System M|M|m|-|m

1. System M|M|m|-|m Modelowanie procesów transportowych Leszek Smolarek Akademia Morska w Gdyni 2005/2006

2. wykładniczy rozkład odstępów czasu pomiędzy sąsiednimi zgłoszeniami (tzw. poissonowski rozkład przybyć) • wykładniczy rozkład czasów obsługi zgłoszeń • m kanałów obsługi • brak kolejki

3. To system z m kanałami obsługi. Zwany jest także systemem ze stratami, ponieważ nie posiada kolejki, co oznacza, że gdy nie ma wolnych kanałów obsługi zgłoszenia otrzymują odmowę i opuszczają system. Stany w jakich może znaleźć się system: Ej oznacza j zgłoszeń w systemie ( j należy do przedziału [0,m] ).

4. Układ równań Chapmana-Kołmogorowa dla tego systemu

5. Warunki początkowe: Prawdopodobieństwo odmowy obsługi w tym systemie jest równe prawdopodobieństwu tego, że wszystkie kanały obsługi są zajęte.

6. Prawdopodobieństwa ustalenia się poszczególnych stanów wynoszą: względna intensywność obsługi r wynosi: prawdopodobieństwo tego, że w systemie nie ma zgłoszeń

7. Pozostałe parametry systemu: względną zdolność obsługi systemu: bezwzględną zdolność obsługi systemu: średnią liczbę zgłoszeń przebywających w systemie, która w tym przypadku równa jest średniej liczbie zajętych kanałów obsługi: Można też zauważyć, że:

8. Przykład Na parking przybywają samochody zgodnie z rozkładem poissona o intensywności lambda=2. Obsługa polega na przydzieleniu miejsca. Czas postoju samochodów na parkingu podlegają rozkładowi wykładniczemu o wartości średniej 1/3. Parking posiada 3 miejsca. Na zewnątrz parkingu nie ma warunków do ustawienia kolejki. Obliczyć średnią liczbę aut na parkingu oraz prawdopodobieństwo, że nie ma miejsca. Widać wyraźnie, że jest to przykład systemu M|M|m|-|m, gdyż nie ma warunków na ustawienie kolejki. Oznacza to, że samochody, które przyjażdżają w czasie, gdy parking jest zajęty, odjeżdżają bez obsługi. Aby obliczyć średnią liczbę aut na parkingu oraz prawdopodobieństwo, że nie ma miejsca, najpierw podstawiamy wartości do wzoru:

9. I otrzymujemy: Następnie możemy policzyć prawdopodobieństwo, że nie ma miejsca, ze wzoru: Otrzymujemy, że prawdopodobieństwo odmowy wynosi 0,07. Na końcu możemy policzyć średnią liczbę aut na parkingu:

10. Dziękuję za uwagę