Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół Agrobiznesu im. Dezyderego Chłapowskiego w Rogoźnie • ID grupy: 97/77_mf_g1 • Opiekun: Katarzyna Dworzańska - Data • Kompetencja: • Matematyczno- fizyczna • Temat projektowy: • „Metody kombinatoryczne w rachunku prawdopodobieństwa” • Semestr/rok szkolny: • Semestr I (zimowy) rok szkolny 2011/2012

3. Spis treści: • Wprowadzenie • Permutacje • Wariacje bez powtórzeń • Wariacje z powtórzeniami • Kombinacje • Permutacje - zadania • Wariacje bez powtórzeń - zadania • Wariacje z powtórzeniami - zadania • Kombinacje - zadania • Zadania dotyczące zastosowania elementów kombinatoryki w zadaniach.

4. Wprowadzenie • Witamy! Jesteśmy grupą ASÓW z Rogoźna. • Nasza prezentacja będzie dotyczyła zastosowania elementów kombinatoryki w rachunku prawdopodobieństwa. • Czym jest kombinatoryka? To pytanie nasunęło się nam, kiedy usłyszeliśmy brzmienie tematu. • W kombinowaniu to my jesteśmy nawet zaawansowani, pomyśleliśmy, ale niemożliwe, aby zwykłe uczniowskie unikanie obowiązków było przedmiotem zajęć.

5. Jesteśmy uczniami klasy trzeciej technikum i rachunek prawdopodobieństwa nie był nam jeszcze do tej pory znany. Zgłębialiśmy temat na kolejnych zajęciach i już wiemy, że • Kombinatoryka, to mówiąc krótko, teoria obliczania licznych elementów zbiorów, które są skończone.

6. Na początek przedstawimy tzw. teorię dotyczącą elementów kombinatoryki, w dalszej części przykłady na permutacje, wariacje i kombinacje, a następnie zadania właściwe na ich zastosowanie. • Niektóre z tych zadań pochodzą ze zbiorów zadań, • a część jest naszą skromną twórczością.

7. Permutacje • Permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg otworzony ze wszystkich elementów danego zbioru. Liczbę permutacji obliczamy ze wzoru: • Kolejność występowania wyrazów ma tutaj znaczenie.

8. Przykłady: • Permutacje zbioru ab • 2-elementowego: a,b ba • Permutacje zbioru abc bac cab • 3-elementowego: a,b,c acb bca cba

9. Wariacje bez powtórzeń • k-wyrazową wariacją bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg i wyrazach różnych należących do n-elementowego zbioru. Liczbę wariacji bez powtórzeń obliczamy ze wzoru: • Kolejność wyrazów ma znaczenie.

10. Przykłady: 2-wyrazowe wariacje ab ba ca bez powtórzeń ze zbioru acbccb 3-elementowego: a, b, c 3-wyrazowe wariacje abc baccabdab bez powtórzeń ze zbioru abdbadcaddac 4-elementowego: a, b, c, d acbbcacba dba acdbcdcbddbc adbbdacdadcaadcbdccdbdcb

11. Wariacje z powtórzeniami • k-wyrazową wariacją z powtórzeniami ze zbiorun-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg o wyrazach należących do n-elementowego zbioru. Wyrazy mogą się powtarzać. Liczbę wariacji z powtórzeniami obliczamy ze wzoru: • Kolejność wyrazów ma znaczenie.

12. Przykłady: • 3-wyrazowe wariacje aaa baa • z powtórzeniami ze zbioru aab bab • 2-elementowego: a,b aba bba • abb bbb • 2-wyrazowe wariacje aa ba ca • z powtórzeniami ze zbioru ab bb cb • 3-elementowego: a, b, c ac bc cc

13. Kombinacje • Kombinacją k-elementową ze zbioru n-elementowego nazywamy dowolny podzbiór k-elementowy danego zbioru n-elementowego. W podzbiorach kolejność elementów nie jest ważna. Liczbę kombinacji obliczamy ze wzoru; • Kolejność wyrazów nie ma tutaj znaczenia.

14. Przykłady: 2-wyrazowe kombinacje ze zbioru {a,b} 3-elementowego: a,b,c{a,c} {b,c} 3-wyrazowe kombinacje ze zbioru {a,b,c} 4-elementowego: a,b,c,d{a,b,d} {a,c,d} {b,c,d}

15. Permutacje zadania: • Zadanie 1 • Na ile sposobów można ustawić 7 osobową kolejkę? • P = 7!= 5040 • Odp. Siedem osób w kolejce można ustawić na 5040 sposobów. • Zadanie 2 • Na ile sposobów może ustawić się w szeregu grupa 4 chłopców i 4 dziewcząt, tak aby dwie osoby tej samej płci nie stały obok siebie? • W szeregu tym 4 chłopców możemy ustawić na 4! sposobów oraz 4 dziewcząt możemy także ustawić na 4! sposobów. Szereg ten jednak może zaczynać się od chłopca albo dziewczynki, więc mamy dodatkowo 2 różne ustawienia. • Rozwiązaniem jest 2 · 4! · 4! = 2∙24∙24= 1152 sposobów.

16. Zadanie 3 • Iloma sposobami można ustawić osiem nierozróżnialnych wież na szachownicy 8 na 8 tak, aby żadne dwie wieże nie atakowały się wzajemnie? • Aby osiem wież nie atakowało się wzajemnie, w każdej kolumnie i w każdym wierszu może stać tylko jedna wieża. Rozważając jedno z takich ustawień oznaczmy liczbą 1 numer kolumny zajętej przez wieżę w pierwszym wierszu, liczbą 2 numer kolumny zajętej przez wieżę w drugim wierszu i tak dalej. Ustawienie to jest jedną z 8! permutacji zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Liczba szukanych ustawień wież równa jest 8! = 40320. • Zadanie 4 • W przedziale wagonu kolejowego ustawione są naprzeciw siebie dwie kanapy mające po trzy miejsca. Wszystkie siedzące miejsca w przedziale zostały zajęte. Na ile różnych sposobów mogą usiąść pasażerowie, jeżeli wiadomo, że mogą zmienić miejsca tylko na kanapie, na której siedzą? • Na jednej kanapie pasażerowie mogą zamienić się na 3! sposobów. • Rozwiązaniem zadania jest 3! · 3! = 36 sposobów.

17. Zadanie 5. • Liczba permutacji n elementów jest 20 razy mniejsza od liczby permutacji n + 2 elementów. • Ile wynosi n? • (n + 2)! = 20 · n! • (n + 2)(n + 1) · n! = 20 · n! /: n! • (n + 2)(n + 1) = 20 • Zauważmy, że 5∙4=20 • więc n + 2 = 5 oraz n + 1 = 4, to n = 3.

18. Wariacje bez powtórzeń zadania: • Zadanie 1 • Ile istnieje liczb czterocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach? • Losujemy 4 cyfry: Pierwszą cyfrę, cyfrę "tysięcy" losujemy ze zbioru 9-cio elementowego (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) na 9 sposobów (cyfra 0 nie może być na początku liczby). •  Pozostałe cyfry: cyfrę setek, dziesiątek i jedności losujemy ze zbioru 10-cio elementowego, kolejność losowania jest istotna (zamiana dwóch różnych cyfr miejscami powoduje inny wynik doświadczenia losowego np. zamieniając cyfrę setek i dziesiątek otrzymamy różne liczby 2345 i 2435), • cyfry nie mogą się powtarzać (po wylosowaniu jednej z nich zapisujemy ją i odkładamy) dlatego • mamy 3 elementowe wariacje bez powtórzeń ze zbioru 10-cio elementowego. • Czyli  V103 = 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720 . • Zatem wszystkich liczb czterocyfrowych jest 9 * V103 = 9 ∙ 10 ∙ 9 ∙8 = 6480. • Odpowiedź: Liczb czterocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach istnieje 6 480.

19. Zadanie 2 •  W klasie liczącej 40 uczniów rozlosowano 4 bilety jednoosobowe do kina na na godzinę 14: 00 na 4 różne filmy. Ile jest możliwości wyników losowania?  • Losujemy 4 razy ucznia i dajemy mu bilet. Każdy uczeń może zostać tylko raz wylosowany (filmy są o jednej porze), kolejność losowania odgrywa rolę (mamy 4 różne filmy) mamy zatem 4-ro elementowe wariacje bez powtórzeń ze zbioru 40-to elementowego. • Możliwych kombinacji losowań jest •   V404 =  37 ∙ 38 ∙39 ∙ 40  = 2 193 360. • Odpowiedź: Jest 2193360 możliwości wyników losowania.

20. Zadanie 3 • Ile można utworzyć trzyelementowych chorągiewek z siedmiu barw, jeżeli barwy rozumiemy jako kolorowe pasy występujące obok siebie? • Wybieramy 3 barwy ze zbioru 7-miu barw i tworzymy z nich chorągiewkę. Na każdej chorągiewce barwy muszą być inne, zatem losujemy bez powtarzania się barw (bez zwracania, wylosowany raz kolor nie może być ponownie losowany), • kolejność losowania barw, czyli kolejność umieszczania barw na chorągiewce jest istotna (zamiana dwóch barw powoduje powstanie nowej chorągiewki), • Ponieważ kolejność losowania jest istotna oraz losujemy bez zwracania 3 elementy ze zbioru 7-mio elementowego mamy 4-ro elementowe wariacje ze zbioru 7-mio elementowego. • Stąd  V73 = 7 ∙ 6 ∙5∙4 = 840 • Odpowiedź: Można utworzyć 840 chorągiewek.

21. Zadanie 4 • Ile można utworzyć różnych słów czteroliterowych z sensem lub bez sensu dysponując alfabetem 24-ro literowym w którym litery nie powtarzają się? •  Losujemy 4 liter ze zbioru 24 liter, wylosowane litery nie mogą się powtarzać oraz kolejność wylosowanych liter jest istotna (Zamieniając ze sobą dwie wylosowane litery otrzymujemy nowe słowo). • Losujemy zatem czteroelementowe wariacje ze zbioru 24-ro elementowego, • Czyli • V244 = 24∙23∙22∙21 =255024 • Odpowiedź: Możemy utworzyć 255024różnych słów.

22. Zadanie 5 • Ile istnieje różnych liczb czterocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach zaczynających się od cyfr 2, 3, 4 lub 5? • Losujemy 4 cyfry: Cyfrę na pierwszym miejscu, czyli cyfrę "tysięcy" losujemy ze zbioru 4-rech cyfr (2, 3, 4, 5), możemy to zrobić na 4 sposoby. • pozostałe 3 cyfry losujemy ze zbioru 9-cio elementowego cyfr, ( cyfry nie mogą się powtarzać, pozostałe 3 cyfry losujemy ze zbioru do którego nie należy wcześniej wylosowana cyfra.) • Losujemy  bez powtórzeń, a kolejność wylosowanych cyfr jest istotna, (zamiana miejscami dwóch cyfr utworzy nam inną liczbę) zatem mamy 3 elementowe wariacje ze zbioru 9-cio elementowego. Takich wariacji jest   • V93 = 9 ∙ 8 ∙ 7 = 504. • Mnożąc ze sobą wszystkie możliwości wylosowania cyfr mamy   4 * V93 = 4 * 9 * 8 * 7 = 2016  sposoby wyboru różnych liczb czterocyfrowych. • Odpowiedź: Różnych liczb czterocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach i zaczynających się od cyfr 2, 3, 4, 5 jest 2016.

23. Zadanie 6 • Ile różnych liczb trzycyfrowych o niepowtarzających się cyfrach można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7                         a) parzystych,                         b) nieparzystych. • Ad a) Losujemy 3 cyfry, które nie mogą się powtarzać i liczba utworzona z tych cyfr musi być parzysta. Dysponujemy zbiorem 7-miu cyfr (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). • Na miejscu jedności losujemy cyfrę ze zbioru 3-ch cyfr (2, 4, 6) parzystych, możemy to zrobić na  3  sposoby, • na miejsce dzieciątek i setek losujemy dwie cyfry ze zbioru 6-cio elementowego, kolejność liczb jest istotna (zamiana cyfry dziesiątek z  cyfrą setek daje nam inną liczbę) i cyfry nie mogą się powtarzać mamy zatem dwuelementową wariację ze zbioru 6-cio elementowego. • Czyli dwie cyfry: cyfry dziesiątek i setek losujemy na V62 = 6 ∙ 5  = 30  sposobów. • Wykorzystując regułę iloczynu tj. mnożąc sposoby wylosowania trzech cyfr mamy  3 ∙ V62 = 3 ∙6 ∙ 5  = 90 sposobów utworzenia liczby parzystej.

24. Wariacje z powtórzeniami zadania: • Zadanie 1 • Ile można utworzyć różnych liczb siedmiocyfrowych z liczb: 3, 4, 5? • Losujemy 7 razy ze zwracaniem (liczby mogą się powtarzać) ze zbioru 3 -elementowego. • Możemy to zrobić na    sposobów. • Odpowiedź: Różnych liczb siedmiocyfrowych z liczb 3, 4 ,5 możemy utworzyć 2 181. • Zadanie 2 • Ile możemy utworzyć liczb pięciocyfrowych? • Losujemy 4 razy ze zwracaniem ze zbioru cyfr 10-cio elementowego, możemy to zrobić na • sposobów i losujemy raz ze zbioru cyfr 9-cio elementowego (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) - gdyż 0 nie może występować na początku liczby. Jedną liczbę ze zbioru 9-cio elementowego możemy wylosować na 9 sposobów. • Stosując regułę iloczynu otrzymujemy  9 * 104 = 90000 różnych liczb. • Odpowiedź: Możemy utworzyć 90000 liczb pięciocyfrowych. 

25. Zadanie 3 •  Iloma sposobami można umieścić w 7-miu szufladach 6 długopisów i 5 ołówków? • Wrzucamy 5 + 6 = 11 rzeczy do siedmiu szuflad, czyli losujemy 11 razy szufladę (z siedmiu możliwych szuflad) i wkładamy do niej długopis lub ołówek. Możemy to zrobić na   sposoby. • Odpowiedź: W siedmiu szufladach można umieścić 6 długopisów i 5 ołówków na 1 977 326 743 sposoby. • Zadanie 4 • Kostki ponumerowane od  1 do 6 włącznie wrzucamy do trzech szuflad na chybił trafił. Ile jest różnych rozmieszczeń tych kostek? • Losujemy 6 razy jedną z trzech szuflad i wkładamy do niej kostkę. Możemy to zrobić na  36 = 729 sposobów. • Odpowiedź: Różnych rozmieszczeń kostek jest 729.

26. Zadanie 5 Na stacji kolejowej znajduje się 9 latarni sygnałowych. Ile różnych sygnałów można włączyć, jeśli każda latarnia ma trzy światła: czerwone, żółte, zielone? Losujemy 9 razy ze zwracaniem ze zbioru 3 elementowego. Możemy to zrobić na  39 = 19683 sposobów. Odpowiedź: Można włączyć 19683 różnych sygnałów.  Zadanie 6 Z miasta Rogoźna do miasta Poznania prowadzą 4 drogi. Ile jest różnych sposobów odbycia wycieczki? Losujemy 2 razy z 4-rech dróg. Losujemy drogę z Rogoźna do Poznania możemy to zrobić na 4 sposoby i losujemy powrotną z Poznania do Rogoźna, możemy to zrobić również na 4 sposoby. Mnożymy ze sobą możliwości losowań obu dróg i mamy 4 ∙ 4 = 16 sposoby odbycia wycieczki. Zadanie można rozwiązać również wykorzystując wariacje: Zauważmy, że z wycieczki możemy wracać tą samą drogą, którą przyjechaliśmy, czyli wylosowane wyniki mogą się powtarzać oraz kolejność wylosowanych wyników jest istotna (zamiana ze sobą dwóch różnych dróg utworzy nam inną wycieczkę). Mamy zatem dwuelementowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru 4-ro elementowego. Czyli mamy  42  = 16  sposobów. Odpowiedź: Jest 16 sposobów odbycia wycieczki z Rogoźna do miast Poznania. 

27. Kombinacje zadania: • Zadanie 1 • Iloma sposobami można rozdzielić cztery książki między dziesięciu uczniów? • Możliwości rozdzielenia czterech książek między dziesięć osób jest tyle, ile kombinacji czteroelementowych • zbioru dziesięcioelementowego, to znaczy • Zadanie 2 • Oblicz liczbę przekątnych n-kąta wypukłego. • Liczbę przekątnych obliczamy jako liczbę dwuelementowych podzbiorów zbioru n-elementowego zmniejszoną o liczbę boków.

28. Zadanie 3 Nauczyciel matematyki ma do dyspozycji dziesięcioosobową grupę zapalonych matematyków. Na ile sposobów może wybrać sześcioosobową drużynę na konkurs matematyczny? Możliwości wyboru sześciu uczniów spośród dziesięciu uczniów jest tyle, ile kombinacji sześcioelementowych zbioru dziesięcioelementowego: Zadanie 4 Z okazji zjazdu koleżeńskiego spotyka się ośmiu kolegów. Ile nastąpi powitań? Każde powitanie, to podzbiór dwuelementowy zbioru ośmioelementowego. Nastąpi 28 powitań. Zadanie 5 Ile prostych jest wyznaczonych przez dziesięć punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe? Każda prosta łączy dwa punkty, więc jest to dwuelementowy podzbiór zbioru złożonego z dziesięciu punktów. Dziesięć punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe wyznacza 45 prostych.

29. Prawdopodobieństwo zadania: • Zadanie 1 • Rzucono 10 razy kostką do gry otrzymując trzykrotnie szóstkę. Ile wynosi prawdopodobieństwo tego, że w ostatnim rzucie wypadło sześć oczek? • Stosując wzór Bernoulliego • Zadanie 2 • W worku jest 5 par butów. Wyciągamy kolejno po jednym bucie ( bez zwracania).Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy same lewe buty, przy trzech losowaniach? • mamy 5 par butów to pojedynczych butów mamy 10I losowanie możemy wylosować 5 lewych butów z 10 czyli 5/10II losowanie : 4/9 III losowanie : 3/8A - wyciągnięto same lewe butyP(A) = 5/10 * 4/9 * 3/8 = 6/72 = 1/12 • Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi 1/12.

30. Zadanie 3 • Z grupy 10 chłopców i 5 dziewcząt losujemy kolejno trójkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą to:a) same dziewczętab) osoby tej samej płci • 5 + 10 = 15I losowanie : 5/15II : 4/14III : 3/13A - wylosowano same dziewczetaP(A) = 5/15 * 4/14 * 3/13 = 4/182 = 2/91B wylosowano samych chłopakówP(B) = 10/15 * 9/14 * 8/13 = 24/91 • Zadanie 4 • Rzucamy sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba oczek będzie większa od 5?

31. Zadanie 5 • Partia towaru składa sie ze 100 elementów , wśród których 2 sa wadliwe . Poddajemy kontroli 50 losowo wybranych elementów. Partię przyjmujemy jeśli wśród kontrolowanych elementów jest nie więcej niż jeden wadliwy.Oblicz prawdopodobieństwo przyjęcia partii • Zadanie 6 • Prawdopodobieństwo trafienia do kosza wynosi 1/3. Wykonujemy serię trzech takich rzutów. Niech X oznacza liczbę trafień do kosza. Wyznaczyć rozkład zmiennej X.

32. Zadanie 7 • Z talii 52 kart wyciągnięto losowo dwie karty i nie oglądając ich włożono do drugiej takiej samej talii, po czym karty przetasowano. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania z tak utworzonego zbioru 54 kart asa. • Zadanie 8 • Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia szóstki, jeżeli skreślimy 6 spośród 49 liczb. • Korzystamy z poznanych wzorów kombinatorycznych. • A – Maszyna losująca wybrała 6 skreślonych cyfr.

33. Zadanie 9 • Układamy litery A,A,A,K,K,F,R w przypadkowej kolejności. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ułożymy w ten sposób słowo KAFARKA? • A – Ułożymy słowo KAFARKA. • N=7! • Odp. Słowo KAFARKA ułożymy z prawdopodobieństwem . .

34. Zadanie 10 • Trzech pasażerów jedzie tramwajem i każdy z nich może wysiąść na jednym z 8 przystanków. • Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy z pasażerów wysiądzie na innym innym przystanku? • A – pasażerowie wysiądą na różnych piętrach Odp. Pasażerowie wysiądą na różnych piętrach z prawdopodobieństwem .

35. Zadanie 11 • W Dużym Lotku wygrana pieniężna wypłacana jest tym grającym, którzy trafnie skreślą co najmniej 3 liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo jakiejś wygranej pieniężnej w Dużym Lotku? • A – wśród skreślonych liczb są co najmniej 3 trafienia. • - liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających odpowiednio zdarzeniom „trafiono dokładnie 3 liczby’, „trafiono dokładnie 4 liczby” itd. Odpowiedź: W Dużym Lotku prawdopodobieństwo wygranej pieniężnej wynosi około 0,02, czyli około 2%.

36. Zadanie 12 W klasie liczącej 22 uczniów jest 10 dziewcząt i 12 chłopców. Wychowawca w sposób przypadkowy rozdzielił 8 biletów do teatru. Jakie jest prawdopodobieństwo, że bilety otrzymali: • sami chłopcy • same dziewczęta • 4 dziewczynki i 4 chłopców ? Rozwiązanie: a) Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu: A - ,,bilety otrzymali sami chłopcy” Jest równa liczbie kombinacji z 12 elementów po 8, czyli P(A) = b) Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu: B - ,,bilety otrzymały same dziewczęta”, równa jest kombinacji z 10 elementów po 8 elementów, czyli P(B)

37. c) Dziewczęta można wybrać na sposobów, a chłopców na sposobów. Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu: • C - ,,bilety otrzymały 4 dziewczynki i 4 chłopców” • jest równa , • stąd P(C)

38. Zadanie 13Winda z 4 pasażerami zatrzymuje się na 12 piętrach. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wszystkie osoby wysiądą:a) na tym samym piętrzeb) na różnych piętracha) Zdarzenie A – „wszyscy pasażerowie wysiądą na tym samym piętrze”Temu zdarzeniu sprzyja 12 zdarzeń elementarnychStąd: • PCA) = • b) Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω opisująca wysiadanie pasażerów na poszczególnych pietrach jest zbiorem funkcji określonych na zbiorze pasażerów o wartościach w zbiorze pięter:

39. Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. • Zdarzenie B -„ Pasażerowie wysiadają na różnych piętrach”Sprzyjają mu zdarzenia elementarne stanowiące funkcje różnowartościowe stąd: • P(B) =

40. Zadanie 14Loteria. • U mnie znajdują się losy:16 wygrywających i 4 przegrywające. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyjęty los będzie:a) wygranyb) przegranyPrzestrzeń zdarzeń Ω składa się ze zdarzeń elementarnych na wyjęciu losu. Składa się ona z 20 losów. Przyjąć należy, że wyjęcie każdego jest jednakowo prawdopodobne.a) zdarzenie A – „los wygrywający”Sprzyja temu 16 zdarzeń elementarnych stąd : • b) zdarzenie B – „ los przegrywający”Temu zdarzeniu sprzyjają cztery zdarzenia elementarne. Stąd:

41. Zadanie 15 • Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy tzrykrotnym rzucie kostką go gry wypadnie ta sama liczba oczek?A – „za każdym razem wypada ta sama liczba oczek”Zdarzenia sprzyjająceA = { (1,1,1) (2,2,2) (3,3,3) (4,4,4) (5,5,5) (6,6,6) } • Liczba wszystkich zdarzeń to:

42. Bibliografia i Źródła: • M.Dobrowolska, M.Karpiński, J.Lech, W.Urbańczyk :Podręcznik dla liceum i technikum. GWO • Wł. Łenski, A. Patkowski: Rachunek prawdopodobieństwa dla leniwych. PWN • J.Ligman: Zbiór zadań z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa dla szkół średnich. WSiP • http://matematyka.pisz.pl • http://www.math.edu.pl • http://www.supermatma.pl

43. Prezentacje Przygotowali: