Logika

1. Logika Mgr. Andrea Cahelová Logika, výroky - video

2. Definice výroku • Výrok je každá oznamovací věta, u které má smysl uvažovat o její pravdivosti • Označujeme: A, B, C, … • Výrok: pravdivý – hodnota 1, nepravdivý – hodnota 0 • Ke každému výroku je možno vytvořit jeho negaci • Zapisujeme A´,^A

3. Příklad: U daných výroků uveďte jejich pravdivostní hodnotu a vytvořte jejich negaci • A: Číslo 3 je prvočíslo • B: Bratislava leží v Egyptě • C: Prešovský kraj • D: Matematika je věda • E: Číslo 22 je dělitelné 2 • F: Dobrý den ! • G: Existuje sněžný muž Yetti • H: Sinus 300 je – 2,1 • I: Máš domácí úlohu? • J: x2 - 5x + 6 = 0 • K: Číslo 2 574 364 je dělitelné 4 • L: Platí že (a + b)2 = a2 + b2 • M: Obsah kruhu je S = π.r2 • N: 42 se rovná 18 • O: Mám nové auto • P: Není tu.

4. Řešení • A: Číslo 3 je prvočíslo (1) • B: Bratislava leží v Egyptě (0) • C: Prešovský kraj • D: Matematika je věda (1) • E: Číslo 22 je dělitelné 2 (1) • F: Dobrý den! • G: Existuje sněžný muž Yetti • H: Sinus 300 je – 2,1 (0) • I: Máš domácí úlohu? • J: x2 - 5x + 6 = 0 • K: Číslo 2574364 je dělitelné 4 (1) • L: Platí že (a + b)2 = a2 + b2 (0) • M: Obsah kruhu je S = π.r2 (1) • N: 42 se rovná 18 (0) • O: Mám nové auto (1) • P: Není tu • A': Číslo 3 není prvočíslo (0) • B': Bratislava neleží v Egyptě (1) • C : • D': Matematika není věda (0) • E': Číslo 22 není dělitelné 2 (0) • F : • G : nedá se rozhodnout • H': Sinus 300 není -2,1 (1) • I : • J : • K': Číslo 2574364 není dělitelné 4 (0) • L': Neplatí že ( a + b )2 = a2 + b2 (1) • M': Obsah kruhu není S = π.r2 (0) • N': Není pravda, že 42 se rovná 18 (1) • O': Nemám nové auto (0) • P :

5. Složené výroky • Vznikají spojením dvou výroku a) konjunkci (a, a zároveň), b) disjunkci (nebo), c) implikaci (plyne, vyplývá), d) ekvivalenci (právě tehdy, když)

6. Negace složených výroků

7. Příklad: Znegujte následující výroky • A: Přijde Peter a Marie • B: Prší a je mokro • C: Svítí sluníčko nebo fouká vítr • D: Jestliže se rozzlobíme, budeme zlí • E: Pokud přijde Josef, potom přijde i Eva • F: Mám dobrou náladu právě tehdy, když prší • G: Každý lichoběžník je rovnostranný • H: Existuje aspoň jedno prvočíslo, které je sudé • I: V třídě 1. A alespoň 8 žáků nosí brýle • J:

8. Řešení: • A‘: Nepřijde Petr nebo Marie • B': Neprší nebo není mokro • C': Nesvítí sluníčko a nefouká vítr • D': Rozlobíme se a nebudeme zlí • E': Josef přijde a Eva nepřijde • F': Mám dobrou náladu a neprší nebo nemám dobrou náladu a prší • G': Existuje aspoň jeden lichoběžník, který není rovnostranný • H': Všechny prvočísla jsou sudé • I': V třídě 1. A nanejvýš 7 žáků nosí brýle • J‘:

9. Příklad: Z daných výroků vytvořte konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence • A: Číslo 20 je prvočíslo • B: Číslo 20 končí 0 • A: Úhlopříčky obdélníka jsou stejně dlouhé • B: Úhlopříčky obdélníka jsou na sebe kolmé

10. Řešení: • Číslo 20 je prvočíslo a končí nulou • Číslo 20 je prvočíslo nebo končí nulou • Pokud je číslo 20 prvočíslo, pak končí nulou • Číslo 20 je prvočíslo právě tehdy, když končí nulou • Úhlopříčky obdélníka jsou stejně dlouhé a kolmé • Úhlopříčky obdélníka jsou stejně dlouhé nebo kolmé • Pokud úhlopříčky obdélníka stejně dlouhé, pak jsou kolmé • Úhlopříčky obdélníka jsou stejně dlouhé právě tehdy, když jsou kolmé

11. Příklad: Vytvořte následující složené výroky z výroků P, S, V • P: Prší • S: Svítí sluníčko • V: Fouká vítr

12. Řešení: • Prší a nefouká vítr • Není pravda, že prší nebo nesvítí sluníčko • Pokud prší a fouká vítr, potom svítí sluníčko • Neprší a nesvítí sluníčko • Prší a svítí sluníčko právě tehdy, když nefouká vítr • Pokud fouká vítr, potom nesvítí sluníčko • Pokud prší a svítí sluníčko, potom nefouká vítr • Prší nebo svítí sluníčko právě tehdy, když nefouká vítr • Prší a svítí sluníčko nebo prší a nefouká vítr • Pokud svítí sluníčko, potom neprší a nefouká vítr • Neprší nebo svítí sluníčko právě tehdy, když nefouká vítr • Není pravda, že prší a svítí sluníčko • Pokud nesvítí sluníčko a prší, potom nefouká vítr • Není pravda, že pokud neprší a nefouká vítr, potom svítí sluníčko

13. Příklad: Zapište do tabulky pravdivostní hodnotu formule Pravdivodstní tabulka - video

14. Tato formule je tautologie (poslední sloupec jsou samé nuly. • Poznámka: v případě, ze v posledním sloupci vyjdou samé nuly, jedná se o kontradikci.

15. Kvantifikované výroky • Máme třídu žáků A, B, C, D • Žák je členem skupiny třída označujeme jako PREDIKÁT a zapisujeme T(A) • Výrok: každý žák patří do třídy můžeme zapsat pomocí logické spojky a zároveň Kvantifikované výroky - video

16. Zápis je ale zbytečně složitý • Jednodušší je využít obecný kvantifikátor • Obdobně můžeme zapsat i výrok: alespoň jeden žák patří do třídy pomocí logické spojky nebo • Jednodušší je využít existenční kvatifikátor

17. Negace kvantifikovaného výroku: • Pro každého žáka platí, že patří do třídy • Negace: existuje alespoň jeden žák, který do třídy nepatří • Symbolicky:

18. Existuje alespoň jeden žák, který patří do třídy • Negace: Pro každého žáka platí, že nepatří do třídy • Symbolicky:

19. Úkol: Přepište výroky symbolicky a napište jejich negace • Pro každé reálné číslo platí, že je dělitelné sedmi • Existuje reálné číslo, které je dělitelné dvěma

21. Řešení: • Existuje reálné číslo, které není dělitelné sedmi • Pro reálné přirozené číslo platí, že není dělitelné dvěma

22. Úkol: Přepište výroky symbolicky • Co je drahé, bývá někdy nehodnotné • Co je drahé není hodnotné • Jsou takoví učitelé jazyků, kteří neumějí latinsky • Žádný lakomec není velkorysý • Obrazy, které zde visí jsou originály

23. Řešení: Přepis formule • O některém individuu platí, že je drahé a současně není hodnotné • O každém individuu platí, že pokud je drahé, pak není hodnotné • O některém individuu platí, že je učitel jazyků a současně neumí latinsky • O každém individuu platí, že je-li lakomec, pak není velkorysý • O každé individuu platí, že pokud je zde visící obraz, pak je originálem

24. Řešení: Symbolicky

25. Úkol: Přečti následující výrok a rozhodni, zda je pravdivý 1. 2.

26. Řešení • Pro všechna přirozená čísla n různá od jedné, existuje alespoň jedno přirozené číslo k, které je menší než n, výrok je pravdivý • Existuje přirozené číslo n, takové že všechna přirozená čísla p různá od n, jsou větší než n, výrok je pravdivý

27. Úkol: Vytvoř z následující věty pravdivý a nepravdivý výrok • Pro reálná čísla x a y platí, že součet jejich druhých mocnin je roven nule

28. Řešení:

29. Úkol: Zapište symbolicky a určete zda závěr plyne z přepokladu • P1: Všechny velryby jsou savci • P2: Někteří vodní živočichové jsou savci • Z: Někteří vodní živočichové jsou savci • Napíšeme celou formuli ve tvaru: • P1 ˄ P2 → Z

30. Řešení: • Formuli upravíme, tak aby se v ní nevyskytovali univerzální kvantifikátory a jiné logické spojky kromě konjunkce • V našem případě upravíme první předpoklad negaci existenčního kvantifikátoru a opětovnou negaci

31. Úkol: Přepište symbolicky formule ověřte, zda z předpokladu plyne závěr 1. Někteří fotbalisté nejsou inteligentní. Všichni fotbalisté jsou sportovci. Z: Někteří sportovci nejsou inteligentní. 2. Žádný zdejší žák není komik. Všichni komici jsou umělci. Z: Žádný zdejší žák není umělec. 3. Všechny přírodní zákony jsou zákony. Všechny zákony jsou vytvářeny právními institucemi. Z: Všechny přírodní zákony jsou vytvářeny právními institucemi. 4. Všechny automobily jsou dopravní prostředky. Všechny dopravní prostředky jsou opatřeny karburátorem. Z: Některé dopravní prostředky jsou opatřeny karburátorem.

32. Ano • Ne • Ano • Ne

33. Úkol: Znegujte tvrzení • Příklad: • Všichni učitelé jsou přísní a někteří žáci jsou snaživí. • Negace: • Někteří učitelé nejsou přísní nebo žádní žáci nejsou snaživí. • Žádný člověk se neřídí morálními zákony nebo někteří lidé nedodržují právní normy • Jestliže žádný člen vlády nedodržuje zákony, potom některý podnikatel krachuje. • Jesltiže žádný člen vlády nedodržuje zákony, tehdy a jen tehdy některý podnikatel krachuje.

34. Někteří lidé se řídí morálními zákony a všichni lidé dodržují právní normy. • Žádný člen vlády nedodržuje zákony a žádný podnikatel nekrachuje. • Žádný člen vlády nedodržuje zákony a žádný podnikatel nekrachuje nebo některý člen vlády dodržuje zákony a některý podnikatel krachuje.

35. 1. Každá věc, která leží na stole, je černá. • Který z následujících výroků je pravdivý? • Všechny věci jsou černé • O každé věci ležící na stole platí, že je černá • Některé věci, které leží na stole, jsou černé • Některé věci ležící na stole nejsou černé • Každá věc na stole je černá

36. Alespoň jedno zvíře běhá po čtyřech. • 1 a 3 předchozí • Který z následujících výroků je pravdivý? • O některý zvířatech platí, že běhají po čtyřech • Všechna zvířata běhají po čtyřech • Ani jedno zvíře neběhá po čtyřech • Alespoň jedno vodní zvíře běhá po čtyřech • Jedno zvíře běhá po čtyřech

37. Někteří Češi jsou hokejisté • 1 a 5 předchozí • Který z následujících výroků je negací zadání? • Někteří Češi nejsou hokejisté • Všichni Češi jsou hokejisté • Žádní Češi nejsou hokejisté • Alespoň jeden Čech není hokejista • Žádný Čech není hokejista

38. Všechny rostliny jsou anorganické • 3 a 5 • Který z následujících výroků je negací zadání? • Některé rostliny nejsou anorganické • Všechny rostliny nejsou anorganické • Některé rostliny jsou anorganické • O každé rostlině platí, že není anorganická • O některé rostlině platí, že není anorganická

39. Všechny pneumatiky jsou gumové. Každá guma je pružná. Některý druh gumy je černý. • 1 a 5 • Který z následujících výroků je určitě pravdivý? • Všechny pneumatiky jsou pružné a černé • Všechny pneumatiky jsou černé • Jen některé pneumatiky jsou gumové • Všechny pneumatiky jsou pružné • Všechny pneumatiky jsou pružné a gumové

40. 4 a 5