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FUNCIONES

FUNCIONES. 1º BACHILLERATO. Dominios:. y = cos D = R-{ - , } y = tag = D = (R-{2}) (R-{2 }) – {x = 0} = R-{2} – {x = + k = R-{2, +2}. PROPIEDADES GLOBALES. 1- Dominio = (i.e. valores de x (de izquierda a derecha) que tienen imagen )

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  1. FUNCIONES 1º BACHILLERATO

  2. Dominios: • y = cosD = R-{ -, } • y = tag = D = (R-{2})(R-{2}) – {x = 0} = R-{2} – {x = + k = R-{2, +2}

  3. PROPIEDADES GLOBALES

  4. 1- Dominio= (i.e. valores de x (de izquierda a derecha) que tienen imagen) 2- Imagen o recorrido= {y (i.e. valores de y (de abajo a arriba) que proceden de alguna x) 3- Puntos de corte con los ejes de coordenadas: Eje x: y = 0 Eje y: x = 0 4- Continuidad:una función es continua si se representa de un solo trazo. En los puntos donde haya que levantar el lápiz del papel se dice que la función es discontinua. Tipos de discontinuidad en x = x0 - Evitable: si f(x0) o - De salto finito: si y ambos son números reales - De salto infinito: si alguno de los límites laterales en x0 es

  5. 5- Simetría: (i.e.. f(x) es par si al doblar respecto del eje de ordenadas la gráfica coincide y es impar si al doblar respecto de ambos ejes la gráfica coincide 6- Periodicidad:f(x) es periódica de periodo T (T positivo) si f(x+kT) = f(x) , con k (i.e.: si la gráfica se repite en intervalos de longitud T) 7- Monotonía: - f(x) es estrictamente creciente en x ϵ (a,b) x1y x2 ϵ (a,b) con x1 < x2 f(x1) < f(x2) - f(x) es estrictamente decreciente en x ϵ (a,b) x1 y x2 ϵ (a,b) con x1<x2 f(x1) > f(x2)

  6. 8- Extremos relativos: - f(x) tiene un Máximo relativo en x = x0si un intervalo abierto que contenga a x0 donde f(x0) sea el mayor valor que alcanza la función. - f(x) tiene un mínimo relativo en x = x0si un intervalo abierto que contenga a x0 donde f(x0) sea el menor valor que alcanza la función. 9- Extremos absolutos: - f(x) tiene un Máximo absoluto en x = x0si f(x0) es el mayor valor que alcanza la función - f(x) tiene un mínimo absoluto en x = x0si f(x0) es el mayor valor que alcanza la función

  7. 10- Concavidad: - f(x) es cóncava hacia el eje positivo de las Y enx ϵ (a,b) - f(x) es cóncava hacia el eje negativo de las Y enx ϵ (a,b) . 11- Puntos de inflexión: f(x) tiene un punto de inflexión en x = x0 si existe un intervalo abierto que contenga a x0 donde f(x) tenga un tipo de concavidad a cada lado de x0.

  8. 12- Asíntotas: - f(x) tiene una asíntota vertical en x = x0 si al aproximarse x a x0, f(x) se aproxima a - fx) tiene una asíntota horizontal en y = y0si al aproximarse x a + o -, f(x) se aproxima a y0 - f(x) tiene una asíntota oblicua en y = mx + n si al aproximarse x a + o -, f(x) se aproxima a la recta oblicua

  9. D= (- • I = R • Puntos cortes ejes: (0,0) • Continuidad: continua en R-{1}, en x = 1 DSI • No simétrica • No periódica • Monotonía: crece de (-, decrece de (1,3), crece de (3, • Extremos relativos: m.r (3,6.5) • Extremos absolutos: no hay • Concavidad: hacia abajo (- • Puntos de inflexión: (0,0) • Asíntotas: - verticales: x = 1 - oblicuas: y = x+2

  10. D = R • I = [0,2] • Cortes ejes: (0,1), (1,0) • Continua en R • No simétrica • No periódica • Monotonía: crece (, decrece (-1,1), crece (1, • Extremos relativos: M.r. (-1,2), m.r. (1,0) • Extremos absolutos: M.a. (-1,2) , m.a. (1,0) • Concavidad: hacia arriba de (-, hacia debajo de (-1.5,0), hacia arriba (0,1.5), hacia abajo (1.5, • Puntos inflexión: x = -1.5, x = 0, x = 1.5 • Asíntotas: horizontal: y = 1

  11. FUNCIONES ELEMENTALES

  12. FUNCIONES POLINÓMICAS DE 1º GRADO y = mx + n • y = mx + n • D = R • Representación: recta • Basta calcular dos puntos para representarla • m = pendiente • n = lugar donde corta al eje Y

  13. Ejemplos: • Tienes ejemplos de rectas en los archivos de geoegebra Y en la siguiente página Web • http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/f1_lineal.html

  14. FUNCIONES POLINÓMICAS DE 2º GRADO – CUADRÁTICAS: y = ax2 • y = ax2 • D = R • Representación: parábola • Basta calcular el vértice (0,0), el eje de simetría ( x = 0) y un punto para representarla cuanto mayor es su valor, más cerrada es la parábola

  15. Ejemplos: • Tienes ejemplos de y = ax2 en los archivos de geogebra Y en la siguiente página Web • http://platea.pntic.mec.es/curso20/100_tic_matematicas_iniciacion/2010/html1/index.html

  16. Traslaciones: • y = a(x)2 Traslación horizontal • y = ax2 Traslación vertical • y = a(x )2 Traslación horizontal y vertical

  17. Ejemplos: • Tienes ejemplos de parábolas desplazadas en los archivos de geogebra Y en la página: • http://www.geogebra.org/en/upload/files/mluisamh/FUNCIONES/CUADRATICA/5.FunciontipoV.html

  18. y = ax2 + bx + c • Es una parábola elemental trasladada • Para representarla se puede: • Poner como: y = a(x )2 Ó • Calcular el vértice (-b/2a, f(-b/2a)), y sabiendo que el eje de simetría es x = -b/2a, calcular otro punto de la gráfica. Si corta a los ejes de coordenadas, también se pueden calcular estos puntos.

  19. Ejemplo:representar y = x2 – 4x + 7 • y = (x-2)2 + 3 ó • Vértice (-b/2a = 2, f(2) = 3), eje de simetría x = 2, imagen de otro punto (3, 4)

  20. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: y = • y = • D = R – {0} • Representación: hipérbola cuanto mayor es su valor, más cerrada es la hipérbola. • Asíntota vertical: x = 0 • Asíntota horizontal: y = 0

  21. Ejemplos: • Tienes ejemplos de hipérbolas en los archivos de geogebra Y en la página: • http://www.geogebra.org/en/upload/files/mluisamh/FUNCIONES/PROPORCIONALIDAD%20INVERSA/1.Fpinversa.html

  22. Traslaciones: D = R– {x que anulen al denominador} • y = • y = • y = • Al desplazarse una hipérbola, cambian sus asíntotas • Desplazamiento vertical: cambio A.H, y = c • Desplazamiento horizontal: cambio A.V, x = -b

  23. Ejemplos: • Tienes ejemplos de hipérbolas desplazadas en los archivos de geogebra Y en la página: • http://web.educastur.princast.es/ies/rosarioa/archivos/matematicas/proporInver.html

  24. y = también es una hipérbola Pero, estudiaremos las más simples, que son de la forma y = Ejemplo: y = = 1 + http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/FuncRacional.html

  25. FUNCIÓN RADICAL PAR: y = • y = • D = R+ • Representación: Ejemplos: en los archivos de geogebra y en: http://www.geogebra.org/en/upload/files/ElizabethdeHaro/Funciones_con_radicales_1.html (solo traslados horizontales o verticales)

  26. FUNCIÓN EXPONENCIAL: y = ax, a>0, • y = ax • D = R • Representación: • Pasa por el punto (0,1) • Asíntota horizontal : y = 0

  27. Ejemplos: • http://www.geogebra.org/en/upload/files/inma_gijon_cardos/Funciones/Exponencial/exponencial.html • Traslaciones: se debe observar el cambio de corte con el eje Y y el cambio de asíntota cuando ocurra • Tienes ejemplos de traslaciones de la función exponencial en los archivos de geogebra

  28. FUNCIÓN LOGARÍTMICA: y = logax, a • y = logax • D = (0,) • Representación: • Pasa por el punto (1,0) • Asíntota vertical: x = 0

  29. Ejemplos: • Traslaciones: se debe observar el cambio de corte con el eje X y el cambio de asíntota cuando ocurra - Tienes ejemplos de funciones logarítmicas trasladadas en los archivos de geogebra

  30. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS • FUNCIÓN SENO: y = sen x • Dominio R • Periódica de período T = 2

  31. FUNCIÓN COSENO: y = cos x • Dominio R • Periódica de período T = 2

  32. FUNCIÓN TANGENTE: y = tag x • Dominio R – {+k, k • Periódica de período T = • Asíntotas verticales: x = +k, k

  33. Traslaciones: • No varía el período. • En la tangente varían las asíntotas verticales - Tienes ejemplos de traslaciones de funciones trigonométricas en los archivos de geogebra Y en: http://www.geogebra.org/en/upload/files/Ferito/Grafica_y_variaciones_de_la_funcion_SENO.html

  34. Deformaciones: • En el caso de que y = f(ax) o y = f(x/a), el período varía, quedando dividido o multiplicado por a, respectivamente. • En el caso de que y = af(x), no varía el período • Tienes ejemplos de funciones trigonométricas deformadas en los archivos de geogebra Y en: • http://www.telefonica.net/web2/lasrotas/ficheros/Geogebra/Funcion_coseno.html

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