funciones

1. funciones Por: Melissa Rascovsky, Melissa Sasson y Sergio Garrido Para: Patricia Cáceres Colegio Colombo Hebreo Àrea De Matemàticas Dècimo grado Bogota d.c

2. FUNCIONES ¿Qué es una función? Funciones crecientes, decrecientes y tasa de cambio promedio Gráficas de funciones Elementos de una función Transformaciones de funciones

3. ¿Qué es una función? Representación de una función Como reemplazar Dominio Definición de función Una función es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x),en un conjunto B. se debe reemplazar el numero en la variable independiente (x), para hallar Y. Verbal Algebraica Visual Numérica Es el conjunto de elementos que tienen imagen. • El símbolo f(x) se llama el valor de f en x. • El conjunto A se llama dominio de la función. • El rango de f es el conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x). • La variable independiente (x) es la que no varia dependiendo de la otra. • La variable dependiente (y) es la que varia dependiendo del desplazamiento de x.

4. Elementos de una función Conjunto de salida rango Función Sobreyectiva dominio Conjuntode llegada Función Biyectiva Función Inyectiva

5. Gráficas de funciones Graficación de funciones definidas por partes Ecuaciones de funciones Graficación Funciones lineales f(x) = mx + b Funciones exponenciales f(x) = x^n Funciones de raiz f(x) = x Funciones recíprocas f(x) = 1/x^n Función valor absoluto f(x) =IxI f(x)= mx + b(se llama función lineal) f(x)= b (se llama función constante) Se define mediante formulas distintas en su dominio, depende de la variable independiente x.

6. Funciones crecientes y decrecientes, tasa de promedio Funciones crecientes Tasa de cambio promedio Funciones decrecientes Es la pendiente de la recta secante entre x=a y x=b en la grafica de f, es decir, la recta que pasa por (a, f(a)) y (a, f(b)). Se dice que es creciente cuando la grafica sube, asciende desde (-00, 00) en Y. Se dice que es decreciente Cuando la grafica baja, desciende de (00, -00) Es decir con respecto a Y. Tasa de cambio promedio = cambio en y / cambio en x

7. Transformaciones de funciones Desplazamiento(acortar, alargar) vertical Desplazamiento( alargar o acortar) horizontal Desplazamiento horizontal Desplazamiento vertical y= f(x + c) desplaza la grafica c unidades a la izquierda y si se resta desplaza hacia la derecha. y= f (x - c) Para alargar una grafica se divide por un numero 1/a, a es mayor que 1. Para acortar la grafica se divide por un numero 1/a, cuando a es menor 1, pero positivo. Sumar una constante a la función vertical: se desplaza hacia arriba si la constante es positiva y hacia abajo si es negativa. Para alargar verticalmente una grafica se multiplica por un numero c mayor que 1. Para acortar la grafica se multiplica por un numero a menor que uno pero positivo, entre 1 y 0.

8. Conjunto de salida Es el conjunto de números que son llamados conjunto A y son las pre imágenes, cada elemento debe estar relacionado una ves con un elemento del conjunto de llegada B y posee una imagen. Por lo general reales.

9. Conjunto de llegada Es el conjunto de números del conjunto B, llamados imágenes, y están relacionados con los elementos del conjunto A. Generalmente son reales.

10. rango Es el conjunto de imágenes, el conjunto de números que se relacionan una ves con los elementos del conjunto A.

11. dominio Es el conjunto de pre imágenes, el conjunto de números que del conjunto A están relacionados una ves con un solo elemento del conjunto B. Generalmente reales.

12. Función inyectiva si todos los elementos del dominio están relacionados una sola vez con un elemento del rango. No puede haber dos o mas elementos del dominio con la misma imagen. cuando f(x) = f(y), x = y. Ejemplo: f(x) = x+5 del conjunto de los números reales es una función Inyectiva A B C D 1 2 3 4 5

13. Función sobreyectiva si a cada elemento del dominio le corresponde un elemento del rango. F(x)=B Ejemplo: la función f(x) = 6x del conjunto de los números naturales al de los números pares es Sobreyectiva. 1 2 3 4 5 D F G H i

14. Funciónbiyectiva 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 Todos los elementos del conjunto A tienen una imagen distinta en el conjunto B (Inyectiva), cada elemento del conjunto A le corresponde un elemento del conjunto B (Sobreyectiva). Es Inyectiva y Sobreyectiva a la ves. Ejemplo: La función f(x) = 3x del conjunto de números reales es Inyectiva y Sobreyectiva. Por lo tanto es Biyectiva.

15. Funciones Polinómicas Otras Lineal Constante Grado par Grado impar Cuadrática Lineal Cúbica Afín Lineal Identidad Valor absoluto Logarítmica Racional A trozos Exponencial Trigonométrica

16. Polinómicas Son aquellas funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Dominio= Conjunto de Salida= IR Conjunto de llegada= IR • donde es un polinomio en ,, es decir, una suma finita de potencias de multiplicados por coeficientes reales.

17. Ejemplo:

18. Funciones de grado par Son funciones que como máximo grado de un término es un número par. Está dada por la ecuación: Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada=IR Rango =(depende de la función, de sus máximos y mínimos.) Punto de corte con y= igualando x a 0 Puntos de corte con x= igualando y a 0 Vértice= +-b/2a Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada =IR Rango= máximos y mínimos. F(x) ≥0 en x IR positivos. F(x) ≤0 en x IR negativos Por lo general es la función cuadrática.

19. Funciones de grado impar Son funciones en las cuales el máximo grado de un término es un número impar . Está dada por la ecuación: Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada=IR Rango =IR en la función constante el rango es la variable f(x)=a Función cúbica Punto de corte con y= igualando x a 0 Punto de corte con x= igualando y a 0 Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada =IR Rango= IR F(x) ≥0 en x IR positivos F(x) ≤ 0 en x IR negativos Se divide en función cúbica y lineal.

20. Lineal • Un polinomio de primer grado de una variable real es una función matemática de la forma: • F(x)= mx + b • donde m y b son constantes. La función lineal , pasa por el punto (0,0) como origen a diferencia de la función lineal afín. • Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente • m es denominada la pendiente de la recta. • b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b).

21. Ejemplo: Pendiente: Y = 5x

22. Afín Una función lineal afín es aquella cuya expresión matemática viene dada por: Y= mx + n donde x e y son variables, m una constante que se denomina pendiente y n otra constante denominada ordenada en el origen. Su gráfica es una recta que corta al eje de ordenadas en . • La pendiente m de una recta mide la inclinación de la siguiente manera: • Si M>0 la función es creciente. • Si M=0 la función es decreciente. • Si M<0 la función es constante (recta horizontal). La pendiente de una recta se puede hallar de la siguiente manera: para lo cual es necesario disponer de dos puntos de la recta y hallar las variaciones restando sus coordenadas x e  y   respectivamente.

23. Ejemplo: Y=4x+2

24. Identidad Una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento. f(x)=x / f(x)=y • La función identidad puede describirse de la forma siguiente:

25. Ejemplo: F(x)=x

26. Constante Se llama función Polinómicas de grado cero o función matemática constante a la que no depende de ninguna variable, se la representa de la forma: F(x)= a donde a es la constante.

27. Ejemplo: Y= 5

28. Función cuadrática Una función cuadrática, es una función polinómica de grado par, que tiene como máximo grado el numero 2. se define por la siguiente ecuación: Para hallar el mínimo y máximo relativos, se usa la ecuación: x= -b 2a Conjunto de salida: IR= dominio Conjunto de llegada= IR Rango= (máximos y mínimos de la función) Punto de corte con y= c Pun to de corte con x=

29. Función:

30. Función cúbica Es una función polinómica de grado impar, cuyo grado mayor en el termino de la ecuación es de 3. Se da por la siguiente ecuación: Conjunto de salida= IR=dominio Conjunto de llegada= IR= rango Punto de corte con y= d Punto de corte con x= factorizacion( teorema del factor)

31. Función=

32. Referencias de consulta • http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_de_tercer_grado • http://es.wikipedia.org/wiki/Función_cuadrática • http://es.wikipedia.org/wiki/Función_matemática • http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones.htm • http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/estructural/libro/estructural/node29.html