GLI INSIEMI
INSIEME • DEFINIZIONE: • UN RAGGRUPPAMENTO O UNA COLLEZIONE DI OGGETTI / ENTI / ELEMENTI RAPPRESENTA UN INSIEME IN SENSO MATEMATICO • SE ESISTE UN CRITERIO OGGETTIVO • CHE CONSENTE DI DECIDERE IN MODO UNIVOCO • SE UN DATO ELEMENTO FA PARTE O NON DI QUEL RAGGRUPPAMENTO • GLI OGGETTI CHE COMPONGONO L’INSIEME SONO GLI ELEMENTIDELL’INSIEME • - QUANDO UN OGGETTO x è UN ELEMENTO DI UN INSIEME ‘A’ • SI DICE CHE APPARTIENE ALL’INSIEME → x A • - VICEVERSA yNON APPARTIENE ALL’INSIEME ‘B’ → y B • INSIEME : A, B, C, D... • ELEMENTO: a, b, c, d, x, y, z...
RAPPRESENTAZIONE DI INSIEMI: PER PROPRIETÀ CARATTERISTICA • RAPPRESENTAZIONE INTENSIVA • Si esplicita la legge o il criterio o la proprietà P(x) che permette di stabilire/identificare quali sono gli elementi dell’insieme • Ossia quali x per cui la proposizione « x A » è vera • A1= x : x , x 7 • A2 = insieme dei numeri naturali divisibili per 6 • A3 = x : x , x = 2n + 1 x e5 • La proprietà caratteristica non è altro che un predicato P (x), • l’insieme contiene i valori di x per cui il predicato è vero
RAPPRESENTAZIONE DI INSIEMI: TABULARE O PER ELENCAZIONE • RAPPRESENTAZIONE ESTENSIVA • Si indicano in modo esplicito uno ad uno tutti gli elementi dell’insieme • A1 = a, e, f, o, n, s, t A2 = 2, 4, 6, 8 A3 = 2, 4, 6, 8… • ADNA = A, G, C, T ARNA = A, G, C, U • SONO IRRILEVANTI: • l’ORDINE in cui si elencano gli elementi: 1, 2, 3 2, 3, 1 • la MOLTEPLICITÀ degli elementi • L’equazione (x-1)=0 ha come unica soluzione x=1 S = 1 • L’equazione (x-1)2=0 ha come soluzione x=1 con molteplicità 2 S = 1 • L’insieme delle soluzioni è lo stesso S = 1
RAPPRESENTAZIONE DI INSIEMI: GRAFICA: DIAGRAMMA DI EULERO VENN A s a x t n e o k w f L’insieme A con alcuni elementi che vi appartengono ed altri che non vi appartengono
RELAZIONI TRA INSIEMI: UGUAGLIANZA • Due insiemi A e B sono uguali quando possiedono gli stessi elementi: • A = B significa ogni elemento che appartiene ad A • appartiene anche a B e viceversa • x : ( x A x B ) ( x B x A ) • simbolo logico detto QUANTIFICATORE UNIVERSALE • è un’ IMPLICAZIONE LOGICA «se … allora…» • «…implica… » • è un connettivo logico di «congiunzione»
RELAZIONI TRA INSIEMI: INCLUSIONE Quando vale una soltanto delle due richieste indicate per l’uguaglianza: ad es. x : ( x A x B ) ( x B x A ) ogni elemento di A appartiene anche a B ma non è detto il contrario A B [A è contenuto/sottoinsieme di B] A B non esclude A = B cioè valga anche B A [sottoins. IMPROPRIO] A B [sottoinsieme PROPRIO inclusione stretta ] A è strettamente contenuto in B A è contenuto in B ma non coincide con B, A è più piccolo di B x A x B x B : x A B A x
RELAZIONI TRA INSIEMI: INCLUSIONE “, ” SOTTOINSIEMI L’insieme vuoto è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di ogni insieme B è un SOTTOINSIEME IMPROPRIO di A Ogni insieme è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di se stesso B A C, B, ….. A A, B B,….. U A A è un SOTTOINSIEME PROPRIO di U a B C A U b d C è un SOTTOINSIEME PROPRIO di B c C B
INSIEME VUOTO è l’insieme che non contiene alcun elemento: A → A Dim.: x x A ma nessun elemento U
INSIEME DELLE PARTI L’insieme delle parti di un generico insieme X è l’insieme P(X) costituito da tutti i possibili sottoinsiemi dell’insieme X: P(X) = , X1, X2…, X es. A= 1, 2, 3 P(A)= , 1 , 2 ,3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 , A se X a n elementi → P(X) ha 2n elementi nell’esempio n=3 → P(A) ha 23=8 elementi
OPERAZIONI SUGLI INSIEMI: INTERSEZIONE L’INTERSEZIONE tra due insiemi A e B o più è un insieme C = A B costituito dagli elementi che appartengono sia ad A sia a B : A B = x : x A x B A A B = B A B A B A A B = B B A B
PROPRIETÀ DELLA INTERSEZIONE I) di IDEMPOTENZA A A = A • segue dalla definizione di intersezione : • A A = x : x A x A = A
PROPRIETÀ DELLA INTERSEZIONE II) COMMUTATIVA A B = B A II. dati 2 insiemi A e B, per un elemento si possono presentare i casi: - appartiene a entrambi gli insiemi (zona 1) - soltanto all'insieme A (zona 2) - soltanto all'insieme B (zona 3) - a nessuno dei due insiemi (zona 4) A B
PROPRIETÀ DELLA INTERSEZIONE III) ASSOCIATIVA (A B ) C = A ( B C )
PROPRIETÀ DELLA INTERSEZIONE Poiché l'intersezione di qualunque insieme con l'insieme vuoto è l'insieme vuoto → si dice che l'insieme vuoto è elemento assorbente rispetto all'intersezione A A ∩ ∅ = ∅ A = Se A B = , A e B si dicono DISGIUNTI A C(A) = Se B A A B = B A U =A
OPERAZIONI SUGLI INSIEMI: UNIONE L’UNIONE tra due insiemi A e B o più è un insieme C = A B costituito dagli elementi che appartengono o ad A o a B o ad entrambi: A B = x : x A x B A A B B A B
PROPRIETÀ DELLA UNIONE • di IDEMPOTENZA A A = A • COMMUTATIVA A B = B A • ASSOCIATIVA (A B) C = A (B C ) • DISTRIBUTIVA A (B C ) = (A B) (A C ) rispetto a e vic. A (B C ) = (A B) (A C ) L'insieme vuoto è l'elemento neutro rispetto all'unione: A si ha A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A
PROPRIETÀ DELLA UNIONE IV DISTRIBUTIVA A (B C ) = (A B) (A C ) rispetto a
PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DISTRIBUTIVA rispetto alla unione A (B C ) = (A B) (A C ) A (A B) (B C ) (A C) A (B C ) (A B) (A C )
PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DISTRIBUTIVA rispetto alla intersezione A (B C ) = (A B) (A C ) A (A B) (B C ) (A C) A (B C ) (A B) (A C )
OPERAZIONI SUGLI INSIEMI: DIFFERENZA\ La DIFFERENZA tra due insiemi A \ B è l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B A \ B = x : x A x B es. A= 1, 2, 3, 4, 5 e B= 3, 5, 7 A \ B = 1, 2, 4
OPERAZIONI SUGLI INSIEMI: DIFFERENZA\ A A A B B B La parte colorata in blu rappresenta l’insieme differenza E’ l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B A-B A-B A / B = x : x A e x B
OPERAZIONI SUGLI INSIEMI: DIFFERENZA\ A B g a d h e i b f c l B g A a d B / A = g; h; i; l h e i b f c l B g a d h e i b A / B = a; b; c f c A l
DIFFERENZA TRA INSIEMI: CASI PARTICOLARI A / A = A / = A Se A B = A / B = A e B / A = B Se B A B / A =
DIFFERENZA SIMMETRICA Dati due insiemi A e B, si chiama loro differenza simmetrica, A B, l’insieme formato dagli elementi che appartengono a uno e uno solo dei due insiemi A e B A B = (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (B A) es. A= 1, 2, 3, 5, 7 e B = 2, 3, 4, 5, 6 A B = 1, 4, 6, 7
INSIEME COMPLEMENTARE Sia U l’insieme universo e A U per definizione C U (A) = U \ A = { x ⏐ x ∈ U x ∉ A } U C U (U) = C U () = U C (C (A))=A A C U (A) =
INSIEME COMPLEMENTARE DELL’UNIONE C (A B) = C (A) C (B) C (B) C (A) 1 2 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4 C (AB) = C (A) C (B)
INSIEME COMPLEMENTARE DELL’INTERSEZIONE C (A B) = C (A) C (B) C (B) C (A) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 C (A B) = C (A) C (B)
INSIEME COMPLEMENTARE DELL’INTERSEZIONE C (A) B = B \ A C (A) C (A) B = B \ A B
INSIEME COMPLEMENTARE DELLA UNIONE C (A) B = C (A \ B) C (A) C (A) B = C (A \ B) B
PRODOTTO CARTESIANO A B • Il PRODOTTO CARTESIANO di due insiemi A e B non necessariamente distinti, A B, è un insieme costituito da tutte le coppie ordinate del tipo • (a, b ) con a A e b B : • (a, b) A B a A b B • A B = (a, b) : a A b B • se (a1, b1) = (a2, b2) a1 = a2 e b1 = b2 • A A = A2 • (a, b) ( b, a ) in genere A B B A
PRODOTTO CARTESIANO A B A = 1, 2, 3 B = 0, 5 A B = (1, 0) (1, 5) (2, 0) (2, 5) (3, 0) (3, 5) B A = (0,1) (0,2) (0,3) (5, 1) (5, 2) (5,3) A (0, 3) (5, 3) A B B B A 3 2 1 (0, 2) (5, 2) (1, 5) (2, 5) (3, 5) 5 0 (0, 1) (5, 1) (1, 0) (2, 0) (3, 0) 1 2 3 A B 0 5
R R = R2 R R = coppie ordinate di numeri reali → PIANO CARTESIANO
PARTIZIONE DI UN INSIEME • Dato un generico insieme di elementi, A • la partizione di A, P(A), è un insieme di sottoinsiemi di A tali che: • ogni sottoinsieme è proprio → iAi A Ai • i sottoinsiemi sono disgiunti→ i, j Ai Aj= con i j • l’unione di tutti i sottoinsiemi dà l’insieme A • A1 A2 …. An = A • P(A) = A1, A2… An con Ai A i = 1… n A A1 A6 A2 A5 A3 P(A) = A1, A2, A3, A4, A5, A6 A4
PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI SU INSIEMI A =C U(A)
