Logika

1. F. SosiantodanDjoniDwiyono Jong Jek Siang Logika

2. Logika adl Ilmu yg mempelajari tentang penalaran yg berhubungan dg pembuktian validitas suatu argumen. Argumen yg berisi pernyataan-pernyatan hrs dirubah menjadi bentuk logika unt dpt dibuktikan validitasnya. Cara membuat ke bentuk logika, argumen hrs dirubah menjadi proposisi-proposisi selanjutnya proposisi dirubah manjadi variabel proposisi dgn huruf . Setiap variabel proposisi ditentukan nilainya dan dimanipulasi dg cara tertentu unt mendapatkan nilai kebenarannya. Contoh-contoh argumen yg valid dn yg biasa dipakai adl. Disjunctive Sillogism, Hypothetical Sillogism, Modus ponen, dan Modus Tollens Argumen:permis&kesimpulan,proposisi/pernyataan semua berbentuk kal. Proposisi dinotasikan dg huruf abjad dan diberi nilai benar dan salah Ekspresi terdiri dari notasi dan perangkai ini juga disebut logika Pendahuluan

3. Kalimat yg bernilai benar atau salah, ttp tdk keduanya • Proposisi atau kalimat dalam logika ,proposisi bisa berupa • Atom/kalimat sederhana • Kalimat kompleks, komposisi kalimat menggunakan operator logika • Kalimat sederhana bisa berupa • Simbol konstanta : true dan false • Simbol variabel proposisi : p,q,r,,p1,q1,… • Literal adalah atom atau negasinya PROPOSISIadalah

4. lprop: sintaks - LFD - 2007 OPERATOR LOGIKA(disusun berdasarkan hirarki)

5. Definisi kalimat/proposisi : • Setiap konstanta logika true dan false adalah proposisi • Variabel logika p,q,r,,p1,q1,… adalah proposisi • Jika adan badalah proposisi maka ab, ab, abdan aadalah proposisi lprop: sintaks - LFD - 2007 lanjut

6. Proposisi bisa merepresentasikan kalimat berita p : saya malas belajar q : saya lulus kuliah p  q : saya malas belajar dan lulus kuliah p q : jika sayamalas belajar makasaya tidak lulus kuliah lprop: sintaks - LFD - 2007 MEREPRESENTASIKAN FAKTA

7. Ambigu : mempunyai banyak arti Contoh : pqr berarti p(qr ) atau (pq)r Untuk menghilangkan ambiguity bisa menggunakan notasi kurung buka dan tutup yaitu ( dan ) atau prioritas/hirarki operator (precedence) lprop: sintaks - LFD - 2007 AMBIGUITY

8. Adl tabel yg menujukkan nilai kebenaran dari hasil kombinasi proposisi-proposisinya Secara umum jika ada n variabel proposisi , maka tabel kebenarannya ada 2n baris. Definisi masing-masing penghubung/operator sbb: Keterangan tabel lihat halaman berikut Tabel Kebenaran

9. Keterangan Tabel Negasi Proposisi ¬p memiliki nilai kebenaran yg berlawanan dg aslinya Misal jika p bernilai F maka ¬p bernilai T 2)Konjungsi Proposisi pʌq(dibaca p dan q) adl bernilai benar bila nilai p dan q keduanya bernilai benar, sedangkan kombinasi yg lain bernilai salah 3)Disjungsi Proposisi p˅q(dibaca p atau q) adl bernilai salah, bila nilai p dan q keduanya bernilai salah, sedangkan kombinasi yang lain bernilai benar 4) Implikasi Proposisi p→q (dibaca :# jika p maka q,# q apabila p,# p hanya bila q,# p sarat cukup q, # q syarat perlu p)adl bernilai salah bila p benar dan q salah, sedangkan kombinasi lainnya bernilai benar lanjutan

10. 5) Bimplikasi Proposisi p↔q(dibaca p bila hanya bila q) yang berarti juga (p→q)ʌ(q→p) adl bernilai benar bila p dan q mempunyai nilai kebenaran yg sama (keduanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah) Contoh Misal ; p=Budi orangkaya q=Budi bersukacita Tulislahbentuksimbullogikakalimatkalimatberikut: Budi orang yang miskintetapibersukacita. Budi orangkayaatauiasedih Budi tidakkayaataupunbersukacita Budi orang yang miskinatauiakayatatapisedih. Jawab: a). ¬pΛq b). pV¬q c).¬pΛ¬q d). ¬pV(pΛ¬q) LANJUTAN

11. Diketahukaliamat-kalimatygsudahdalambentuksimbullogikaberikutdibawahini , buatlahtabelkebenarannya: ¬(¬pV¬q) b) ¬(¬pq) c) (pq)Λ¬(pVq) d) (¬pΛ(¬qΛr)) V (qΛr) V (pΛr) jawab Contoh 2

12. Padakondisibagaimanakah agar kalimatberikutinibenar? “tidaklahbenarbilarumahkunoselalubersaljuatauangker, dantidakjugabenarbilasebuah hotel selaluhangatataurumahkunoselalurusak” Jawab Membuat variabel proposisi misal p= Selanjutnya didapat bentuk logika sbb (¬(pVq))Λ(¬(rVs)). Untuk menyelidiki kondisi kombinasinya dimana seluruh kalimat bernilai benar , harus dibuat tabel kebenaran ………… Dari tabeldiatasterlihatbahwa tidaklahbenarbilarumahkunoselalubersaljuatauangker, dantidakjugabenarbilasebuah hotel selaluhangatataurumahkunoselalurusakadalahbernilaibenarbilarumahkunotersebuttidakselalubersalju, tidakselaluangker, tidakselalurusak, danhotelpuntidakselaluhangat Contoh 3

13. Adalah bila hanya bila ruas kiri dan ruas kanan memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kombinasi nilai kebenaran dari masing-masing kalimat penyusunnya(kalimat pd ruas kiri dan kalimat pd ruas kanan) Contoh Tentukan apakah pasangan bentuk logika pq dengan ¬pVq ekuivalen Jawab Buat tabel kebenaran kedua bentuk logika sbb Oleh karena tiap-tiap baris nilai kebenaran sama , maka pq Ξ ¬pVq Ekuivalensi (pΞq) ataupq

14. Hukum komutatif; pΛq Ξ qΛp ; pVq Ξ qVp Hukum assosiatif; ( PΛq)Λr Ξ PΛ(qΛr); (pΛq)ΛrΞpΛ(qΛr) Hk distributif; ; PΛ(qVr) Ξ ( PΛq)V(PΛr); PV(qΛr) Ξ ( PΛq)V(PΛr); Hk. identitas; pΛT Ξ p; pVF= p Hk. Ikatan; pΛF Ξ p; pVT Ξ p Hk. Negasi; (PΛ¬p) Ξ F ; (PV¬p) Ξ T; Hk. Negasi ganda ¬(¬p) Ξ p; Hk idempoten ; (PΛp) Ξ p; (PVp) Ξ p; Hk. Demorgan; ¬(pΛq)  ¬pV¬q, ¬(pVq)  ¬pΛ¬q, Hk absorbsi: PV(pΛq) Ξ p PΛ(pVq) Ξ p Hk negasi T dan F; ¬TΞ F ¬F Ξ T Catatan: pq Ξ ¬pVq ¬(pq) Ξ pΛ¬q Manfaat hukum -hukum diatas adl. dapat digunakan untuk menyederhanakan kalimat –kalimat yang komplek Contoh dibaliknya Hukum-hukumekuivalenlogika p↔q≡(p→q)Λ(q→p)

15. sederhanakan bentuk , ¬(¬pΛq)Λ(pVq) Jawab (¬¬pV¬q)Λ(pVq) ;berubah jadi ini karena hk demorgan (pV¬q)Λ(pVq); berubah jadi ini karena hk negasi ganda pV(¬qΛq); berubah jadi ini karena hk distributif pVF; berubah jadi ini karena hk p ; berubah jadi ini karena hk Untuk membuktikan ekuivalensi dg cara :biasanya bentuk yg lebih komplek diturunkan ke yg lebih sederhana, jika sama-sama komplek sama-sama diturunkan dg hk yg berbeda Jika terdapat penghubung , dan , penghubung tersebut harus dirubah dulu dalam bentuk penghubung ,V, Λ, dan ¬ Contoh buktikan ekuivalensi berikut tanpa tabel kebenaran contoh

16. a) (qp)  (¬p¬q) jawab Ruas kanan tampaknya lebih komplek, untuk itu yg disederhanakan ruas kanan (¬p¬q)  ¬(¬p)V¬q (transformasi dari  ke V)  pV¬q (negasi ganda)  ¬qVp (komutatif)  qp (transformasi dari V ke ) terbukti ruas kiri sama dengan ruas kanan yaitu (qp)  (¬p¬q) (p(qr)) Ξ ((pΛq)r) Jawab Ruas kiri; (p(qr)) Ξ( ¬pV(qr)) Ξ ¬pV(¬qVr) Ξ(¬pV¬q)Vr Ξ ¬(pΛq)Vr Ξ (pΛq)r terbukti sama dg ruas kanan lanjutan

17. Tautologiadl. Suatu kal yg selalu bernilai benar (T) , dan tak perduli nilai kebenaran kalimat penyusunnya. Kontradiksi adl. Suatu kal yg selalu bernilai salah. Misal diketahui implikasi adl p→q maka : Konversinya adalah q→p Inversinya adalah ¬p→¬q Kontraposisinya adalah ¬q→¬p Catatan implikasi ikuivalensi dg kontraposisi jadi mrpkan Tautologi Contoh Tentukan apakah kalimat dibawah a). (pΛq)→q b). q→(pVq) Tautologi atau kontradiksi dg cara tabel kebenaran Tautologidankontradiksi

18. a) Dengan tabel kebenaran Oleh karena semua baris pada kolom (pΛq)→q bernilai T maka (pΛq)→q adl. Tautologi b)Dengan tabel kebenaran semua baris pd kolom q→(pVq)adl. T maka q→(pVq) mrpkan Tautologi Jawab

19. Menentukan nilai kebenaran suatu kesimpulan berdasarkan sejumlah kalimat yg diketahui nilai kebenarannya • Argumen Valid: jika semua hipotesis/pernyataan benar dan kesimpulan juga benar.(kebenaran kesimpulan ini dikatakan turunan dr hipotesis) • Argamen invalid: jika semua pernyataan benar dan kesimpulan salah Cara menentukan argumen valid ada dua cara yaitu dg tabel kebenaran dan metode Inferensi Langkah-langkan tabel kebenaran • #Tentukan hipotesis dan kesimpulan • #Buat tabel kebenaran(semua hipotesis juga kesimpulan) • #Carilah baris kritis yaitu brs yg semua hipotesisnya bernilai benar • #Perhatikan pd baris kritis jika semua nilai kesimpulan benar maka argumen Valid, jika ada yg salah argumen tdk valid Contoh tentukan apakah argumen berikut Inferensi Logika

20. 1) pV(qVr).............a) ¬ r ..............b) Jadi pVr Jwab ada 2 hipotesa pV(qVr) dan ¬ r, kesimpulan pVr dg tabel kebenaran sbb Terlihat baris kritisnya pd baris 2,4,dan 6 , pd baris tsb kesimpulannya ada yg bernilai F. Jadi argumen tsb adl valid Contoh

21. p→(qV¬r) q→(qΛr) p→r Jawab Perhatikan 2 hipotesa p→(qV¬r) dan q→(qΛr). Sedang kesimpulannya p→r, dg tabel kebenaran sbb Terlihat baris kritisnya pd baris 1,4,7dan 8 , pd baris tsb kesimpulannya ada yg bernilai F. Jadi argumen tsb adl tidak valid Contoh 2

22. Dengan Aturan-aturan sbb: Modus ponen ; p→q p jadi q Modus Tollen; p→q ¬q jadi ¬p Penambahan disjungtif p jadi pVq Penyederhanaan konjungtif pΛq jadi p Silogisme disjungtif pVq ¬p jadi q Metode Inferensipenurunan kesimpulan berdasarkan hipotesis yg ada Silogisme hipotesis p→q q→r jadi p→r Dilema ; pVq p→r q→r jadi r Konjungsi p q jadi pΛq

23. Jika Budi seorang manusia maka dia dapat mati Budi tidak dapat mati jadi Bukan seorang manusia Contoh 2 ttg silogisme hipotesis Jika 18486 habis dibagi 18 maka 18486 habis dibagi 9 Jika 18486 habis dibagi 9 maka jumlah digitnya habis dibagi 9 Jadi jika 18486 habis dibagi 18 maka jumlah digitnya habis dibagi 9 Contoh 1 ttg modus tolen

24. 1a. Apakah jawabanmu ini sudah benar? b. 4 adalah angka prima c. Pascal adalah bahasa pemrograman yg terbaik 2. Buatalah tabel kebenaran ekspresi logika berikut a) pV(¬pΛq)→q b) (pV(¬pVq))Λ¬(qΛ¬r)) c) pΛ¬r↔qV r 3. Nyatakan kalimat berikut dalam bentuk ekspresi logika a) David sedang bermain di kolam atau ia ada dlm rumah b) David sedang mendengarkan radio jika ia ada dalam rumah c) David tdk bermain di kolam dan tidak sedang mengerjakan PR 4. Sederhanakan logika berikut; (pΛq)V(pΛ¬q) 5. Tentukan apakah pernyataan berikut ekuivalen a) (pVq)Λ(¬pΛ(¬pΛq)) dg ¬pΛq b) ¬(pV¬q)V(¬pΛ¬q) dengan ¬p latihan

25. 6. Tentukan manakah logika berikut merupakan Tautologi atau Kontradiksi a) (pΛq)V(¬pV(pΛ¬q) b) ((¬pΛq)Λ(qΛr))Λ¬q 7. Tulislah konvers, invers, dan kontra posisi kalimat berikut a) jika bilangan rasional , maka angka desimalnya akan berulang b) jika n adl bilangan prima , maka n adl bil. Ganjil atau n=2 c) jika p adl bujursangkar, maka p adl 4 persegi panjang 8. Diketahui jika cairan X mendidih , maka temperaturnya paling sedikit 1000C, adl benar manakah pernyatan berikut yg pasti benar a) jika tmpratur cairan X paling sedikit 1000C, maka cairan Xakan mendidih b) jika tmpratur cairan X kurang dr 1000C, maka cairan X tdk akan mendidih c) jika cairan X tdk mendidih, maka tmprtutnya kurang dari 1000C Gunakan modus tolen atau modus ponen unt mengisi soal 9- 10 9. Jika potongan program ini akan berulang dg perintah while maka isi peru langan tdk pernah dieksekusi ...................................................................... jadi isi perulangan tdk pernah dieksekusi lanjutan

26. 10. jika logika adl pelajaran yg muda maka pastilah saya seorang propesor saya bukan seorang propesor jadi ..................................................... Beberapa inferen berikut ada yang valid juga ada yg tdk valid ,untu yg valid jelaskan aturan inferansi yg digunakan , jika tdk valid jelaskan kesalahan yg terjadi 11. Bilangan riel ini merupakan bil rasionan atau irrasional bil riel ini tdk rasiona jadi bilangan riel ini adalah bil irrasional 12. Jika saya pergi nonton , maka saya tdk bisa menyelasaikan PR jika saya tdk bisa menyelasaikan PR, maka saya tidak lulus jadi jika saya pergi nonton maka saya tdk lulus 13 gunakan tabel kebenaran unt menentukan argumen berikut valid atau bukan pΛ¬q→r pVq q→p jadi r 14. Gunakan prinsip inferensi unt menurunkan ¬s dari hipotesis-hipotesis berikut (sVq)→p ¬a p→a lanjutan