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VIII CURSO INTERNACIONAL Preparación y Evaluación de Proyectos de Desarrollo Local

VIII CURSO INTERNACIONAL Preparación y Evaluación de Proyectos de Desarrollo Local. Evaluación Privada de Proyectos. 1. Matemática financiera Conceptos básicos Valor actual. Horacio Roura. Conceptos básicos. Interés: Concepto.

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VIII CURSO INTERNACIONAL Preparación y Evaluación de Proyectos de Desarrollo Local

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  1. VIII CURSO INTERNACIONALPreparación y Evaluación de Proyectos de Desarrollo Local Evaluación Privada de Proyectos 1. Matemática financiera Conceptos básicos Valor actual Horacio Roura

  2. Conceptos básicos

  3. Interés: Concepto • Interés = Costo del capital = Retribución requerida por el uso del factor capital • Todo capital tiene un costo (requiere una retribución) • Explícito = el interéspagado por un préstamo • Implícito = el interés dejado de ganar sobre el capital propio

  4. Tasa de interés: Definición básica • Ejemplo: • Si recibo hoy $1,000 para devolver $1,080 en dos meses, el interés bimestral es: • Supuesto: moneda constante o inflación = 0

  5. Tasa de interés e inflación:Teorema de Fisher • Si la inflación (P) es distinta de 0 Donde r = tasa nominal k = tasa real

  6. Tipos de interés • Interés simple: el interés de cada período se retira de la imposición • Interés compuesto: el interés de cada período aumenta el capital impuesto

  7. Tipos de interés:Ejemplo y comparación

  8. Interés compuesto:Ejemplo 1 • Sea • Capital: $1,000 • Tasa: 10% anual, capitalizable anualmente • Plazo: 1 año • ¿Cuánto se tendrá al final del año?

  9. Interés compuesto:Ejemplo 1 C1 = C0 (1+k)1 = $1,000 (1+0.10)1 = $1,100 1 0 1,000 1,100 C0 C1 = C0 (1+k)1 1,100 = 1,000 (1+0.1)1

  10. Interés compuesto:Ejercicio 1 • Sea • Capital: $1,000 • Tasa: 12% anual, capitalizable anualmente • Plazo: 1 año • ¿Cuánto se tendrá al final del año? ¿Y luego de 2 años? • Al año: $1,000 (1+0.12) = $1,120 • A los 2 años: $1,120 (1+0.12) = $1,000 (1+0.12)2 = $1,254.40

  11. Interés compuesto:Período de capitalización – Ejemplo 2 • ¿Cómo variaría la operación del Ejemplo 1 si la capitalización de los intereses fuera semestral? 0 1/2 1 1,000 1,050 1,102.5 C0 C1 = C0 (1+k/2)1 1,050 = 1,000 (1+0.12)1 C2 = C1 (1+k/2)1 = C0 (1+k/2)2 1,102.5 = 1,000 (1+0.102) 2

  12. Interés compuesto:Período de capitalización – Ejemplo 3 • ¿Cómo variaría la operación anterior si la capitalización de los intereses fuera trimestral? 1/3 0 1/3 1/3 1 1,000 1,025 1,050.625 1,076.89 1,103.8 C0 C4 = C0 (1+k/4)4 1,103.8 = 1,000 (1+0.1/4)4

  13. Interés compuesto:Ejercicio 2 • Para un capital de $1,000 un banco nos ofrece dos opciones de inversión a plazo fijo: • Opción 1: 12% anual, capitalizable semestralmente • Opción 2: 11.768% anual, capitalizable bimestralmente • ¿Cuál es la opción más conveniente, para una colocación a 1 año de plazo? Opción 1: $1,000 (1+0.12/2)2 = $1,123.60 Opción 2: $1,000 (1+0.11768/6)6 = $1,123.60

  14. Equivalencia de tasas • Dos tasas de interés con diferente período de capitalización son equivalentes si producen el mismointeréscompuesto al final de un año: Ejemplo 2 anterior • 11.768% anual capitalizable bimestralmente es equivalente a • 12% anual capitalizable semestralmente es equivalente a • 12.36% anual capitalizable anualmente

  15. Equivalencia de tasas:Ejercicio 3 • ¿A qué tasa de capitalización anual es equivalente una tasa del 13% anual capitalizable trimestralmente? • (1 + kCA) = (1 + kCT/4)4 kCA= (1 + kCT)4 - 1 • kCA = (1 + 0.13/4)4 = (1 + 0.0325)4 = 13.648%

  16. Tasas nominal y efectiva • Cuando el interés es capitalizable más de una vez por año, • La tasa anual dada se llama tasa nominal anual • La tasa efectivamente ganada se llama tasa efectiva anual • Ejemplo 3 • Tasa nominal anual: 11.768% • Tasa efectiva anual: 12.36%

  17. Tasas nominal y efectiva:Relación • Para un cálculo preciso, • 1 + TE(m) = (1 + TNA . t/365)m/t • TE(m) = (1 + TNA . t/365)m/t - 1 (para un cálculo menos preciso puede usarse un año de 360 días) Donde: • TNA = tasa nominal anual vencida • TE(m) = tasa efectiva para los m días • m = número de días del período cuya tasa se busca • t = número de días del subperíodo de capitalización

  18. Tasas efectiva y nominal:Ejemplo 4 • Sea TNA = 12% • Si el período de capitalización es mensual, ¿cuál es la tasa efectiva para un depósito a 60 días? TE(60) = (1 + 12% . 30/365)60/30 - 1 = 1.982% • $1,000 depositados a 60 días a una TNA = 12% capitalizable mensualmente generarán $19.82 de interés

  19. Tasas efectiva y nominal:Ejemplo 5 • Sea TNA = 12% • Si el período de capitalización es mensual, ¿cuál es la tasa efectiva para un depósito a un año de plazo? TE(365) = (1 + 12% . 30/365)365/30 - 1 = 12.68342% TE(365) = (1 + 12% . 30/360)360/30 - 1 = 12.68250%

  20. Tasa efectiva anual • Es la tasa resultante de una colocación a la tasa efectiva periódica por los períodos necesarios para completar un año: TEA = (1 + TE(m))365/m • O, de manera aproximadamente equivalente TEA = (1 + TNA . t/365)365/t

  21. Tasa efectiva anual:Ejemplo 6 En el Ejemplo 4, • TNA = 12%, capitalizable mensualmente • TE(60) = 1.982% • De allí, TEA = (1 + TE(m))365/m - 1 TEA = (1 + 0.01982)365/60 - 1 TEA = 12.68119% TEA = (1 + 12%. 30/365) 365/30 – 1 = 12.68342%

  22. Ejercicio 4 • Si TE(60) = 1%, ¿cuál es la TEA? TEA = (1 + TE(m))365/m - 1 TEA = (1 + 0.01)365/60 - 1 TEA = 6.24%

  23. Ejercicio 4 (Cont.) • Si el período de capitalización es de 30 días, ¿cuál es la TNA? 1 + TE(60) = (1 + TNA . 30/365)60/30 TNA = (1 + TE(60))30/60 – 1) (365/30) TNA = (1 + 0.01)30/60 – 1) (365/30) TNA = 6.068%

  24. Interés compuesto:Período de capitalización continuo • Si el período de capitalización es muy pequeño (diario, horario, por minutos o segundos), se trata de capitalización continua • En ese caso, si TEA = (1 + TNA . t/365)365/t • t tiende a hacerse infinitamente pequeño, y TEA = eTNA TEA = eTNA.n • Donde e = 2.718 y n la cantidad de años

  25. Ejercicio 5 • Se invierten $1,000 al 11% anual, capitalizados continuamente, por dos años. ¿Cuánto se obtendrá al final de la inversión? • $1,000 e0.11x2 = $1,000 e0.22 = $1,000 . 1.246 = $1,246

  26. Valor actual

  27. Valor futuro y actual:Concepto • El interés compuesto acumula intereses sobre un capital inicial, hasta una fecha dada • El monto así obtenido es el valor futuro del capital inicial • Inversamente, el capital inicial es el valor actual del monto a recibir en el futuro

  28. Valor futuro y valor actual:Ejemplo 6 Valor actual (VA) de $106 Valor futuro (VF) de $100

  29. Valor actual:Definición • El valor actual de una cantidad futura expresa cuánto vale esa cantidad a pesos de hoy VA = VF / (1 + k)n Donde: • VA = Valor actual • VF = Valor futuro • k = tasa de actualización, interés o descuento • n = período donde se recibirá el valor futuro

  30. Valor actual:Ejemplo 7 • Un tío rico le informa que dentro de 6 años le hará un legado de $1 millón. Ud., que lleva una vida disipada, está dispuesto a recibir menos dinero, si lo recibe ya. Una tía generosa le ofrece $507 mil, si Ud. le transfiere el derecho a cobrar el legado. Si su tasa de interés es 12% anual, ¿le conviene la propuesta?

  31. Valor actual y valor futuro: Despejando incógnitas • Si VA = VF/(1+k)n • Entonces,

  32. Valor actual y valor futuro:Ejemplo 8 • ¿Cuánto tiempo se demorará en acumular $2,250 si se depositan $1,000 al 1% mensual, capitalizable mensualmente?

  33. Valor actual y valor futuro:Ejercicio 6 • ¿A qué tasa se deberá depositar $1,000 para obtener $2,250 en 82 meses?

  34. Valor actual neto • El valor actual ofrece cuánto vale hoy un bien futuro • En ocasiones, acceder a ese pago futuro implica una erogación hoy • El valor actual neto es la diferencia entre el valor actual del pago futuro y la inversión necesaria:

  35. Valor actual neto:Ejemplo 8 • Un conocido le propone comprar una casa deteriorada para reciclarla y venderla. La inversión (compra más arreglo) asciende a $250 mil. Si pudiera venderla en $300 dentro de 6 meses, ¿le convendría el negocio?

  36. Valor actual neto:Ejemplo 8 - Solución

  37. Valores actuales y tasas de descuento • Para obtener el valor actual de un valor futuro se requiere una tasa de descuento • La tasa de descuento se define como el interés que se hubiera ganado de haber invertido en la mejorinversiónalternativa

  38. Tasas de descuento:Ejemplo 9 • En el ejemplo 8, la opción a comprar la casa, reciclarla y venderla era invertir los $250 mil en una inversión financiera de riesgo equivalente. • El interés utilizado para descontar los $300 futuros es lo que hubiera rentado invertir $250 por 6 meses.

  39. Tasas de descuento y tasas de retorno • En el ejemplo 8, la inversión en la casa obtuvo un retorno del 13.2% • Esta inversión es muy interesante, pues rinde un retorno superior a su tasa de descuento

  40. Relación entre valores actuales y valores futuros • El valor actual de un valor futuro es siempre menor que ese valor futuro: $1 hoy vale más que $1 mañana • Por que los $ actuales se pueden invertir y ganar interés por un período • Porque los $ actuales son –en general– menos riesgoso que los futuros

  41. Valor actual y valor futuro:El rol de los mercados de capitales • El concepto de valor actual y valor futuro permite establecer equivalencias entre recibir (hacer) un pago hoy o en el futuro • En la práctica, eso es posible debido a la existencia de un mercado de capitales • El mercado de capitales es simplemente un mercado donde la gente intercambia $ de hoy por $ futuros, y viceversa

  42. Mercado de capitales:Funcionamiento • Suponga que Ud. tiene: • $20,000 en la mano • $25,000 a recibir dentro de un año • Sus opciones son • Consumir $20,000 hoy y $25,000 en un año • No consumir nada hoy, invertir los $20,000 y consumir dentro de un año $20,000 (1+k) + $25,000 • Consumir todo hoy: $20,000 + $25,000/(1+k)

  43. Opciones entre consumo presente y consumo futuro Si k=7%, su riqueza total es $43.4 (a $ de hoy) o $46.4 (a $ futuros) $46.4 $21.4 = $20 (1+0.07) Pendiente = (1+0.07) Invierte $20 para consumir todo el año próximo $25 $20 $43.4 Pide prestado el valor actual de $25 para consumir todo hoy $23.4 = $25/(1+0.07)

  44. Mercado de capitales e inversión en activos reales A medida que se va invirtiendo en proyectos no financieros, el retorno de los mismos disminuye $46.4 $37.8 $25 Rtn(P1) = (25-10)/10 = 2.5 Rtn(P2) = (13-10)/10 = 1.3 Rtn(P1) = (9-10)/10 = -0.1 $43.4 Proyecto1= $10 mil Proyecto 3 = $10 mil Proyecto 2 =$10 mil

  45. Mercado de capitales e inversión en activos reales D 0B (1+ k) Flujo futuro de la inversión C 0 B A E Inversión en activos reales VAN = 0C/(1+k)-AB = BE - AB

  46. Moraleja • Al invertir en activos reales y ahorrar o pedir pedir prestado en el mercado de capitales, el inversor puede colocarse en cualquier punto de DE • Tiene más para gastar, hoy o mañana, que si invirtiera solo en el mercado de capitales o solo en activos reales • La riqueza se maximiza cuando se invierte en activos reales hasta igualar el costo de oportunidad del capital (DE // CA)  El VAN es el máximo alcanzable • El mercado de capitales permite alcanzar luego la combinación adecuada de consumo presente y futuro

  47. Consecuencia de la moraleja • La regla para dirigir una empresa se reduce a maximizar el valor de la misma para los accionistas • Logrado eso, éstos elegirán la pauta temporal de consumo que prefieran • Supuesto fuerte: libre acceso al mercado de capitales • Maximizar la riqueza = elegir todos los proyectos que tengan un VAN positivo

  48. Valor actual de flujos de más de un período • Los proyectos generan flujos por más de un período • El valor actual neto de un proyecto de esas características puede calcularse como

  49. Valor actual de anualidades • Si F1 = F2 = ... = Fn Coeficiente para el cálculo del valor actual de una anualidad constante

  50. Valor actual de anualidades • Si F1 = F2 = ... = Fn y n 0 Valor actual de una perpetuidad constante

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