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Géométrie analytique

Géométrie analytique. Relations entre deux droites. Remarque:. Une droite est par définition illimitée dans les deux sens; pour les besoins des démonstrations effectuées dans cette présentation, nous utiliserons des portions de droites limitées dans les deux sens, c’est-à-dire des segments. 30.

yves
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Presentation Transcript

  1. Géométrie analytique Relations entre deux droites Remarque: Une droite est par définition illimitée dans les deux sens; pour les besoins des démonstrations effectuées dans cette présentation, nous utiliserons des portions de droites limitées dans les deux sens, c’est-à-dire des segments.

  2. 30 25 20 15 10 5 5 10 15 20 25 30 35 Dans le plan cartésien, deux droites peuvent avoir, entre elles, différentes positions. Elles peuvent être : - parallèles et disjointes ; - parallèles et confondues ; - sécantes ; - sécantes et perpendiculaires ;

  3. B 30 A ( 5 , 20 ) B ( 25 , 30 ) 25 A C 20 m ( A , B ) : 15 D 10 5 5 10 15 20 25 30 35 1 = = 2 x1 y1 20 5 y2 25 x2 30 - - - - Droites parallèles et distinctes Déterminons l’équation du segment AB : y = mx + b y = 0,5x + b avec le point ( 5 , 20 ) 20 = 0,5 X 5 + b 20 = 2,5 + b 17,5 = b donc y = 0,5x + 17,5

  4. D ( 10 , 10 ) C ( 30 , 20 ) B 30 10 20 - 25 m ( D , C ) : = A C 20 15 D 10 5 5 10 15 20 25 30 35 1 = 2 x1 y1 10 30 x2 y2 - - - Déterminons l’équation du segment DC : y = mx + b y = 0,5x + b avec le point ( 10 , 10 ) 10 = 0,5 X 10 + b 10 = 5 + b 5 = b donc y = 0,5x + 5

  5. B 30 25 A C 20 15 D 10 5 5 10 15 20 25 30 35 m1 = m2 b1 ≠ b2 Droites parallèles et distinctes : - les pentes sont égales; m1 = m2 - les ordonnées à l’origine sont différentes. b1 ≠ b2 Équation du segment AB : Équation du segment DC : y1 = 0,5x + 17,5 donc y2 = 0,5x + 5

  6. y = - 2x + 5 et 10x + 5y – 25 = 0 Droites parallèles confondues Prenons les deux équations suivantes: Ces deux droites représentent deux droites parallèles confondues. Pour mieux observer, écrivons les deux droites sous une même forme: y1 = - 2x + 5 10x + 5y – 25 = 0 5y = -10x + 25 y2 = -2x + 5 On constate que les deux équations ont les mêmes pentes: m1 = m2 et les mêmes ordonnées à l’origine: b1 = b2 elles sont donc une par-dessus l’autre.

  7. B Déterminons l’équation de AB : 5 30 Pente AB : Pente BC : 25 y = 5x + b avec A ( 10 , 5 ) 20 15 C A 10 5 Déterminons l’équation de BC: Équation de AB : Équation de BC : 5 10 15 20 25 30 35 30 = X 15 + b avec B ( 15 , 30 ) y = x + b - 5 - 5 - 5 - 5 y = x + 55 3 3 3 3 - 75 30 = + b 3 Droites sécantes y = mx + b 5 = 5 X 10 + b 5 = 50 + b - 45 = b y = 5x - 45 y = mx + b 30 = - 25 + b 55 = b

  8. 30 25 20 15 10 5 5 10 15 20 25 30 35 m1 ≠ m2 - 5 y2 = x + 55 3 b1 ≠ b2 Droites sécantes : - les pentes sont différentes; m1 ≠ m2 - les ordonnées à l’origine peuvent être différentes ou égales. Équation de AB : y1 = 5x - 45 Équation de BC :

  9. B D A 30 25 20 C 15 10 5 m ( A , B ) : 5 10 15 20 25 30 35 y = x + b 20 = 5 + b 2 1 1 1 1 avec le point ( 5 , 20 ) = = 2 2 2 2 20 = X 5 + b y1 x1 20 5 x2 30 25 y2 - - - - donc y = x + 17,5 Droites perpendiculaires Deux droites perpendiculaires sont nécessairement sécantes; nous leurs donnons un nom particulier du fait qu’elles se croisent selon un angle précis, c’est-à-dire un angle droit ( 900 ). Déterminons l’équation du segment AB: A ( 5 , 20 ) B ( 25 , 30 ) y = mx + b 20 = 2,5 + b 17, 5 = b

  10. B D A 30 25 20 C 15 10 30 10 - 5 = m ( D , C ) : - 20 = 5 10 15 20 25 30 35 10 y = - 2x + b avec le point ( 10 , 30 ) = 10 y1 x1 x2 20 y2 - - - Déterminons l’équation du segment DC: D ( 10 , 30 ) C ( 20 , 10 ) - 2 y = mx + b 50 = b 30 = - 2 X 10 + b donc y = - 2x + 50 30 = - 20 + b

  11. B D 30 A m1 = - 1 m1 = - 1 25 m2 m2 20 C 15 10 5 1 y1 = x + 5 5 10 15 20 25 30 35 2 Équation du AB : m1 = - 1 m2 b1 ≠ b2 Droites perpendiculaires - les pentes sont inverses et opposées; - les ordonnées à l’origine peuvent être différentes ou égales. Équation du DC : y2 = - 2x + 50 Remarque: peut aussi s’écrire : m1 X m2 = -1

  12. 30 m1 = - 1 m1 = m2 - parallèles disjointes: 25 m2 b1 ≠ b2 20 15 - parallèles confondues: m1 = m2 10 b1 = b2 5 - sécantes: m1 ≠ m2 5 10 15 20 25 30 35 - perpendiculaires: En résumé Droites: De ces quatre positions relatives entre des droites, deux sont particulièrement intéressantes car elle nous permettent de déterminer certaines informations: - droites parallèles entre elles; - droites perpendiculaires entre elles.

  13. 6 m ( P1 , P2 ) : = 3 = = 7 x1 3 y1 6 13 x2 y2 - - - - Problème Quelle est l’équation d’une droite d2 passant par le point ( 4 , 3 ) et qui est parallèle à une autre droite d1 passant par les points ( 3 , 7 ) et ( 6 , 13 ) ? Étape 1 : Calculer la pente de la droite d1 : P1 ( 3 , 7 ) P2 ( 6 , 13 ) 2 Remarque: Il n’est pas nécessaire de déterminer l’équation de d1 . Étape 2 : Déterminer l’équation de la droite d2 : La droite d2 est parallèle à la droite d1 donc elle a la même pente. y = mx + b y = 2x + b avec le point ( 4 , 3 ) 3 = 2 X 4 + b 3 = 8 + b -5 = b donc y = 2x - 5

  14. 16 = 4 m ( P1 , P2 ) : 41 = 0 + b - 1 4 = = y = x + b avec le point ( 10 , 41 ) - 1 - 1 - 1 - 1 4 4 4 4 2 x1 y1 15 y2 x2 31 6 - - - - donc y = x + 43,5 41 = X 10 + b Problème Quelle est l’équation d’une droite d2 passant par le point ( 10 , 41 ) et qui est perpendiculaire à une autre droite d1 passant par les points ( 2 , 15 ) et ( 6 , 31 ) ? Étape 1 : Calculer la pente de la droite d1 : P1 ( 2 , 15 ) P2 ( 6 , 31 ) 4 Remarque: Il n’est pas nécessaire de déterminer l’équation de d1 . Étape 2 : Déterminer l’équation de la droite d2 : La droite d2 est perpendiculaire à la droite d1 donc sa pente est inverse et opposée: y = mx + b 41 = - 2,5 + b 43,5 = b

  15. Problème Quelle est l’équation de la médiatrice du segment AB dont les extrémités sont représentées par les coordonnées ( 4 , 6 ) et ( 10 , 30 )? Pour déterminer cette équation, il faut connaître les caractéristiques d’une médiatrice: « Une médiatrice est un segment élevé perpendiculairement sur le milieu d’un autre segment. » Il faut donc déterminer les coordonnées du point milieu du segment AB. Il faut aussi déterminer la pente du segment AB puisque la médiatrice (perpendiculaire) aura une pente inverse et opposée à la pente du segment AB.

  16. Déterminer les coordonnées du point milieu de AB. x2 + x1 y2 + y1 , Ptmilieu (A , B) : 2 2 10 + 4 30 + 6 , P 2 2 14 36 , P 2 2 Problème Quelle est l’équation de la médiatrice du segment AB dont les extrémités sont représentées par les coordonnées ( 4 , 6 ) et ( 10 , 30 )? Étape 1: P ( 7 , 18 )

  17. 24 = 6 Il n’est pas nécessaire de déterminer l’équation de AB. 18 = + b - 7 4 = = y = x + b avec le point ( 7 , 18 ) - 1 - 1 - 1 - 1 (point milieu de AB) 4 4 4 4 4 6 y1 x1 x2 10 30 y2 - - - - 18 = X 7 + b donc y = x + 19,75 Problème Quelle est l’équation de la médiatrice du segment AB dont les extrémités sont représentées par les coordonnées ( 4 , 6 ) et ( 10 , 30 )? Étape 2 : Calculer la pente de la droite AB : P1 ( 4 , 6 ) P2 ( 10 , 30 ) 4 m ( A , B ) : Remarque: Étape 3 : Déterminer l’équation de la médiatrice : La médiatrice est perpendiculaire à la droite AB donc sa pente est inverse et opposée: y = mx + b 18 = - 1,75 + b 19,75 = b

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