Présentation de quelques concepts didactiques en situation pour apprendre en mathématiques

1. Présentation de quelques concepts didactiques en situation pour apprendre en mathématiques Alfred Bartolucci

2. Obstacles ontologiques, épistémologique, didactique Concepts fondamentaux Objectif obstacle Situations didactiques Variables didactiques Transposition didactique Conceptions, représentations, projet personnel Contrat et coutume didactique, effet Topaze et Jourdain. Savoirs de référence Savoirs Savants Pratiques sociales Il ne suffit pas de bien maîtriser sa discipline pour l’enseigner Savoirs sur les savoirs Savoirs à enseigner Savoirs enseignables Savoirs effectivement enseignés Savoirs produits Savoirs effectifs des élèves

3. Transposition didactique • interpelle les rituels des activités coutumières • questionne l’origine et la valeur des savoirs • introduit une analyse de pertinence et d’effectivité • Le savoir de référence (nb, rapport, mesure) • Ce qui doit être enseigné (le prescrit) (pg et commentaires) • Ce que l’élève devrait maîtriser (attendu social) • Ce que je pense devoir enseigner (mes normes) • Ce que j’enseigne effectivement (mes pratiques) • Ce que l’élève « entend » (projet, écoute) • Ce que l’élève maîtriser réellement ? LA PROPORTIONNALITE

4. Savoirs et conceptions de l’apprenant Nombres relatifs • la classe de situations problèmes qui, pour lui, donnent son sens au concept. • l'ensemble des signifiants qu'il est capable d'associer à ce concept : images mentales, expressions symboliques, ... • les outils dont il dispose pour traiter des situations de mise en œuvre du concept. • A côté de ces diverses conceptions (connaissances conceptuelles) l'élève dispose de représentations relatives à son rapport au savoir particulier. Positifs et négatifs

5. Etat de savoir d’un élève sur le concept de proportionnalité

6. Ne pas confondre la liste d’objectifs • Additionner, soustraire, multiplier, diviser de tête. • Déterminer la distance réelle à partir de l’échelle d’une carte. • Déterminer, à partit de la mesure réelle et de la mesure sur le dessin, l’échelle du dessin. • Réaliser un dessin à l’échelle. • Reconnaître que deux grandeurs sont proportionnelles. • Calculer une quatrième proportionnelle. • Calculer un taux, un coefficient de proportionnalité. • Appliquer un taux, compléter une facture. • Calculer une valeur après / avant augmentation / diminution (proportionnalité). • Conversion d’unités (longueurs, aires, volumes, …) • Calculer une vitesse en m/s ou en km/h. • Déterminer la durée ou la distance d’un parcours. • Placer des nombres d’ordre de gradeur différent sur un axe. • Choisir la meilleur écriture pour conduire des calculs. … et le réseau

7. Réseau de savoir-faire Calcul pensé Calcul de distance réelle 4ième proportionnelle Dessiner à l’échelle Exploiter la relation d=vt pour calculer, d, v ou t Calculer l’échelle Placer un point sur une graduation Appliquer un taux Convertir des unités Calculer un taux Reconnaître 2 grandeurs proportionnelles Calculer une valeur après / avant augmentation / diminution Les activités gagnent à porter sur les liens inter-conceptuels

8. Fondamentaux Concepts • Comparer Calculer • Modéliser • Raisonner Une trame notionnelle ou/et de principes de fond Notions et principes en réseau autour desquels s’articule la mise en œuvre des contenus (notions) du programme. Définie pour l’école obligatoire

9. L’animal « canard » Le mot « canard » 3 Canards et 2 canards rassemblés 3 + 2 x 2x + x Abstraction croissante qui ne s’enseigne pas mais se construit par avancées successives LE NOMBRE Ne pas enseigner le formalismemaisApprendre à formaliser Percevoir, exprimer, communiquer, formaliser la quantité Les nombres définis par les problèmes qu’ils permettent de résoudre ENJEU D’APPRENTISSAGE 1 P R OGRESS I V I TE P E R M A N E N C E

10. Vers l’abstraction pour Exprimer un écart ou un rapport ENJEU D’APPRENTISSAGE 2 REEL MODELE MEZZO S I M U L T A N É I T E Progressivité & permanence horizontale a a b = a + c C b = 3/2xa b b S C H E M A

11. On sait pour 3 combien pour 6 ? On sait pour 2 et 3, combien pour 5 ? Prendre une fraction de … Reconnaître la proportionnalité. Quatrième proportionnelle Durées, aires, Thalès … Fonctions linéaires, affines (proportionnalité des écarts). Sens de la situation sans perception du « rapport » Règles naturelles de proportion (discret) Passage de a à b par la multiplication Etendue des champs de pb et des règles Linéarité (Passage au continu) VERS LA PROPRTIONNALITE Ne pas enseigner le formalismemais apprendre à formaliser Multiplier les expériences et les activités ENJEU D’APPRENTISSAGE 3 P R OGRESS I V I TE P E R M A N E N C E M E Z Z O

12. Des objets de diverses formes. Les formes géométriques. Des étiquettes : carré, … Un dessin de carré, … Des « caractères » du carré Des propriétés attributs du carré Géométrie du toucher Abstraction croissante qui ne s’enseigne pas … Géométrie de l’observé …Mais se construit par avancées successives Géométrie du raisonné LA GEOMETRIE Ne pas enseigner le formalismemaisApprendre à formaliser Toucher, observer, raisonner ENJEU D’APPRENTISSAGE 4 P R OGRESS I V I TE P E R M A N E N C E

13. Représenter en Géométrie : La Formeobjet – dessin – figure ENJEU D’APPRENTISSAGE 5 Objet (à toucher) A B S T R A C T I ON Forme à percevoir P R OGRESS I V I TE P E R M A N E N C E M E Z Z O Dessin (gribouillis puis précis à l’oeil) Construction géométrique : Instruments et propriétés explicites Figure géométrique : signifiante par codage

14. Le périmètre est la grandeur de la ficelle qui fait le tour Le périmètre se calcule en ajoutant 2 longueurs et 2 largeurs Traduction raccourcie Périmètre = 2 longueurs et 2 largeurs Traduction symbolique avec initiales P = 2 ( L + l) Expression symbolique y = 2x + 2z Observations de faits Formulations verbale Traductions avec recherche d’économie : formules avec symboles de calculs et lettres initiales des noms Traduction symbolique lettre  indéterminée Traduire des relations numériques : LA FORMULE Ne pas enseigner le formalismemaisApprendre à formaliser Traduire, transformer, traiter, interpréter … ENJEU D’APPRENTISSAGE 6 A B S T R A C T I ON P R OGRESS I V I TE P E R M A N E N C E

15. Dans une ferme il y a des chèvres et des poules. Il y a 34 pattes et 10 têtes. Combien ? Si les chèvres se mettent sur 2 pattes et les poules sur une patte on a moitié moins de pattes et autant de têtes. 17 pattes soit 7 pattes de plus que de têtes. Il y a 7 chèvres. x + y = 10 et 4x + 2y =34 Situation Difficulté à trouver une démarche de calculs Exploration par essais erreurs Schématisations figuratives vers symbolique Traduction symbolique Traduction conforme au modèle algébrique La lettre  inconnue L’EQUATION : existe-t-il des valeurs pour que ? Ne pas enseigner le formalismemaisApprendre à formaliser La technique doit être au service du sens ENJEU D’APPRENTISSAGE 7 A B S T R A C T I ON P R OGRESS I V I TE P E R M A N E N C E M E Z Z O

16. Obstacle :cœur des apprentissages Un obstacle se caractérise par cinq paramètres : • C'est une connaissance et non une absence de connaissance. • Celle-ci permet de produire des réponses adaptées à certains problèmes ou classes de problèmes. • Elle conduit à des réponses erronées dans d'autres situations. • Très stable, elle présente une forte résistance à toute transformation et se manifeste de manière récurrente contre toute attente. • La modification de cette connaissance est une nouvelle connaissance.

17. Problèmes pour objectifs obstacles • Tracer un rectangle de périmètre 14. Est-il possible de tracer un rectangle ayant un périmètre plus petit que 14 et une aire plus grande que celle du rectangle tracé.. • 3x4 = 12 Donner 10 autres produits (multiplications) égaux à 12. • On se sert de la suite des lettres de l'alphabet comme « file repère ». On a compté successivement G puis H objets. Combien de temps vous faut-il avec « cette file repère » pour énoncer le nombre total d'objets. • Comment effectuer la division de 145 par 12 en utilisant les touches + ou – ou x de la calculette mais sans utiliser la touche : • Quel est le nombre dont la division par 0,3 donne 0,4 ?

18. Comprendre le comportement d'un individu face à un problème • Première position: En observant le comportement d’un individu face au problème, on est renseigné sur les connaissances de l'individu. • Deuxième position : Certaines réactions d'individu apparemment aberrantes du point de vue de la connaissance ne le sont plus dés qu'on cherche à comprendre quelle idée il se fait de la situation dans laquelle il se trouve. • Les comportements de toute personne sont déterminés par l'interaction entre la situation vécue et ses connaissances • Contrat didactique : Ensemble des règles en général implicites qui déterminent les rôles respectifs de l'élève et du mâture dans la classe relativement au savoir. • Repérer les règles du contrat c'est arriver à donner du comportement de l'élève des explications rationnelles et à intervenir alors qu'à priori ce comportement pourrait paraître irrationnel.

19. Chacun s’engage dans un problème à sa façon … Vous devez aller puiser de l’eau à la rivière pour en verser 5 litres dans un évier. Vous disposez d’un seau de 7 litres et d’un seau de 3 litres. Comment procédez-vous ? (vous pouvez faire plusieurs voyages - ni l’évier ni les seaux ne sont gradués)

20. Je remplis le pot de 7 litres Avec le pot de 7 litres je remplis le pot de 3 litres, il reste 4 litres Avec ce qui reste dans le pot de 7 litres je remplis le pot de 3 litres, il reste 1 litre Je vide le pot de 3 litres Avec le pot de 7 litres je remplis le pot de 3 litres, il reste 4 litres Je remplis à nouveau le pot de 7 litres Je verse les 4 litres qui restent dans l’évier : ça fait 5 litres Je verse le litre qui reste dans l’évier Une procédure est toujours simple pour celui qui la comprise mais pour la comprendre il faut bien plus que la connaître et savoir la réciter ! Il faut « l’évoquer », se la représenter, s’en donner un schème mental personnel intégrant un ancrage notionnel,…        

21. Il n’est pas suffisant d’écouter, de copier ni même d’être actif pour comprendre. On peut avoir été actif sans avoir appris ! Situation didactique

22. Clarifications nécessaires en lien avec les mises en situations. • Les concepts mathématiques n’ont de sens qu’en situations complexes. A l’origine ils ont pris progressivement forme dans des contextes « HORS » mathématiques. • Une approche métissée « découverte du monde », « repères culturels » et « abstraction/formalisation » est requise. • On apprend triplement découverte du monde, enracinement de sens et enrichissement notionnel.

23. Avez vous déjà vu un maître nageur dans la piscine ? • La réponse à cette question nous donne des réponses à d’autres questions …

24. Conséquence de l’hypothèse constructiviste sur les Apprentissages mathématiques : Entrée par les situations complexesimpliquant divers savoirs et une variété de stratégies Progression spiralée des apprentissages ?

25. SPIRALEE Décloisonné & croisé • Proportionnalité. • Organisation et gestion de données. • Nombres entiers et décimaux. • Division, quotient. • Figures planes, médiatrice, bissectrice. • Parallélépipède rectangle, patron, représentation en perspective. • Symétrie axiale • Longueurs, mesures, durées. • Angles. • Aires : mesures, comparaison et calculs. • Volumes. • Initiation au raisonnement déductif. 12 1 5 11 8 10 3 9 2 4 6 7 PRINCIPE Approche en interaction des savoirs et le même savoir est abordé en plusieurs fois Illustration Programme de sixième

26. Progressions spiraléesDécloisonnée croisée • Chaque chapitre n’est jamais traité d'un seul « bloc »… on revient à plusieurs reprises en des circonstances et avec des « voisinages notionnels » différents • Tout est fait pour traiter de l’ancien au travers du nouveau, l’idée simpliste de révision est démontée • On organise des opportunités pour croiser des savoirs de registres voire de disciplines différentes (réseaux de concepts, dialectique Outil - Objet).

27. Schéma d’organisation d’une séquence Première confrontation À la tâche complexe Situations d’entraînement Séances centrées sur des objectifs précis en réponse à des besoins identifiés Positionnement compétences d’année Zone des apprentissages complexes Zone des apprentissages ponctuels

28. Principes d’action conséquences • Rapport à la DIFFICULTE. • Conceptions de ce qu’est APPRENDRE. • Conceptions de ce qu’est REUSSIR. • Promotion du sentiment de COMPETENCE. • Conceptions de ce qu’est EVALUER. ENSEIGNANT ELEVE