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Funciones

Formas de representación. ¿ Qué es una función?. Tipos. Funciones. Generalidades. Propiedades. Clasificación. ¿Qué es una función ?.

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  1. Formas de representación ¿Qué es una función? Tipos Funciones Generalidades Propiedades Clasificación

  2. ¿Qué es una función? Una función es una regla de asociación que relaciona el conjunto de llegada y el conjunto de salida. Esta regla no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del rango. • No estamos en presencia de una función cuando: • De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha. • De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas. 1 2 3 4 5 a b c d e X Y

  3. Formas de representar una función Numérica Visual Algebraica Verbal por medio de por medio de por medio de por medio de 1 2 3 4 5 a b c d e tablas diagramas y graficas palabras fórmulas X Y • E(t) son los estudiantes del colegio en el instante t. Y=2x+4 x 1 2 3 4 5 … y 11 12 13 14 15…

  4. Variable dependiente - Variable independiente Dominio - Rango GENERALIDADES Intercepto en el eje X - Intercepto en el eje Y Conjunto de llegada - Conjunto de salida

  5. El otro conjunto llamado RANGO,es la gama de valores que toma la función; en el caso del plano cartesiano son todos los valores que toma la función o valores en el eje y. El DOMINIOes el conjunto de elementos formado por las pre imágenes, generalmente cuando se habla del plano cartesiano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje x, y que nos generan una asociación en el eje y.

  6. La VARIABLE INDEPENDIENTE no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x. Las VARIABLES DEPENDIENTES como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.

  7. El INTERCEPTO EN EL EJE Y se halla reemplazando a x por 0, y el INTERCEPTO EN EL EJE Xse halla igualando la función a 0 y solucionando la ecuación resultante.

  8. El CONJUNTO DE LLEGADA contiene los elementos que son la imagen de los valores del conjunto de salida. • El CONJUNTO DE SALIDA se llama al conjunto que contiene los elementos del dominio de una función.

  9. Función Impar • Función Par PROPIEDADES • Función Decreciente • Función Creciente

  10. FUNCIÓN PAR • Si f(x) = f (-x). • Ejemplo: La función es par pues se obtienen los mismos valores de y independientemente del signo de x. • La función es par ya que f (-x) = = Simétricas con respecto al eje Y.

  11. FUNCIÓN IMPAR • Si f(x) = -f (-x). • Ejemplo: La función y(x)=x es impar ya que: f (-x) = -x pero como f(x) = x entonces: f(-x) = - f(x). Simétricas con respecto al eje de las coordenadas.

  12. La función es creciente cuando al aumentar los valores de X, aumenta Y. • FUNCIÓN CRECIENTE

  13. La función es decreciente cuando al aumentar los valores de X, disminuye Y. • FUNCIÓN DECRECIENTE

  14. Función Sobreyectiva CLASIFICACIÓN • Función Inyectiva • Función Biyectiva

  15. Una función es INYECTIVA,si en el conjunto A no hay dos o más elementos que tengan la misma imagen. 1 2 3 4 5 a b c d e • FUNCIÓN INYECTIVA X Y

  16. Una función es SOBREYECTIVA, si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f. 1 2 3 4 5 a b c d e • FUNCIÓN INYECTIVA X Y

  17. Una función es BIYECTIVA, si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez. 1 2 3 4 5 a b c d e • FUNCIÓN BIYECTIVA X Y

  18. TIPOS DE FUNCIONES Exponencial Por partes Trigonométrica Valor absoluto Polinómica Racional Logarítmica Grado impar Grado cero Grado par Cuadrática Lineal Cúbica Constante Lineal Afín Idéntica

  19. Se llama FUNCIÓN POLINÓMICA a toda aquella que está definida por medio de polinomios. Grado Nombre Expresión 0 Constante y= a 1 Lineal y= ax + b 2 Cuadrática y= ax2 + bx + c 3 Cúbica y= ax3 + bx2 + cx + d Dominio= Conjunto de Salida= Reales Conjunto de llegada=Reales

  20. FUNCIONES DE GRADO PAR Son funciones en las que el máximo grado de un término de la ecuación es un número par. y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e

  21. FUNCIONES DE GRADO IMPAR Son funciones en las que el mayor grado del polinomio es impar. y= ax(2n-1) + bx(2n-1)-1 + cx(2n-1)-2 + … + dx + e

  22. LINEAL En la ecuación Y= mx + n, n indica el punto de corte con y, el desplazamiento vertical de la función. y - x son dos variables Dominio= Conjunto de Salida= Reales Rango= Reales (con excepción a la función constante). Conjunto de llegada = Reales. m es una constante que se denomina pendiente que indica el grado de inclinación de la recta y se halla mediante la ecuación: Si m > o: la función es creciente Si m < 0: la función es decreciente Si m = 0: la función es constante

  23. LINEAL Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = mx • Ejemplo: y = 2x • Elementos • Punto de corte con x: 0 • Punto de corte con y: 0 • Conjunto de salida= Reales • Conjunto de llegada= Reales • Dominio= Reales • Rango= Reales • Pendiente = 2

  24. AFIN Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = mx + n, y tiene un desplazamiento vertical. • Ejemplo: y = 2x+3 • Elementos • Punto de corte con x: • Punto de corte con y: 3 • Conjunto de salida: Reales • Conjunto de llegada: Reales • Dominio: Reales • Rango: Reales • Pendiente: 2

  25. Cuando m<0, n>0 la gráfica es Cuando m>0, n>0 la gráfica es AFIN Cuando m<0, n<0 la gráfica es Cuando m>0, n<0 la gráfica es

  26. IDÉNTICA Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = x La pendiente es igual a 1 y no esta desplazada verticalmente A cada número del eje de abscisas le corresponde el mismo número en el eje de ordenadas, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas . • Ejemplo: y = x • Elementos • Punto de corte con x = 0 • Punto de corte con y = 0 • Conjunto de salida = Reales • Conjunto de llegada = Reales • Dominio = Reales • Rango =Reales

  27. CÚBICA Es una función polifónica de grado 3, cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: • Ejemplo: y = 2 x³ + 4 x² + 3 x + 2 • Elementos • Punto de corte con x = -1.5 • Punto de corte con y = 2 • Conjunto de salida = Reales • Conjunto de llegada = Reales • Dominio = Reales • Rango = Reales • F(x) > 0 en x ∈ (-1.5, infinito) • F(x) < 0 en x ∈ (-1.5, -infinito)

  28. Es una función polifónica cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: • y= ax2+bx+c CUADRÁTICA • Donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0. • La parábola es forma de la función cuadrática, tiene un eje de simetría, se divide exactamente en dos, un lado es el reflejo del otro lado. • En la función cuadrática c indica el punto de corte con y. • Para hallar el punto de corte en x se utiliza la ecuación: X= • Puede ser vertical abierta hacia arriba, con mínimo relativo; o puede ser vertical abierta hacia abajo, con un máximo relativo. • El rango es desde el máximo o mínimo relativo, hasta infinito. • Ejemplo:y= 2x2+5x+4 • Elementos • Punto de corte con y = 4 • Conjunto de salida = Reales • Conjunto de llegada = Reales • Dominio = Reales • Rango: [, infinito) • Los mínimos o máximos relativos son los puntos más altos y más bajos donde llega la parábola, se usa la ecuación:

  29. Ejemplo:y = 2 • Elementos • Punto de corte con y = 2 • Conjunto de salida = Reales • Conjunto de llegada = Reales • Dominio = Reales • Rango = {a} • Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = a, donde a pertenece a los números reales. No depende de ninguna variable CONSTANTE

  30. VALOR ABSOLUTO La función de valor absoluto se define por la ecuación: PROPIEDADES No negatividad Definición positiva Propiedad multiplicativa: |ab| = |a||b| Propiedad aditiva: |a + b| ≤ |a|+|b| Simetría: |-a| = |a| Identidad de indiscernibles : |a-b|= 0 a=b Desigualdad triangular: |a-b| ≥ |a-c|+ |c-b| El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta si su signo es positivo o negativo, ya que nunca será negativo. Rango= (mínimo, ∞) o ( - ∞, máximo) • Ejemplo:y= IxI • Elementos • Punto de corte con y = no hay • Punto de corte con x= no existe • Conjunto de salida = Reales • Conjunto de llegada = Reales • Dominio = Reales • Rango = (0, ∞)

  31. VALOR ABSOLUTO • Para un desplazamiento horizontal: • Ejemplo: y= Ix + 5I • Dominio= Reales • Conjunto de salida= Reales • Rango= (0, ∞) • Conjunto de llegada= Reales • Punto de corte con x= No existe • Punto de corte con y= 5 • Desplazamiento horizontal= 5 • Para un desplazamiento vertical: • Ejemplo: y= IxI + 2 • Dominio= Reales • Conjunto de salida= Reales • Rango= (2, ∞) • Conjunto de llegada= Reales • Punto de corte con x= No existe • Punto de corte con y= 2 • Desplazamiento vertical = 2

  32. RACIONAL La función racional está definida por una expresión algebraica que es el cociente de dos polinomios: La variable X no puede tomar el valor que hace cero al denominador, por eso, el dominio de Yes el conjunto de todos los números reales excepto los ceros de Q. Las asíntotas de una función, son líneas a la que la grafica de la función se aproxima cada vez mas cuando se va a lo largo de esta línea, más nunca la toca.. HORIZONTALES VERTICALES Se hallan por medio de la ecuación: • 1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal. • 2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal. • 3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales. Es el valor que no pertenece al dominio de la función, pero tampoco la anula. Se hallan igualando el denominador a 0.

  33. PASOS PARA SOLUCIONAR UNA FUNCIÓN RACIONAL Se factoriza el numerador y el denominador. Se hallan los puntos de corte con x: las raíces del numerador. Se halla el punto de corte con y: sustituyendo a x por 0. Se hallan las asíntotas verticales: las raíces del denominador. Se hallan las asíntotas horizontales: (cementerio) Para saber si es – o +, y luego se halla.

  34. EXPONENCIALES La función exponencial se define por la ecuación: y= ax Cuando a<1, la función es decreciente. Cuando a>1, la función es creciente. a y x son números reales Donde a ≠ 0 y a≠1 • Ejemplo: y= 2X • Dominio= Reales • Rango= (∞, 0) • Conjunto de salida= Reales • Conjunto de llegada= Reales • Asíntota en y=0 • Punto de corte con y= 1 • Función creciente Exponencial natural desplazamiento vertical desplazamiento horizontal e=2.2

  35. EXPONENCIALES y=ax y=ax Para 0<a<1 Para a>1 y= -ax y= -ax Para a>1 Para 0<a<1

  36. LOGARÍTMICA La función logarítmica se define por la ecuación: y= loga x Solo esta definida en los números positivos. PROPIEDADES cambio de los logaritmos de una base a logaritmos de otra base por medio de la ecuacion: Desplazamiento vertical Desplazamiento horizontal

  37. LOGARÍTMICA Conjunto de salida=Dominio=IR+ Conjunto de llegada=IR= Rango Asíntota en x=0 Función creciente

  38. FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS (periódicas)

  39. FUNCION SENO Conjunto de salida = Dominio = IR Conjunto de llegada = IR Rango = [-1;1] Funciónperiódica sin discontinuidades Periodo: 2

  40. FUNCIONCOSENO Conjunto de salida = Dominio = IR Conjunto de llegada = IR Rango = [-1;1] Funciónperiódica sin discontinuidades Periodo: 2

  41. FUNCIONTANGENTE Conjunto de salida = Dominio = IR – { (2n-1) Conjunto de llegada = IR Rango = IR Periodo: Asíntotasverticales en x={ (2n-1)

  42. FUNCIONCOTANGENTE Conjunto de salida = Dominio = IR – { n Conjunto de llegada = IR Rango = IR Periodo: Asíntotasverticales en x={ n

  43. FUNCIONSECANTE Conjunto de salida = Dominio =IR– { (2n-1) Conjunto de llegada = IR Rango = IR - (-1;1) Periodo: Asíntotasverticales en x= { (2n-1)

  44. FUNCIONCOSECANTE Conjunto de salida = Dominio =IR– { n Conjunto de llegada = IR Rango = IR - (-1;1) Periodo: Asíntotasverticales en x= { n

  45. IDENTIDADESTRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS

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