 + m g h • Principio de conservación de la energía mecánica: “Si no se aplica ninguna fuerza exterior y no hay rozamiento la energía mecánica se conserva”. • Lógicamente, si hay rozamiento: EMfinal = EM0– Eperdida

20. Demostración del principio de conservación de la EM. • Dejemos caer un objeto desde una altura “h0”. La única fuerza existente es el peso. • Inicialmente, v0 = 0  Ec0 = 0 altura = h0  Ep0 = m g h0 • EM0 = Ec0 + Ep0 = mgh0 • Al cabo de un tiempo “t” el objeto habrá caído con MRUA y se encontrará a una altura “h” y llevará una velocidad “v”: • h = h0 – ½ g t2 ; v = – g t

21. Demostración del principio de conservación de la EM. (cont). • h = h0 – ½ g t2 ; v = – g t • EM = Ec+Ep = ½ mv2 + m g h = • ½ m(– g t)2 + mg(h0– ½ g t2) = • ½ mg2 t2 + mgh0– ½ mg2 t2 = mgh0 • Es decir, la energía mecánica no ha variado, pues la Ec ha aumentado lo mismo que ha disminuido Ep

22. Ejemplo:Lanzamos verticalmente una pelota con una velocidad de 10 m/s. Demostrar cuál será la altura máxima usando el principio de conservación de la energía mecánica. Ec = ½ m v2 = ½ m·(10 m/s)2 = 50 m m2/s2 Como la energía cinética se transformará en potencial Ep = m g h = 50 m m2/s2 Eliminando la masa “m” en ambos miembros y despejando “h” 50 m2/s2h = ———— =5,1 m 9,8 m/s2

23. Ejercicio:Lanzamos una pelota con una velocidadde 10 m/s con un ángulo de 30º con respecto a la horizontal. Demostrar cuál será la altura máxima usando el principio de conservación de la energía mecánica. Ec0 = ½ m v02 = ½ m·(10 m/s)2 = 50 m m2/s2 En el punto más alto sólo existirá “vx = v0·cos 30 º” –Ec1 = ½ m v12 = ½ m·[(3/2)·10 m/s)]2 Ec1 = 37,5 m m2/s2. Igualmente; Ep1 = m ·g ·h Igualando EM0 = EM1: 50 m m2/s2 = 37,5 m m2/s2 + m ·g ·h Eliminando la masa “m” en ambos miembros y despejando “h” h = 1,28 m