1. I LIMITI

2. TOPOLOGIA DI R FINALITÀ Introdurre nozioni che consentano di definire la posizione relativa di un elemento di R* rispetto ad un insieme a cui l’elemento può appartenere o non Sia dato l’insieme:   1 n     3     A 2 , 1 n N 0  0 1/2 1 2 3   3 A ma la distanza dal primo vicino (elemento 2) nell’insieme A è pari a 1  si può dire che 3 è «LONTANO» dagli altri punti di A  2 A ed è «VICINO» ad altri punti di A  0 A ma ci si può avvicinare a piacere stando in A  il punto 0 è «VICINO»

3. INTORNO Si definisce il concetto di vicinanza introducendo la nozione di intorno di un punto xo di R* DEFINIZIONE Dato xo R , si dice INTORNO di xo un qualsiasi intervallo del tipo 0 x I          x ,x  0 0 con   0 detto raggio dell’intorno Dal punto di vista insiemistico: I (x0) =  x R :  x   x0     intorno destro I  (x0) =  x R : x0   x   x0  intorno sinistro I  (x0) =  x R : x0  intorno di   I (x0) =  x R : x    M   intorno di   I (x0) =  x R : x    M          0 x I          ,x x   0 0       0 x    0     x   x0        ,x I x 0   I               , M   I                   , M

4. INTORNO OSSERVAZIONI 1. ogni punto di R* ha infiniti intorni l’intersezione di due o più intorni di un punto è ancora un intorno di 2. quel punto     1 x I     2 x     x I         x R I 0 0 0 0 3. presi x1,x2R*, con x1x2,  I(x1) e I(x2) : I(x1)  I(x2) =  gli intorni separano i punti

5. PUNTO DI ACCUMULAZIONE x0 è PUNTO DI ACCUMULAZIONE per A se: in ogni intorno di x0 esistono punti di A diversi da x0 1. La condizione x   x0vuole evitare che x0 sia punto isolato 2. Se x0 è punto di accumulazione per A  in ogni suo intorno ci sono infiniti punti di A           ( ) : ( ) I x x A, x x x I x 0 0 0  0 1/2 1 2 3 

6. PUNTO DI ACCUMULAZIONE Se A = (a, b)   R (intervallo aperto ) Se A = [a, b]   R (intervallo chiuso)   tutti i punti di accumulazione per A sono in [a, b]

7. PUNTO DI ACCUMULAZIONE  In R ogni elemento è un punto di accumulazione per l’insieme stesso  In N o in Z non vi sono punti di accumulazione: nell’intervallo | n -  |, si possono costruire diversi intorni I(n) che contengono altri numeri naturali - ad esempio, preso n=4 e  = 1,5 ma anche altrettanti intorni I(4) che non contengono alcun altro numero naturale oltre a n = 4, - ad esempio, n=4 e  = 0,5

8. PUNTO ISOLATO x0 A è PUNTO ISOLATO se:   o x I    ( x ) : I ( x ) A o o         1 n   A   n 1 ()) ) ()  0 1/2 1 2  ()  x0 = 0 è punto di accumulazione per A  tutti gli altri punti sono isolati

9. PUNTO INTERNO  Si dice che x0 A  R è PUNTO INTERNO a A se: ossia spostandosi di poco da x0 sia a sinistra sia a destra si è certi di rimanere nell’insieme A       I x : I x A I è un intorno completo (x0- , x0+ ) 0 0 x0 (  )  x0  x0  

10. PUNTO ESTERNO  Si dice che x0 R è PUNTO ESTERNO ad A se: ossia un punto esterno non appartiene all’insieme A       I x : I x C ( A ) 0 0 x0 (  )  x0  x0  

11. PUNTO DI FRONTIERA  Si dice che x0 R è PUNTO DI FRONTIERA per A se: ossia esiste un I che contiene punti di A e del suo complementare               I x : I x A I x C ( A ) 0 0 0  x0  x0   x0 (  )

12. PUNTO INTERNO ESTERNO O DI FRONTIERA  Ogni punto interno ad A  R è anche punto di accumulazione  Un insieme in cui tutti i punti sono interni si dice APERTO in R Un insieme il cui complementare in R è aperto si dice CHIUSO in R es: ogni intervallo del tipo: (a, b) con  a < b  è un insieme aperto [a, b] è un insieme chiuso ( , b] o [a,   ) sono insiemi chiusi  Un punto di frontiera non è necessariamente di accumulazione

13. ESERCIZIO Determinare: - punti di accumulazione per E - estremo sup e inf - massimo e minimo   1 n     E e 5 , n N n 0 1 n 1           1 n n 1 n è una successione decrescente presi due elementi di E qualunque e distinti, tra di essi non sono compresi altri elementi dell’insieme E   per ogni punto en si può sempre trovare un intorno al quale non appartengono altri punti di E diversi da en nessun elemento dell’insieme è punto di accumulazione per E, al contrario sono punti isolati x=5 comunque si scelga  come raggio dell’intorno di centro 5  valore di n abbastanza grande per cui si ha 1/n     inf(E) = 5 max(E)= sup(E) = 6  esiste sempre un x=5 è di accumulazione per E

14. LIMITE DI FUNZIONI Consente di determinare il comportamento di una funzione f(x) quando la variabile indipendente x : - si muove vicino ad un dato punto appartenente o non al dominio della f(x) - diventa molto grande o molto piccola ( |x|   ) TERMINOLOGIA   lim ( ) f x l   x c     INITO F se l convergent è (f R l) a e    lim ite            ) NFINITO I l divergente è (f a   c   INITO F se R    lim ite al        NFINITO I se c

15. TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE Se per x tendente a x0 esiste il limite tale limite l è   lim x ( ) f x l   x 0

16. LIMITE FINITO AL FINITO LIMITE DESTRO Sia f una funzione definita in un intorno di x0∈ ∈ R tranne eventualmente in x0, cioè x0 è punto di accumulazione per Dom(f ), Quando la variabile x assume valori “vicini” ad x0 (sempre MAGGIORI di x0), i corrispondenti valori di f(x) si avvicinano sempre più al valore L    lim f ( x ) L scelta di   scelta di     x 0x y y y = f (x) y = f (x) L +   L +   L L L -   L -   x0 +   O x0 x O x0 x    0   >0 :  x  x0  x  (x0 , x0   )   | f (x)  L |      I  x 0

17. LIMITE FINITO AL FINITO LIMITE SINISTRO Quando la variabile x assume valori “vicini” ad x0 (sempre MINORI di x0), i corrispondenti valori di f(x) si avvicinano sempre più al valore L   lim ( ) f x L     x 0 x y y y = f (x) y = f (x) L +    L +    L L L -    L -    x0 -  x0 x O x0 O  | f (x)  L | <     > 0   >0 :  x  x0  x  (x0  , x0)    I  x 0

18. LIMITE FINITO AL FINITO Se la funzione : possiede sia il limite destro sia il limite sinistro nel punto x0 questi due limiti coincidono     lim ( ) lim ( ) f x f x L   la f (x) ha limite in x0 e vale L       x x   x x 0 0   lim ( ) f x L   x 0 x L +ε L f(x) L -ε x0 x 2    0   0 :  x  x0  x  (x0 , x0  )   | f (x)  L |  

19. LIMITE FINITO AL FINITO Esistono limite destro e limite sinistro ma non esiste il limite completo OSSERVA: - si valuta cosa succede per x molto prossimo a x0 - NON INTERESSA il valore di f (x) nel punto x0: nel punto x0 la f potrebbe assumere qualsiasi valore o non essere definita cioè x0 potrebbe non appartenere a dom( f )

20. LIMITE FINITO ALL’INFINITO f definita in D illimitato      x l R   lim ( ) f x  | f (x) –l l | <       > 0   K >0 : | x | > k  l+ε f(x) l l-ε K -K x ASINTOTO ORIZZONTALE y =l l per x

21. LIMITE INFINITO ALL’INFINITO f definita in D illimitato         x lim ( ) f x    M > 0   K > 0 : | x | > k   | f (x) | > M f(x) M -K K x -M la funzione potrebbe avere un ASINTOTO OBLIQUO

22. LIMITE INFINITO ALL’INFINITO Nelle condizioni della precedente definizione, si possono considerare i seguenti casi particolari: se per ogni risulta allora grafico x > K f(x) > M   lim x ( ) f x   x > K f(x) < - M   lim x ( ) f x   x < - K f(x) > M   lim x ( ) f x   x < -K f(x) < -M   lim x ( ) f x  

23. LIMITE INFINITO ALL’INFINITO ASINTOTO OBLIQUO     lim x ( ) f x     La funzione ammette un asintoto obliquo y=mx+q (m 0) se    lim  [ f ( x ) ( mx q )] 0  x ovvero : f ( x x )   lim  x m 0 esiste ed è finito      lim [ f ( x ) mx ] q esiste ed è finito   x

24. LIMITE INFINITO ALL’INFINITO ASINTOTO OBLIQUO ESEMPIO 3    f f ( (x x ) ) x x    x   3 x x 1           m lim lim 3 3     x x x        q lim [ f ( x ) mx ] lim 3 [ x x 3 x ]     x x NO ASINTOTO OBLIQUO!

25. LIMITE INFINITO AL FINITO f definita in D illimitato       x lim ( ) f x    M > 0   >0 :  x  x0  | x- x0 |<    f(x) > M 0 x f(x) M x0 x  Quando la variabile x assume valori “vicini” ad x0 (diversi da x0), i corrispondenti valori di |f (x)| crescono arbitrariamente x = x0 è un ASINTOTO VERTICALE

26. IL LIMITE NON ESISTE come si comporta g(x) = sin(2πx) quando x → +∞ ? Per x → +∞ g(x) non tende ad alcun valore ma continua ad oscillare   il limite NON ESISTE

27. LIMITE IN UN PUNTO ISOLATO ?   dom(A)     0 , 2      f (x) = sin(x) x0= π/2 è punto isolato per A    , 2 2 Ha senso chiedersi cosa succede alla funzione quando x → π/2 ? NO perché f non è definita in un intorno di x0= π/2 π 2 CONCLUSIONE: ha senso studiare il comportamento di f (x) per x → x0 solo se x0 è un punto di accumulazione per il dom(f )

28. LIMITE DI FUNZIONI ELEMNTARI Ricordando i grafici delle funzioni elementari si ha: x →  x →  

29. LIMITE DI FUNZIONI ELEMENTARI Ricordando i grafici delle funzioni trascendenti si ha:

30. TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO     I(x   se per x x f(x) L 0 ) : f( x) 0 0  0     x I(x ) D x x 0 0 Esiste un intorno di x0 in cui f ha lo stesso segno del limite Analogo risultato per L<0: f(x)<0 in un intorno I(x0) Se L=0 nulla si può dire sul segno della funzione in un intorno di x0 L=0 x0 x0 x0

31. TEOREMA DEL CONFRONTO Siano f, g, h funzioni definite in I(x0) \  x0  e tali che  f g h x I(x0) \ x0    0   0    L  R e | L | <  L h f x x x x 0 lim lim   g L lim x x h g L f x0 Il teorema   consente di stabilire l’esistenza del limite di g   suggerisce che il suo calcolo si può fare ricorrendo a due funzioni opportunamente scelte e per le quali il calcolo del limite sia agevole

32. TEOREMA DEL CONFRONTO ESEMPIO 1 x     lim   x ? x sen 0 si osserva che   x 1      1 0 x sen x x x sen x x poiché |x|0 per x  0 segue che 1 x     lim   x 0 x sen 0

33. COROLLARI DEL TEOREMA DEL CONFRONTO f, g : D   R  R e tali che   x  I(x0)   D x   x0   |f(x)|   k 1      g ( x ) 0 lim  x x 0   ( f g ) 0 lim  x x 0 2   f(x)   k   0     lim x   g ( x ) lim x  x 0 (    f g )  x 0 3   |f(x)|   k   g ( x ) lim x      x 0      f g xlim  x 0

34. ALGEBRA DEI LIMITI Se per x   x0 f(x)   L e g(x)   G con L, G  R si ha per x   x0 1. f(x)   g(x)   L   G 2. f(x)   g(x)   L   G 3. f(x)   g(x)   L   G sse G 0 e G(x)   0 per x   x0 4. k   f(x)   k   L k  R

35. ARITMETIZZAZIONE PARZIALE DI   L  R 1. L       5. L      sse L   0 2.         6. L / 0    sse L   0 3.         7. L /    0 4.      

36. FORME INDETERMINATE Nessuna regola può essere stabilita a priori per determinare il risultato 1.      5. 1   2. 0    6. (   ) 0 3.   /   7. 0 0 4. 0 / 0

37. TEOREMA DELL’ESISTENZA DEL LIMITE PER UNA FUNZIONE MONOTONA ( ) , ( : monotona una è f funzione       f a b R a b ) crescente    lim  f ( x ) inf Im( f ) lim x  f ( x ) sup Im( f )   x a b Analogamente se f è una funziona monotona decrescente:    lim x  f ( x ) sup Im( f ) lim x  f ( x ) inf Im( f )   a b L=0 L=0 sup Im(f ) sup Im(f ) inf Im(f ) inf Im(f ) a b a b

38. CONTINUITÀ DEFINIZIONE Sia f: I  R  R , x0 I e punto di accumulazione per la funzione f si dice che la funzione f è continua in x0 se: lim 0 x x     ( ) ( ) f x f x 0 formalmente, secondo la definizione topologica di limite:     > 0    > 0 : |x   x0|<    |f(x) – f(x0)|<   se x è vicino a x0 f(x) è vicina a f(x0) Graficamente, la continuità in x0 consiste nel fatto che punti vicini a x0 sono trasformati tramite f in punti vicini a f(x0)             lim lim ( ) ( ) f x f x f x 0             x x x x 0 0 l’operazione di limite può essere portata “all’interno” della funzione sostituendo la variabile x con il valore x0 a cui essa tende

39. CONTINUITÀ Una funzione f(x) è CONTINUA IN UN INTERVALLO A   D se è continua in tutti i punti dell’intervallo A y h(x) o o  o x1 x x3 x2 O La funzione h(x) è continua nell’insieme (x1, x2)   (x2, x3), ma non è continua né in x2 né in x3

40. DISCONTINUITÀ PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE o DISCONTINUITÀ A SALTO salto della funzione : |L1-L2| Anche se si ridefinisce f(x0) non è possibile rendere f(x) una funzione continua in quel punto     lim ( ) lim ( ) f x L 1 f x L 2   0   0     x x x x     1 , , L L L L R 1 1 1 y O O x0 x

41. DISCONTINUITÀ PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE o DISCONTINUITÀ A SALTO ESEMPIO f(0) non può essere calcolato x     lim 1     | x | x 0

42. DISCONTINUITÀ PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE quando almeno uno dei limiti è infinito o non esiste     lim   ( ) lim x   ( ) f x L f x L 1 2     x x x 0 0   * L o L R 1 1 y y y   O x0 x0 x0 x x x x0 non  lim x0 diverge non definita 1   1 x     ( ) g x e ( ) f x sen ALTRI ESEMPI : x

43. DISCONTINUITÀ PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI TERZA SPECIE o ELIMINABILE quando almeno uno dei limiti è infinito o non esiste       lim ( ) ( ) f x L R f x L 0   x x 0 g(x) y O  x0 x     ( ) f x x x 0      ( ) g x      L x x 0

44. TEOREMA DEGLI ZERI Data una funzione reale f, si chiama zero o radice di f ogni punto x0∈ ∈ dom(f) in cui f si annulla: f(x0)= 0 Sia 1. f continua in [a, b] 2. f(a)  f(b)  0 f(a)    c  (a, b) : f(c) = 0  a cb f(b) Se inoltre: 3. f è strettamente monotona   lo zero è unico Se non fossero soddisfatte le ipotesi:  a b   a b f NON È CONTINUA IN I IL DOMINIO NON È UN INTERVALLO

45. TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI Sia f una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] Allora f assume tutti i valori compresi tra f (a) e f (b)

46. TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI COROLLARIO Sia f una funzione continua in un intervallo A Allora l’immagine f (A) dell’intervallo A tramite f è ancora un intervallo

47. TEOREMA DI WEIERSTRASS Ogni funzione   continua e definita in un intervallo   chiuso e   limitato ha sempre almeno un punto di minimo e almeno un punto di massimo Se non valesse una delle ipotesi: o o   o o (a, b) non è limitato f non è continua in [a, b] (a, b) non è chiuso

48. TEOREMA DI DARBOUX Sia f una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a, b] Allora f assume tutti i valori compresi tra     m min [a, x   f(x) e M max [a, x   f(x) b] b] M M y2 a b a b y1 m m Il teorema è una conseguenza del teorema di Weierstrass e del teorema dei valori intermedi

49. TEOREMA DI DARBOUX M a b m FORMALMENTE Sia f : [a, b]  R, continua in [a, b] detti m= minf e M = maxf punto di min e max per f: Im[a, b] = [m, M]     [m, M]  x0  [a, b] : f(x0) = 

50. TEOREMA Sia f una funzione continua su un intervallo I Allora f è iniettiva se e solo se è strettamente monotona su I   f continua sull’intervallo I   f continua sull’intervallo I   NON monotona   monotona   NON iniettiva su I   iniettiva su I