Review of Ordinary Differential Equations

1. Review ofOrdinary Differential Equations 2301520 Fundamentals of AMCS

2. สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) • คำนิยาม ให้ f(t) เป็นฟังก์ชันของ t บนช่วง (a,b) จะได้ว่า สมการอนุพันธ์สามัญคือสมการที่เกี่ยวข้องกับ t, ฟังก์ชัน f(t), และอนุพันธ์ของ f(t) • เรามักจะแทนฟังก์ชัน f(t) ด้วย y ใน ODE • ตัวอย่าง

3. Linear Differential Equation • สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น (linear differential equation) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่อยู่ในรูปของ • ถ้าเขียนสมการเชิงอนุพันธ์แบบข้างบนไม่ได้เราจะเรียกว่าเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้น (non-linear differential equation)

4. Solution • ผลเฉลย (Solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์บนช่วง t∈(a,b) คือฟังก์ชัน y(t) ที่ทำให้สมการเชิงอนุพันธ์ดังกล่าวเป็นจริงเมื่อ t∈(a,b) • ตัวอย่าง จงแสดงว่า เป็นผลเฉลยของ สำหรับ • จริงๆแล้วสมการจากตัวอย่างนี้มีผลเฉลยมากกว่าหนึ่ง ตัวอย่างผลเฉลยอื่นๆ คือ เป็นต้น

5. Initial Condition(s) • เงื่อนไขเริ่มต้น (initial condition(s)) คือเงื่อนไขหรือเซตของเงื่อนไขที่บอกค่าของผลเฉลยหรือค่าของอนุพันธ์ของผลเฉลย ณ จุดใดจุดหนึ่งโดยเฉพาะ เงื่อนไขเริ่มต้นจะเขียนอยู่ในรูป และ/หรือ • ตัวอย่าง จงแสดงว่า เป็นผลเฉลยของ

6. Interval of Validity • ช่วงความสมเหตุสมผล (interval of validity) ของปัญหาสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้น (initial value problem) คือช่วงที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้โดยที่ผลเฉลยที่ได้ยังคงสมเหตุสมผลและช่วงดังกล่าวต้องรวมค่า อยู่ด้วย

7. Particular Solution • ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์คือผลเฉลยที่ไม่มีตัวคงค่า arbitrary constant และสอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้น

8. General Solution • ผลเฉลยทั่วไป (general solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์ คือผลเฉลยที่มีตัวคงค่า arbitrary constant โดยไม่คำนึงถึงเงื่อนไขเริ่มต้น • ผลเฉลยทั่วไปเป็นผลเฉลยที่อยู่ในรูปทั่วไปมากที่สุด และสามารถแปลงเป็นผลเฉลยเฉพาะได้ทุกๆ ผลเฉลยเมื่อกำหนดค่าให้ arbitrary constant

9. Explicit/Implicit Solution • ผลเฉลยชัดแจง (explicit solution) คือผลเฉลยในรูป • ผลเฉลยโดยปริยาย (implicit solution) คือผลเฉลยในรูป

10. First Order Differential Equations • โดยทั่วไปแล้วสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งในรูปแบบทั่วไปที่สุดจะเขียนได้เป็น ซึ่งไม่มีสูตรทั่วไปสำหรับผลเฉลย • มีสมการเชิงอนุพันธ์อันดังหนึ่งในรูปแบบพิเศษบางกรณีที่มีสูตรในการหาผลเฉลย อย่างเช่น • Linear Equations • Separable Equations • Exact Equations

11. Second Order Differential Equations • โดยทั่วไปแล้วสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองในรูปแบบทั่วไปที่สุดจะเขียนได้เป็น • ถ้า เราเรียกสมการเชิงอนุพันธ์นี้ว่าเป็นสมการ homogeneous ถ้าไม่ใช่ จะเรียกว่าเป็นสมการ nonhomogeneous

12. Direction Fields • บางครั้งเราไม่สามารถหาผลเฉลยที่อยู่ในรูปแบบที่ชัดเจนได้ แต่เราสามารถดูพฤติกรรมของผลเฉลยโดยการวาดกราฟ Direction Fields ได้ • ตัวอย่าง

13. Direction Fields(ต่อ)