Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół nr 1 im. Komisji Edukacji Narodowej w Szczecinku, • Liceum Ogólnokształcące im. J. Dąbrowskiego w Międzychodzie • ID grupy: 97/8_MF_G2,97/31_MF_G1 • Opiekun: Dorota Dorożyńska, Leszek Kowalewicz • Kompetencja: • Matematyczno- fizyczna • Temat projektowy: • Paradoksy nieskończoności • Semestr/rok szkolny: • IV/V/2011/2012

3. Nieskończoność… • „Nieskończoność - powiada się, że wszystko ma swój początek, więc musi mieć swój koniec. Wszystko co się rodzi musi umrzeć, wszystko co zostało stworzone, może być także zniszczone. Wszystko istnieje w czasie i przestrzeni.”

4. PARADOKSY NIESKOŃCZONOŚCI • Zapytaliśmy nauczycieli różnych przedmiotów co rozumieją pod pojęciem „nieskończoność”. • Oto wyniki naszej ankiety: • Katecheta – dusza nieśmiertelna, wieczność • Matematyk – nieskończenie wiele liczb, niepoliczalność • Biolog – ilość wody w morzu • Fizyk – wszechświat • Polonista – coś bez ograniczeń, nieosiągalnego • Geograf – powietrze

5. Cele tematu projektowego • Rozumienie pojęcia ”nieskończoność”, • Pogłębianie wiedzy o zbiorach liczbowych, • Zrozumienie pojęcia równoliczności zbiorów, mocy zbioru, • Umiejętność porównywania elementów zbiorów, określanie przyporządkowań, • Poznanie i operowanie pojęciem szeregu liczbowego,

6. Cele tematu projektowego • Poszukiwanie w historii matematyki paradoksów dotyczących „wielkości nieskończonych”, • Poznanie metody tworzenia fraktali, • Rozwijanie ciekawości poznawczej i umiejętności badawczych, • Kształtowanie umiejętności poszukiwania źródeł informacji, korzystania z ich zasobów, analizy zebranych informacji, • Rozwijanie zainteresowań , twórczego podejścia do rozwiązywania problemów.

7. Georg Cantor • „Istotą matematyki jest jej wolność. Wolność konstruowania, wolność czynienia założeń.” W 1874 Georg Cantor opublikował pracę, która jest uznawana za narodziny współczesnej teorii mnogości. ( 1845 - 1918)

8. Teoria mnogości • Teoria mnogości, zwana również teorią zbiorów to jeden z działów matematyki, który wraz z jej postępem zaczął pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań. • Podstawowe odkrycie Cantora dotyczyło pojęcia mocy (czyli "liczby elementów") zbiorów nieskończonych. Przyjął on, że dwa zbiory A i B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli można przyporządkować wszystkie elementy A wszystkim elementom B w sposób wzajemnie jednoznaczny.

9. Zbiory liczbowe • Zbiór liczb naturalnych • Zbiór liczb całkowitych • Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego , gdzie , • Zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez , a ujemnych przez .

10. Zbiory liczbowe • Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne. • Zbiór liczb niewymiernych zapisuje się jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: • Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych. • Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez , a ujemnych przez .

11. Relacje między zbiorami liczbowymi

12. Równoliczność zbiorów • Ciekawym zagadnieniem teorii mnogości jest badanie równoliczności zbiorów. • Jeśli liczba elementów w zbiorze wynosi n, gdzie n jest liczbą naturalną, to mówimy, że jest to zbiór skończony. O dwóch zbiorach skończonych powiemy, że są równoliczne, gdy mają tyle samo elementów. • Pojęcie "tyle samo elementów" przestaje jednak być intuicyjne, gdy dotyczy zbiorów nieskończonych.

13. Zbiory równoliczneze skończoną ilością elementów Czy zbiór jabłek jest równoliczny ze zbiorem śliwek???

14. Definicja • Dwa zbiory nazywamy równolicznymi wtedy i tylko wtedy gdy istnieje funkcja różnowartościowa odwzorowująca jeden zbiór na drugi. • Fakt, że dwa zbiory A i B są równoliczne oznaczamy • A ~ B

15. Równoliczność zbioru liczb naturalnych i zbioru liczb parzystych • Na pierwszy rzut oka zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb parzystych nie są równoliczne, gdyż w tym drugim jest "o połowę" mniej liczb. Tak przynajmniej nam się wydaje. Tymczasem okazuje się, że jest ich "tyle samo". Jak to sprawdzić. Po prostu. Ponumerować liczby parzyste : 2-ce dać numer 1, 4-ce numer 2, 6-tce numer 3 itd.

16. Równoliczność zbioru liczb naturalnych i zbioru liczb parzystych • Niech , B jest zbiorem liczb parzystych. • A i B są to zbiory równoliczne, ponieważ istnieje funkcja odwzorowująca zbiór A na zbiór B wzajemnie jednoznacznie dana wzorem

17. Równoliczność zbioru liczb całkowitych i naturalnych • Zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych , gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna dana wzorem • przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną.

18. Równoliczność zbioru liczb naturalnych i zbioru liczb wymiernych dodatnich . Równoliczność tych zbiorów można pokazać numerując wszystkie ułamki. Na czerwono zaznaczono ułamki, które wypadną z naszego ciągu gdyż zostały uwzględnione już poprzednio (np. 2/2, 3/3, 8/6 itp.).

19. Zadanie • Czy zbiory X i Y gdzie: • X = { x ∈ N: 0 ≤ x <10 } Y={ x2: x ∈ N i x jest liczbą parzystą mniejszą od 20}są równoliczne? •  Rozwiązanie: • X= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} • Y= {0,4,16,36,64,100,144,196,256,324} • Tak, bo funkcja f(x) = 4x2 ustala wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru X na Y.

20. Równoliczność przedziałów liczbowych • Dowolne dwa przedziały są równoliczne, ponieważ istnieje funkcja liniowa dana wzorem • która przekształca przedział (c,d) wzajemnie jednoznacznie na przedział (a, b).

21. Równoliczność przedziałów liczbowych

22. Szeregi liczbowe • Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg – sum częściowych: • Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym. • Szeregi mogą składać się z elementów dowolnego zbioru, w tym z liczb rzeczywistych, liczb zespolonych czy funkcji (wtedy mówi się o szeregach funkcyjnych).

23. Suma szeregu • Sumą szeregu nazywamy liczbę , o ile granica ta istnieje i jest właściwa. W przeciwnym przypadku szereg nie ma sumy. Szereg, który ma sumę nazywa się zbieżnym, który jej nie ma − rozbieżnym • Zarówno szereg, jak i jego sumę oznacza się następująco:

24. Szereg zbieżny i rozbieżny • Gdy szereg jest rozbieżny wtedy sumy nie ma gdyż dodając kolejne składniki suma rozrasta się coraz mocnej w sposób nieograniczony. • Możemy zauważyć, że jeżeli szereg jest zbieżny, to dodajemy coraz mniejsze wyrazy, które są już tak blisko zera, że z czasem nasz szereg prawie się nie zwiększa. Możemy też zaobserwować, że kolejne sumy są bardzo blisko pewnej liczby. Liczba ta nazywa się sumą szeregu.

25. Przykład szeregu zbieżnego • jest równa 1, ponieważ:

26. Graficzne przedstawienie szeregu Szereg zapełnia kwadrat jednakże go nigdy nie wypełni do końca. Zawsze zostanie pewien bardzo mały kawałek.

27. Ciekawe podziały do nieskończoności • Najsłynniejszym matematycznym "dziwolągiem" jest zbiór Cantora. • Konstruujemy go w następujący sposób: • Bierzemy przedział domknięty [0, 1] • Dzielimy go na trzy równe części • Następnie wyrzucamy część środkową bez końców, czyli liczb 1/3 i 2/3 • W drugim kroku tę samą operację (dzielenia i wyrzucania) wykonujemy na dwóch pozostałych częściach. • W kroku n-tym operację wykonujemy na wszystkich otrzymanych do tej pory częściach • Po wykonaniu nieskończonej liczby kroków otrzymamy właśnie zbiór Cantora.

28. Zbiór cantora przy n-tym kroku

29. Krzywa Kocha Powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność dla każdego fragmentu odcinka.

30. Dywan Sierpińskiego • Na początku rysujemy kwadrat na płaszczyźnie, i dzielimy go na 9 identycznych kwadratów. • Następnie usuwamy kwadrat środkowy i powtarzamy poprzedni krok dla pozostałych 9 kwadratów i tak dalej w nieskończoność.

31. Trójkąt sierpińskiego Postępując z trójkątem równobocznycm podbnie jak z kwadratem można otrzymać dywan którego pole jest równe 0. Rodzi się pytanie ile za niego zapłacić?

32. Paradoksy Zenona z Elei • Przedstawiamy zbiór kilku paradoksów pochodzących od greckiego filozofa, Zenona z Elei. (ok. 490 p.n.e. - ok. 430 p.n.e).

33. Paradoksy ruchu • Sprinter ma do przebiegnięcia skończony dystans. Zanim jednak pokona całą odległość musi najpierw dobiec do 1/2 długości, ale zanim dobiegnie do 1/2 musi najpierw dobiec do 1/4, ale zanim dobiegnie do 1/4 musi najpierw dobiec do 1/8, i tak w nieskończoność. Wynika z tego, że biegacz ma do przebycia nieskończoną liczbę odcinków o skończonej długości. Ponieważ nie da się pokonać nieskończonej liczby odcinków w skończonym czasie, biegacz nigdy nie ukończy biegu. Co więcej, biegacz nie może nawet zacząć biegu, bo ten sam paradoks stosuje się również do dystansu dowolnie zmniejszonego: tak samo, jak nie da się (według powyższego rozumowania) dobiec na dystans 100 m, nie da się również na dystans jednego metra ani na dystans jednego milimetra.

34. Paradoksy ruchu • Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala oddalić się żółwiowi o 1/2 całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do 1/2 dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do 3/4 dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie 3/4 dystansu, żółw znowu mu "ucieknie" pokonując 7/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak dalej w nieskończoność.

35. Paradoksy ruchu • Wniosek: Achilles nigdy nie dogoni żółwia, mimo że biegnie od niego dwa razy szybciej, gdyż zawsze będzie dzieliła ich zmniejszająca się odległość.

36. Paradoksy ruchu • Strzała wystrzelona z łuku pokonała określony dowolny odcinek drogi. Można więc powiedzieć, że w momencie wystrzelenia znajdowała się ona na początku tej trasy, a po dotarciu do celu – na końcu. Pytanie jednak, gdzie przebywała w trakcie pokonywania tej drogi. Można odpowiedzieć, że w 1/4 czasu pokonywania tego odcinka musiała być niewątpliwie w 1/4 odcinka. Gdy zadamy pytanie, gdzie była po 1/2 czasu lotu, znowu można odpowiedzieć, że w 1/2 odcinka. Po 3/4 czasu – w 3/4 odcinka, i tak dalej w nieskończoność. Możemy sobie wyobrażać dowolną chwilę lotu, w którym strzała znajdowała się w jakimś konkretnym punkcie, w konkretnej odległości od łucznika. Czyli możemy powiedzieć, że skoro w każdej chwili znajdowała się w jakimś konkretnym punkcie, więc w każdej chwili była w spoczynku. Niemożliwe jest zatem, aby w każdej chwili czasu strzała pozostawała w spoczynku i poruszała się jednocześnie.

37. Paradoks Hilberta - hotel hilberta • W pewnym hotelu jest nieskończona liczba pokoi. Wszystkie pokoje są już zajęte. Przychodzi do nas kolejny klient chcący wynająć pokój. Wydawałoby się, że sytuacja jest bez wyjścia i musimy klienta odprawić z kwitkiem. Na szczęście nasz hotel ma nieskończoną liczbę pokoi więc możemy wykonać sprytny trik: Klienta z pokoju numer 1 przekwaterujemy do pokoju nr 2, tego z pokoju nr 2 do pokoju nr 3 itd. Ogólnie można powiedzieć że dokonujemy przekwaterowania klientów z pokojów n do pokojów n+1. W ten sposób wszyscy nasi wcześniejsi klienci mają gdzie mieszkać, a my mamy wolny pokój nr 1, do którego możemy zakwaterować naszego nowego gościa. Tak więc mimo że hotel był pełen, znalazło się miejsce dla nowego klienta.

38. Paradoks Hilberta - hotel hilberta Być może Hilbert miał na myśli hotel z liczbą pięter i pokoi dążącą do nieskończoności

39. Krzywa Peano • Giuseppe Peano ( 1858 - 1932 ) – włoski matematyk i logik. Skonstruował przykład funkcji ciągłej przekształcającej odcinek domknięty na kwadrat domknięty, co jest sprzeczne z powszechną intuicją. Odwzorowanie to jest zwane krzywą Peano. • Giuseppe Peano w latach 1890-91 rozpatrywał krzywe, które całkowicie wypełniałyby płaszczyznę dwuwymiarową, czyli przechodziłyby przez wszystkie punkty na tej płaszczyźnie. • Krzywa Peano ma nieskończoną długość, cechy samopodobieństwa i przebiega przez każdy punkt kwadratu. Ma cechy fraktalu.

40. Kolejne etapy powstawania krzywej Peano

41. fraktale "Fraktalem jest wszystko.” Benoit Mandelbrot

42. fraktale • Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Zbiór Julii

43. fraktale Fraktal proponuje się określać jako zbiór który: • ma nietrywialną strukturę w każdej skali, • struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej, • jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym, • jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny, • ma względnie prostą definicję rekurencyjną, • ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

44. Powstawanie fraktali - smok Heighwaya

45. źródła • http://www.wikipedia.org • http://www.cut-the-knot.org/Whatis/WhatIsInfinity.shtml • http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.large.numbers.html • Zamieszczone zdjęcia pochodzą z Internetu.

46. Prezentację przygotowali 97_8_mf_g2 97_31_mf_g1 Damian Chmielewski Michał Jurgowiak Ewelina Kachel Jakub Kowala Adrianna Osowska Patrycja Osuch Marlena Paech Krzysztof Pawlak Magdalena Schubert Katarzyna Sokołowska • Ania Wardakowska • Natalia Szylak • Agnieszka Pawlak • Justyna Gaworska • Paulina Klusaczyk • Kamila Tokarz • Paulina Zastocka • Mateusz Bednarski • Piotr Osip • Stanisław Stecenko