Savoir résoudre une équation.

1. Savoir résoudre une équation. Type d ’activité : leçon illustrée Bruno DELACOTE Collège de MASEVAUX AVERTISSEMENT : Certaines images, dont les images clip art, sont protégées par les droits d ’auteur. Les diapositives ne peuvent être ni dissociées ni redistribuées sans autorisation.

2. Conseils et méthode de travail Une feuille s’ouvre sur une série d’exercices : A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution. Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement Prépare l’exercice avant de visionner la solution. Vérifie (sans tricher !) Si tu as commis des erreurs, neles corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé. Pour naviguer dans la présentation tu peux utiliser les boutons ci dessous ou le clic droit de la souris. Le menu du clic droit, le numéro des diapositives et les liens hyper-texte permettent également de naviguer. Permet de revenir page précédente Permet de revenir au sommaire

3. Impression d'une diapositive : à l'aide de PowerPoint : Un clic droit de la souris ouvre un menu... Mettre fin au diaporama... Passer en mode diapositive... Fichier imprimer...Choisir les options voulues. Conseil : documents deux diapositives par page / cocher les cases : encadrer les diapositives et noir et blanc intégral A l'aide de la visionneuse : Un clic droit sur la souris ouvre un menu... Imprimer... Étendue d'impression....Choisir les diapositives à imprimer... Utiliser la dernière diapositive pour imprimer l'énoncé en noir et blanc.

4. Les problèmes Equations Carrés et rectangles Techniques de base Problèmes d âge Equation ax = b Vie de Diophante Vocabulaire Problèmes divers Egalité de deux fractions Mais…La mise en équation n’est pas toujours indispensable. Les pièges classiques Quelques équations. Me tester avec lilimath

5. Le carré et le rectangle peuvent-ils avoir le même périmètre ? x x + 4 x - 2 Tester plusieurs valeurs de x . Ecrire le périmètre du carré et celui du rectangle en fonction de x. Que peut-on en conclure ?

6. Le carré et le rectangle peuvent-ils avoir le même périmètre ? x x + 4 x - 2 Le périmètre du carré exprimé en fonction de x est : Pc = 4x Le périmètre du rectangle exprimé en fonction de x est : Pr = 4x + 4 Ces deux périmètres ne peuvent pas être égaux ! Pr > Pc car Pr = Pc + 4

7. Le carré et le rectangle peuvent-ils avoir la même aire ? x x + 4 x - 2 Tester plusieurs valeurs de x .

8. x x + 4 x - 2 Le carré et le rectangle peuvent-ils avoir la même aire ? Calculer l'aire du carré et du rectangle lorsque x prend les valeurs entières comprises entre 2 et 10. On constate que les aires sont égales si : x = 4 .

9. x x + 7 x - 3 On change les données, comparer les périmètres du carré et du rectangle. Avec les notations précédentes:Pr > Pc car Pr = Pc + 8 Le carré et le rectangle peuvent-ils avoir la même aire ? Calculer l'aire du carré et du rectangle lorsque x prend les valeurs entières comprises entre 3 et 11.

10. Cette recherche ne permet pas de conclure ! Cependant on constate que si x < 5, l'aire du carré est supérieure à celle du rectangle. si x > 5, l'aire du rectangle est supérieure à celle du carré.

11. x x + 7 x - 3 Exprimer l'aire du carré et du rectangle en fonction de x Aire du rectangle : (x + 7)(x - 3) Aire du carré : x² Les aires sont égales si x² = (x + 7)(x - 3)

12. Les aires sont égales si x² = (x + 7)(x - 3) x² = x² - 3x+ 7x -21 0 = 4x -21 x = 21:4 x = 5,25

13. Vérification 21/4 + 7 = 5,25 + 7 = 12,25 Si x = 21/4 21/4 - 3 = 5,25 - 3 = 2,25 5,25 12,25 27,5625 27,5625 2,25 5,25 x 5,25 = 27,5625 12,25 x 2,25 = 27,5625

14. On pourrait procéder par essais successifs... Par exemple Six = 1 4x(1)+ 6 = 10 Tandis que 3x(1) - 5 = - 2 À partir d ’une équation 1 n'est pas solution de cette équation car lorsque x = 1 le premier membre3x + 6 est différent du second membre4x - 5. ....Mais cela risque d'être long ! On cherche à isoler l'inconnue x Pour obtenir x = ( la solution) COMMENT FAIRE ?

15. Dans une équation, on peut additionner ou retrancher un même nombre de part et d ’autre du signe =. Procédons en deux étapes 4x + 6 = 3x - 5 Ainsi en retranchant6 à gauche et à droite, nous regroupons les nombres connus à droite et nous obtenons alors: 4x + 6- 6=3x - 5- 6 Donc 4x = 3x - 11

16. En utilisant la même règle Dans une équation, on peut additionner ou retrancher un même nombre de part et d ’autre du signe =. 4x = 3x-11 Ainsi en retranchant3x à gauche et à droite, nous regroupons les termes ou figurent la variable inconnue à droite du signe = et nous obtenons alors : 4x- 3x=3x - 11- 3x x = -11 donc x = -11

17. Remplace x par -11 dans l ’équation. Choisis une autre valeur pour x et substitue - la dans l ’équation. L ’égalité est-elle vraie ? As-tu compris ce que signifie « être solution de l ’équation » ? Vérifie que x = -11 est solution de l'équation 4x + 6 = 3x - 5 si x = -11 l'égalité est vérifiée 4 x (-11) + 6 = -38 3x (-11) - 5 = -38 on admettra que si x = -11 l'égalité n'est pas vérifiée. Evaluation Mathboule

18. On choisit de conserver les inconnues (x) à gauche. Quels termes faut-il éliminer ? Revoir la méthode Autre équation : 5x - 3 = 2 - 4x Comment éliminer -3 ? En ajoutant 3aux deux membres de l'équation Comment éliminer -4x ? En ajoutant 4x aux deux membres de l'équation Quelle égalité peux-tu écrire ? 5x - 3 = 2 - 4x + 3 + 4x + 3 + 4x 9x = 5

19. 5x - 3 = 2 - 4x5x -3+ 3+ 4x= 2 - 4x+ 3+ 4x9x = 5 Résumons : pour débuter, tu peux écrire…. 5x - 3 = 2 - 4x …. et dans quelques temps. Lorsque tu seras sûr de savoir ce que tu fais, il ne sera peut-être plus très utile de tout écrire. Mais ... Soit prudent ! Effectue mentalement +4x +3 +4x+3 5x+ 4x=2+ 3 9x = 5 Je n ’ai pas très bien compris ! Suite

20. 9 9 9x = 5 Est une équation pour laquelle il faut utiliser une deuxième règle On peut multiplier ou diviser les deux membres de l’équation par un même nombre non nul. En divisant 9x par 9 il reste x à gauche du signe = et à droite on trouve 5/9 donc

21. Développer: enlever les parenthèses….Pour Réduire: effectuer tous les calculs possibles….Avant de Résoudre une équation: trouver la solution. Solution de l ’équation : nombre qui rend l ’égalité vraie quand on substitue l ’inconnue par ce nombre. Substituer : remplacer la lettre inconnue par un nombre pour pouvoir calculer avec des nombres. Pour bien nous comprendre Je souhaite revoir la leçon

22. Deux problèmes Un carré et un rectangle ont le même périmètre. La largeur du rectangle est égale à la moitié du côté du carré tandis que sa longueur mesure 10m de plus que le côté du carré. Calculer les dimensions du rectangle et du carré. L’aire d ’un carré est inférieure de 1400m² à l’aire d’un autre carré dont le côté mesure 20m de plus. Calculer les dimensions des deux carrés. Dans ce cas un croquis permet de se construire une image du problème

23. x/2 x x + 10 Un carré et un rectangle ont le même périmètre. La largeur du rectangle est égale à la moitié du côté du carré tandis que sa longueur mesure 10m de plus que le côté du carré. Calculer les dimensions du rectangle et du carré. 4x = 2(1,5x + 10) 4x = 3x +20 x = 20

24. Un carré et un rectangle ont le même périmètre. La largeur du rectangle est égale à la moitié du côté du carré tandis que sa longueur mesure 10m de plus que le côté du carré. Calculer les dimensions du rectangle et du carré. 10m 20m 30m 4x = 2(1,5x + 10) x = 20

25. L’aire d ’un carré est inférieure de 1400m² à l’aire d’un autre carré dont le côté mesure 20m de plus. Calculer les dimensions des deux carrés. x + 20 20 20x 20 x 20 x x x² 20x (x + 20)( x + 20) - x² = 1400 x² + 20x + 20 x + 400 - x² = 1400 x = 25m

26. Encore deux problèmes Les dimensions d’un premier rectangle sont x et x + 5. Les dimensions d ’un deuxième rectangle sont x + 6 et x + 11, son aire est supérieure de 100cm² à l ’aire du premier. Calculer les dimensions des deux rectangles. Un carré de côté x a la même aire qu’un rectangle de longueur x - 8 et de largeur x + 4. Calculer les dimensions du carré et du rectangle. x < 0 … le problème n’a pas de solution !

27. 23 23 Stratégies possibles pour les équations plus complexes En général on peut essayer de transformer et réduire l ’équation pour obtenir une expression du type : ax + b = cx + d Deux fractions sont égales si les produits du numérateur de l ’une par le dénominateur de l ’autre sont égaux . 7(5x + 2)=3(4x - 5) 35x + 14=12x - 15 35x + 14 - 12x -14 =12x -15 - 12x-14 Règle 1 35x - 12x = -15 -14 23x = -29 Règle 2 D ’où x = - 29/23

28. Bien réfléchir avant de commencer les calculs. En général éviter derésoudrel ’équation avant d’avoirréduitles 2 membres. Recommandations 4x(x - 6) + 7x= (2x - 5)(2x - 8) - x On commencera pardévelopper 4x² - 24x + 7x= 4x² - 16x - 10x + 40 - x avant de réduire 4x² - 17x = 4x² - 27x + 40 etde résoudre pour trouver la solution x = 4 4x² - 17x = 4x² - 27x + 40 4x² - 17x - 4x²+ 27x = 4x² - 27x + 40 + 27x - 4x² 10x = 40 x = 4

29. Pièges classiques Ordre de priorité...Il faut calculer le numérateur avant d ’effectuer la division. Ce couple de parenthèses doit être ajouté à cause du signe - placé devant la fraction Attention ! Réduire au même dénominateur car : deux fractions qui ont même dénominateur sont égales si leurs numérateurs sont égaux. 70x - 42 - ( 147x -21 ) = 48x + 24 - 420 70x - 42 - 147x + 21 = 48x + 24 - 420 -77x - 21 = 48x -396 -77x - 21 - 48x +21 = 48x -396 - 48x +21 -125x = -375 x = 3

30. Autre stratégie possible Attention au signe - devant la fraction ! L ’égalité de deux fractions 7(10x - 6 - 21x + 3) = 12(4x - 33) Attention au signe - devant la parenthèse ! 7(-11x - 3) = 48x - 396 -77x - 21 = 48x -396 -77x - 21 - 48x +21 = 48x -396 - 48x +21 -125x = -375 x = 3

31. Un peu de technique 3x + 2 = 5 4x - 6 = 5 4x + 3 = 7x - 3 6x - 1 = 3x + 2 2(3x + 4) - 5(x + 3) = 3x - 7 2(2x + 3) - 4(x - 3) = 2x - 7 (2x - 4)(3x - 2) = 6x2 (3x - 2)(2x + 3) = 6x2 x = 1 x = 2,75 x = 2 x = 1 x = 0 x = 12,5 x = 0,5 x = 1,2 x = - 0,7 x = - 4/3 x = - 3,5 x = 7/3 x = - 2,4 x = 1,2

32. Problèmes d’âge Un homme de 40 ans a un fils de 9 ans. Dans combien d’années, l’âge du père sera-t-il le double de celui du fils? Appelons x le nombre d'années cherché et construisons un tableau. Age du Père Fils Aujourd'hui 40 9 Dans x années 40 + x 9 + x x = 22 Dans x années on aura 40 + x = 2 (9 + x) Certains auront pensé que le père a eu son fils à 31ans. Donc le père aura 62 ans, lorsque le fils aura 31 ans. Dans 22 ans le père aura le double de l'âge du fils !

33. Un homme a 40 ans et sa fille a 23 ans. Dans combien d'années, l’âge du père sera-t-il le double de celui de sa fille ? Appelons x le nombre d'années cherché et construisons un tableau. Age du Père Fille Aujourd'hui 40 23 Dans x années 40 + x 23 + x x = -7 Dans x années on aura 40 + x = 2 (23 + x) Il y a 7 ans le père avait le double de l'âge de sa fille ! Un bien jeune papa de 17 ans !!!

34. Suzanne a 39 ans; elle a deux enfants, Michel qui a 17 ans, et Isabelle qui a 15 ans. Dans combien d'années, L’âge de Suzanne sera-t-il égal à la somme des âges de ses enfants? Appelons x le nombre d'années cherché et construisons un tableau. Age de Michel Isabelle Suzanne Aujourd'hui 39 17 15 Dans x années 17 + x 15 + x 39 + x x = 7 Dans x années on aura 39 + x = 17 + x + 15 + x Dans 7 ans Suzanne aura 46 ans, Michel aura 24 ans et Isabelle aura 22 ans.

35. Un homme a 44 ans et sa fille a 23 ans. Dans combien d'années,l’âge du père sera-t-il le double de celui de sa fille ? Pour résoudre le deuxième problème ont peut utiliser la méthode précédente. Equation : 44 + x = 2( 23 + x) solution x = - 2 et effectivement, il y a 2 ans la fille avait 21 ans et son père avait 42ans On peut également comprendre que le père a le double de l ’âge de son enfant, lorsque l ’enfant atteint l ’âge qu’avait le père au moment de la naissance de l ’enfant !!! Il suffit alors de calculer la différence entre l ’âge du père et de son enfant pour trouver cet âge puis x !

36. Grégoire a 39 ans; il a deux enfants, qui ont 17 et 15 ans.. Dans combien d'années, L’âge de Grégoire sera-t-il égal à la somme des âges de ses enfants Appelle x le nombre d’années cherché, tu peux à nouveau remplir un tableau, tu trouves alors que dans x années Age de Grégoire : Age de Mickael : Age d ’ Anabelle : 39 + x 17 + x 15 +x Le problème se traduit par l ’équation : 39 + x = 17 + x + 15 + x x=7 Dans 7 ans Grégoire aura 46 ans, Mickael aura 24 ans et Anabelle aura 22 ans.

37. Diophante passa dans sa jeunesse le sixième de sa vie, le douzième dans l’adolescence; il passa encore le septième de sa vie avant de se marier, et cinq ans plus tard, il eut un fils qui mourra accidentellement Diophante lui survécut quatre ans. Sachant que la durée de la vie de Diophante fut double de celle de son fils, on demande à quel âge est mort Diophante ? Appelons x la durée de vie de Diophante

38. Appelons x la durée de vie de Diophante et exprimons chaque période de sa vie en fonction de x x/6 Diophante passa dans sa jeunesse le sixième de sa vie, le douzième dans l’adolescence; il passa encore le septième de sa vie avant de se marier, et cinq ans plus tard, il eut un fils qui mourra accidentellement. Diophante lui survécut quatre ans. Sachant que la durée de la vie de Diophante fut double de celle de son fils, on demande à quel âge est mort Diophante ? x/12 x x/7 5 x/2 Durée de vie du fils ? 4 Je ne comprends pas Vérifier la le résultat

39. Sachant que la durée de la vie de Diophante fut double de celle de son fils Jeunessex/6 Adolescence x/12 5 ans x/7 x/2 4 ans mariage Naissance de Diophante Mort de Diophante Naissance du fils Diophante est adulte Mort du fils Et trouve l’équation

40. x = 84 ans

41. DIOPHANTE A VECU 84 ANS Un petit clic sur ce cadre si tu n’es pas convaincu !

42. Encore des problèmes Charles a acheté 25 Pin ’s; si chaque pin ’s avait coûté 50 centimes de moins, il aurait pu en acheter 5 de plus. Quel est le prix d’un pin ’s ? Soit x le prix d ’un pin ’s exprimé en francs. Charles a acheté 25 pin ’s et a payé Si chaque pin ’s avait coûté il aurait pu en acheté et aurait payé 25x x - 0,5 F ( 50cts de moins) 30 (5 de plus) 30( x - 0,5) 25x = 30( x - 0,5) Un pin ’s coûte 3F

43. Un automobiliste constate que son réservoir d'essence, plein au départ ne renferme plus que 1/6 de sa capacité. Il ajoute 281 d’essence pour le remplir aux 3/4. Calculer la capacité du réservoir. Est-il possible, dans une classe où tout le monde travaille, que le tiers des élèves écrivent les quatre septièmes calculent, et que trois élèves dessinent ?

44. Un automobiliste constate que son réservoir d'essence, plein au départ ne renferme plus que 1/6 de sa capacité. Il ajoute 281 d’essence pour le remplir aux 3/4. Calculer la capacité du réservoir. Appelons x la capacité en litres du réservoir Une équation possible 28 litres x Le réservoir contient maintenant 3x/4 Il restait x/6 336 = 7x x = 48 Le réservoir peut contenir 48 litres.

45. Est-il possible, dans une classe où tout le monde travaille, que le tiers des élèves écrivent les quatre septièmes calculent, et que trois élèves dessinent? Une équation possible La classe composée de x élèves dont : x/3 élèves écrivent (4/7)x calculent 63 = 2x 3 élèves dessinent x = 31,5 Ce qui pose problème !

46. Dans un collège, les 2 / 5 des élèves sont demi-pensionnaires, 16 % des élèves sont internes et 143 élèves sont externes. Quel est le nombre des élèves de ce collège? Combien y a t-il de demi-pensionnaires? Combien y a-t-il d'internes ? Un viticulteur dispose de deux modèles de tonneaux, le plus grand contenant 75 litres de plus que le plus petit. Sachant qu'avec 15 000 litres, il peut remplir exactement 50 grands tonneaux et 25 petits, trouver la contenance de chaque modèle de tonneau. Un grossiste voulait vendre des pêches à 10 F le kg, mais il constate qu'un cageot de 26 kg est invendable. Pour obtenir malgré tout la recette attendue, il augmente son prix de vente de 8 %. Combien de kilos de pêches avait-il à vendre ?

47. Dans un collège, les 2 / 5 des élèves sont demi-pensionnaires, 16 % des élèves sont internes et 143 élèves sont externes. Quel est le nombre des élèves de ce collège? Combien y a t-il de demi-pensionnaires? Combien y a-t-il d'internes ? Soit x le nombre d ’élèves de ce collège 2/5 des élèves sont demi pensionnaires 16% des élèves sont internes Il y a 143 externes = 130 x = 52 143 D ’où x= 0,4 x + 0,16x + 143 Ne nous privons pas de remplacer ces fractions par leurs valeurs décimales 0,44x = 143 x=325 130 + 52 + 143 = 325

48. Un viticulteur dispose de deux modèles de tonneaux, le plus grand contenant 75 litres de plus que le plus petit. Sachant qu'avec 15 000 litres, il peut remplir exactement 50 grands tonneaux et 25 petits, trouver la contenance de chaque modèle de tonneau. J ’appelle x la contenance en litres du petit tonneau alors le grand tonneau contient x + 75 litres. Et l’équation du problème est : 50(x + 75) + 25x = 15000 on trouve x= 150 Les petits tonneaux peuvent contenir 150 litres et les grands tonneaux 225 litres.

49. Un grossiste voulait vendre des pêches à 10 F le kg, mais il constate qu'un cageot de 26 kg est invendable. Pour obtenir malgré tout la recette attendue, il augmente son prix de vente de 8 %. Combien de kilos de pêches avait-il à vendre ? J ’appelle x le nombre de kilos de pêches cherché Le grossiste attendait une recette de mais il ne vendra que kilos de pêche au prix de sa recette sera de 10x x - 26 10,80F 10,80 ( x - 26 ) Donc 10,8( x - 26) = 10x 0,8x =280,8 x = 351 Le grossiste avait 351 kg de pêche, il lui en reste 325kg

50. Dans une usine où il y a autant d’hommes que de femmes, 1/4 des hommes sont cadres, mais parmi les cadres, on ne compte que 3 femmes pour 4 hommes. Si cette usine embauchait 15 ouvriers de plus les cadres représenteraient 1/5 de l'ensemble du personnel. Quel est le nombre de femmes cadres ? d’hommes cadres ? Lors d'une randonnée à cheval, on compte 20 têtes et 50 pieds. Combien y a t-il d'hommes ? Combien y a t-il de chevaux ?